Abbas, Fatima

Stochastik
Curriculare Vorgaben:
Stochastik
Die Prüflinge sollen nachweisen, dass sie einfache Zufallsexperimente auswerten können. Sie müssen in
der Lage sein, ein geeignetes Modell zur Bearbeitung realitätsnaher Fragestellungen auszuwählen,
Kennzahlen von Zufallsgrößen/Verteilungen zu berechnen und im Sachzusammenhang zu interpretieren.
Sie sollen nachweisen, dass sie mindestens ein Verfahren der Beurteilenden Statistik anwenden können.
 Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung - Wahrscheinlichkeitsbegriff,
Baumdiagramme/ Pfadregeln
 Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsgrößen und ihre Kennzahlen (Erwartungswert,
Varianz und Standardabweichung), speziell Binomialverteilung
Beim Umgang mit Wahrscheinlichkeiten können Tabellen, die den Aufgaben beiliegen, oder
Rechnerfunktionen genutzt werden.
Stochastik Grundkurs Kern
_ Laplacescher Wahrscheinlichkeitsbegriff und seine Grenzen
_ Simulation von Zufallsexperimenten (z.B. Monte-Carlo-Methode)
_ Unabhängige und abhängige Zufallsversuche;
_ Zufallsgrößen; Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von binomialverteilten Zufallsgrößen
_ Wahrscheinlichkeitsverteilung, Binomialverteilung
_ ein Verfahren der beurteilenden Statistik11
Stochastik Grundkurs Erweiterung
_ Beschreibende Statistik (Mittelwert, Streuung, Regression, Korrelation)
_ Anwendungen anderer Verteilungen (Poissonverteilung, Normalverteilung),
_ Markow-Ketten
_ weitere Verfahren der beurteilenden Statistik
Vertiefungen für Unterricht auf grundlegendem Anforderungsniveau
Grundkenntnisse der beschreibenden Statistik – Daten beschreiben und auswerten
Regression; Bestimmung und Interpretation des Korrelationskoeffizienten
Vergleich von Binomialverteilung und hypergeometrischer Verteilung
Vertrauensintervalle für nicht bekannte Wahrscheinlichkeiten
Typische Aufgaben der Stochastik :
1) In einer Urne befinden sich 3 schwarze und 1 weiße Kugel. Wir entnehmen der Urne eine
Kugel, notieren die Farbe und legen die Kugel in die Urne zurück. Dieses Zufallsexperiment
wiederholen wir 60mal. Dabei notieren wir beispielsweise 20mal eine weiße Kugel. Der Anteil
der weißen Kugeln beträgt also 20/60 = 1/3.
Diese Zahl heißt relative Häufigkeit. Wir hätten idealerweise erwartet, dass die weiße Kugel
15mal gezogen wird. Warum?
Was erwarten wir idealerweise, falls das Zufallsexperiment 20mal (32mal) wiederholt wird?
2) Herr M. will seine 5 Kinder für ein Gruppenfoto in einer Reihe anordnen. Wie viele
Möglichkeiten hat er?
3) In einem dunklen Gang sind in einem Schubfach 4 schwarze, 6 rote und 2 weiße Socken.
Zwei Socken werden zufällig gegriffen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide die
gleiche Farbe haben?
4) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass von 5 Straßenlaternen genau 3 leuchten?
5) Lehrer A. will von seinen 15 Schülern 3 gleichzeitig mündlich prüfen.
a) Wie viele Möglichkeiten hat er?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Schüler K., unter den Dreien zu sein, falls die
Schüler durch Zufall bestimmt werden?
6) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter n Personen mindestens 2 am gleichen Tag
Geburtstag haben? Ab wie viel Personen ist diese Wahrscheinlichkeit größer als 1/2?
7) In einer Lostrommel sind 20% Gewinnlose und 80% Nieten. Jemand will solange ein Los
kaufen, bis er ein Gewinnlos gezogen hat, maximal jedoch 5 Stück. Mit welcher Ausgabe
muss er rechnen, wenn ein Los 2€ kostet?
8) In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Wir mischen und entnehmen der
Urne eine Kugel, notieren die Farbe und legen die Kugel wieder in die Urne zurück. Diesen
Einzelversuch wiederholen wir 8mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 8
Ziehungen keine (eine,zwei, ..., acht) schwarze Kugeln sind?
9) Bei einem Würfelspiel wird der Verdacht geäußert, dass der benutzte Würfel nicht in Ordnung
ist. Um dies zu prüfen, will man den Würfel 300mal werfen und zählen, wie oft die Augenzahl
6 auftritt. Bei welchen Ergebnissen wird man den Verdacht als bestätigt ansehen? Wie wird
man z.B. bei 65 Einsen entscheiden?
10) Ein Händler vereinbart mit einem Obstbauern, dass in einer Lieferung großer Apfelsinen in
jeder Kiste von 50 Stück 10 kleine Apfelsinen sein dürfen. Der Händler darf jeder Kiste 20
Stück entnehmen und die Kiste zurückweisen, falls mehr als 5 kleine Apfelsinen in der
Stichprobe sich befinden. Wie viele Kisten werden vom Händler zurückgewiesen, obwohl sie
der Vereinbarung entsprechen?
Hausaufgaben zum 8.2.2008
Erklären Sie die folgenden Begriffe:
Zufallsversuch
Ergebnisraum
Laplace-Experiment
Laplace-Regel
Wahrscheinlichkeit
Relative Häufigkeit
absolute Häufigkeit
Gesetz der großen Zahlen
Gegenwahrscheinlichkeit / Gegenereignis
Baumdiagramm (mit Rechenregeln)
Binominalkoeffizient
Sinnvolle Hilfsmittel: (vgl. Tabelle unten)
 http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym (Stochastik, pdf-Format) Kapitel 1-9
 Buch S.6-33, A. 41-45
Außerdem sollten Sie in der Lage sein, die in der Tabelle unten angegebenen Aufgaben zu lösen (dazu müssen Sie nicht alle Aufgaben lösen!).
:
Kapitel
Grundlagen
Zufallsversuche und (Laplace)
Wahrscheinlichkeit
Seiten im Buch
durcharbeiten
Kapitel 1.1.1
(S. 6-12)
Relative Häufigkeit
Kapitel 1.1.2
(S. 12-14)
Rechenregeln für
Wahrscheinlichkeiten
Kapitel 1.2.1,(S.
17.21) 2.1.1,
Kombinatorik
Kapitel 2.3.1, 2.3.2
Begriffe
















Aufgaben zum
Bearbeiten
Kapitel auf dem
nibis-Server
Zufallsversuch
Ergebnisraum
Laplace-Experiment
Laplace-Regel
Wahrscheinlichkeit
Relative Häufigkeit
absolute Häufigkeit
Gesetz der großen Zahlen
Baumdiagramm
Pfadregel
Summenregel
Gegenereignis,
Gegenwahrscheinlichkeit
S. 10-12
Nr. 4a-c, 5, 9, 12
1-3
S. 14 Nr. 2a
1-3
S. 21 Nr. 2 (2), 3
(1)
S. 29 Nr. 5, 8
8,9
Ziehen mit bzw. ohne
Zurücklegen
Fakultät
Binomialkoeffizient
S. 45 Nr. 4, 6, 7,
8, 11
4-6
Hausaufgaben zum 13.2.2008:
1) Erklären Sie die Begriffe Bernoulliversuch und Bernoulli-Kette
2) Bestimmen Sie theoretisch die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Wurf mit einem Würfel mindestens eine 6 zu Würfeln (vgl. „Menschärgere-Dich-nicht“)
Hausaufgaben zum 20.2.2008: (davon Bernoullikette und Binomialverteilung zum 15.2.)
Kapitel
Seiten im Buch
Begriffe
durcharbeiten
Bernoulli-Versuche, Binominalverteilung
Bernoullikette
S. 76-79 Mitte
 Bernoulliversuch
 Bernoulli-Kette
Binomialverteilung
S. 79 84
 Binomialverteilung
Kumulierte
S. 85-88
 Kumulierte Binomialverteilung
Binomialverteilung
Aufgaben zum
Bearbeiten
Kapitel auf dem
nibis-Server
S. 79 Nr. 2, 3, 4
14
S. 82 Nr.3, 6a, 7, 8
S. 88 Nr. 9, 11, 12,
15, 16
15
Hausaufgaben zum 27.2.2008: (davon Hypergeometrische Verteilung zum 22.2.)
Kapitel
Seiten im Buch durcharbeiten
Hypergeometrische Verteilung
Hyper
Kapitel 4.1.3 S. 83
geometrische
gute Erklärung:
Verteilung
http://www.omega.it/h/hy/
hypergeometrische_verteilung
.html
Vergleich
Hypergeometrisc
he Verteilung
und
Binominalverteilu
ng
Kapitel 4.1.3 S. 83
Begriffe


Aufgaben zum Bearbeiten
Ziehen
mit
Zurücklegen,
Hypergeometr
ische
Verteilu
ng
Ziehen
mit und
ohne
Zurückl
egen
Kapit
el auf
dem
nibisServe
r
http://www.zum.de/Faecher
/M/NRW/pm/mathe/hypvert.htm
Bitte Formeln notieren!
1) In einer Kiste sind 3 rote und 17 schwarze Kugeln.
Es wird dreimal gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, 3 rote Kugeln zu ziehen?
a) mit Zurücklegen
b) ohne Zurücklegen.
2) http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/divver
t.htm
Geben Sie für die Aufgaben 1 bis 6 an, mit welcher
Verteilung zu rechnen ist.
16
Kapitel
Seiten im Buch
durcharbeiten
Begriffe
Aufgaben zum Bearbeiten
Unabhängigkeit von Experimenten, Bedingte Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
Erwartungswert, Varianz, Kapitel 3.2.2.,
http://mathematik.uni Formeln: Erwartungswert,
Standardabweichung
S. 72
lueneburg.de/stochastik/galton.exe
Varianz und
S. 112-117
Standardabweichung bei
S. 74 Nr. 4, 5, 6
Binominal- und
S. 117 Nr. 1, 2
Hypergeometrischer Verteilung
Bedingte
S. 38-40
 Formel von Bayes ,
Wahrscheinlichkeit,
Vierfeldertafel
Abhängigkeit
Kapitel
auf dem
nibisServer
11, 12,
18, 19
10, 17
Neu: Wichtige Formeln:
Verteilung
P(X=k)
binomial
Erwartungswert
np
Varianz
npq
Standardabweichung
hypergeometrisch
Hausaufgaben zum 7.3.2008:
 Was ist das Ziegenproblem?
 Was vermuten Sie: Hat eine Änderung Ihrer Entscheidung Einfluss auf die Gewinnchance?
 Simulieren Sie das Ziegenproblem (bei der Hälfte der Fälle bleiben Sie bei Ihrer Entscheidung und bei der anderen Hälfte wechseln Sie).
Tabellen werden fortgesetzt
Übungsaufgaben für die Klausur
Klausur 16.4.2007