Lineare Funktionen

Beispielpool
Lineare Funktionen
001
Ermitteln Sie die Gleichung der beiden Geraden g und h:
g geht durch die Punkte P( 20 / 500) und Q( –10 / 200)
h hat die Steigung –5 und läuft durch R( 30 / 250).
Berechnen Sie anschließend den Schnittpunkt dieser Geraden!
10x + 300
400 – 5x S(6,7/366,7)
002
Ein Produkt hat eine lineare Kostenfunktion. Die Kapazität beträgt 30.000 Stk. Bei
Vollauslastung sind die Kosten € 650.000,--. Bei 80 %-iger Auslastung betragen die
Kosten € 530.000,--. Berechnen Sie die Kostenfunktion. Wie hoch muss der
Verkaufspreis sein, damit der Break-even bei 30 % Auslastung liegt?
20x +
50.000
25,56
003
Die Nachfragefunktion eines Produktes sei p(x) = 500 – 0,02x und die
Angebotsfunktion a(x) = 20 + 0,01x. Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis? Wie
hoch ist der Nachfrageüberhang bei einem um 20 % günstigeren Preis als der
Gleichgewichtspreis?
180
5.400
004
Ein Energieversorgungsunternehmen hat zwei Tarife:
Tarif Normal:
€ 300 Grundgebühr Arbeitspreis pro kWh 0,10 €/kWh
Tarif Spezial:
€ 500 Grundgebühr - Arbeitspreis pro kWh: 0,05 €/kWh
bis zu einem Verbrauch von 6.000 kWh
ab 6.000 kWh kostet jede weitere kWh dann 0,16 €/kWh
Stellen Sie alle drei Gleichungen (Normal und 2 Gleichungen für den Splittarif
Spezial) auf, erstellen Sie ein Excel-Diagramm im Bereich [0 / 10.000 kWh]. In
welchem Bereich ist der Spezialtarif billiger (Ablesen aus dem Diagramm – braucht
nicht gerechnet zu werden)
300 + 0,1x
005
5000 + 0,05x
0,16x – 160
(zwischen 4000 und 7.667 kWh)
Ermitteln Sie die Kostenfunktion eines Betriebes aus folgenden Werten:
Kapazität ..................................................................... 40.000 Stk.
Kosten bei 40 %-iger Auslastung .............................. € 1.730.000,-Kosten bei Vollauslastung ......................................... € 3.650.000,-Wie hoch sind die Durchschnittskosten beim Beschäftigungsgrad 60 %?
Wie hoch ist der Anteil (in Prozent) des Fixkostenanteils an den gesamten
Durchschnittskosten bei diesem Beschäftigungsgrad?
K(x) = kx + F  1.730.000 = 16.000 k + F und 3.650.000 = 40.000 k + F 
........................................................................................
k = 80 und F = 450.000
–
K; (24.000) = 80 + Error! = 98,75
006
Anteil = Error!  0,19 = 19 %
Berechnen Sie den Break-even für ein Produkt mit einer linearen Kostenfunktion
(variable Durchschnittskosten = 15 €/Stk. und Fixkosten von € 8.000), wenn der
Verkaufspreis 19 €/Stk. beträgt. Wie hoch muss der Verkaufspreis sein, damit der
Break-even bei 1.000 Stk. liegt? Um wie viel Prozent ist der zweite Verkaufspreis
höher als der erste?
K(x) = 15x + 8.000 = 19 x  x = 2.000 Stk.
 p = 23 €/Stk. Erhöhung ... Error! = + 21 %
007
15 · 1.000 + 8.000 = 1.000 p
Angebot und Nachfrage für ein Produkt zeigen folgende Werte:
Bei einem Preis von €/Stk. 500 werden 160.000 Stk. nachgefragt. Wird der Preis um
10 % erhöht, dann verringert sich die Nachfrage um 12,5 %. Berechnen Sie die
Nachfragefunktion. Die Angebotsfunktion lautet: a(x) = 200 + 0,01x. Berechnen Sie
den Gleichgewichtspreis und den Nachfrageüberhang bei einem Preis von 400 €/Stk.
500 = 160.000 a + b und 550 = 140.000 a + b  50 = – 20.000 a 
a = – 0,0025 und b = 900
Gleichgewicht bei 200 + 0,01x = 900 – 0,0025x  0,0125x = 700 
xg = 56.000 pg = 760
400 = 200 + 0,01xa  xa = 20.000 400 = 900 – 0,0025xn 
xn = 200.000 Nachfrageüberhang = 180.000 Stk.
008
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Stellen Sie die
Funktionsgleichungen f(x) = 80 –
2x und g(x) = 30 + 3x im Bereich
[–5 / 15] dar. Benutzen Sie
EXCEL. Berechnen Sie die
Koordinaten des Schnittpunkts!
80 – 2x = 30 + 3x 
50 = 5x  x = 10 f(10) = 60
S(10 / 60)
-10
-5
f(x)
g(x)
0
5
10
15
20
009
Zeichnen Sie die Funktionsgraphen f(x): durch den
Punkt X (3/4) mit der Steigung 0,3 und g(x) = 6 – 0,2x
in ein Koordinatensystem im Bereich x  [-2 / 16].
9
8
7
6
010
Berechnen Sie die Gleichung des zweiten Teils der
stückweise definierten linearen Funktion:
f1(x) = 300 – 2x für x  [0/50], f2(x) ist linear mit
stetigem Übergang von f1 auf f2 und f2(100) = 50.
5
f
g
4
3
2
1
0
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
f1(50) = 200 = f2(50) = 50a + b und 50 = 100a + b  a = – 3 und b = 350  f2(x) = 350 – 3x
011
Eine Nachfragefunktion ist linear und hat folgende Eigenschaften:
bei einem Preis von 40 €/Stk. werden 1.000 Stk. abgesetzt. Wird der Preis um 20 % verringert, dann
steigt die Nachfrage auf 1.800 Stk. Berechnen Sie die Nachfragefunktion. Das Angebot für dieses
Produkt läuft wie s(x) = 0,02x + 20. Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis und den
Nachfrageüberhang bei einem Preis von 100 €/Stk..
40 = 1000a + b und 32 = 1800a + b  a = – 0,01 und b = 50  d(x) = 50 – 0,01x
0,02x + 20 = 50 – 0,01x  x = 1000 und s(1000) = 40 €/Stk.
s(xs) = 100 = 0,02 xs + 20  xs = 4.000 Stk. d(xd) = 100 = 50 – 0,01xd  xd = 5.000  x = 1.000
Stk.
012
Ein Betrieb hat eine Kostenfunktion von K(x) = 4x + 200.000 mit der Kapazität 200.000 Stk. Kosten in
Euro, Menge in Stück. Wie hoch sind die Stückkosten beim Beschäftigungsgrad 70 %? Bei welchem
Beschäftigungsgrad liegt der Break-even, wenn der Verkaufspreis € 6,50 pro Stück beträgt?
–
K(140.000)=760.000 K; (140.000)=Error!= 5,43 €/Stk. 6,5x = 4x + 200.000x = 80.000 (d.i. 40
% BG)
013
Ermitteln Sie die Kostenfunktion eines Produktes aus: die Kosten bei der Produktion von 10 ME
betragen 540 GE. Wird die Produktion um 20 % erhöht, dann betragen die Kosten 568 GE.
K(x) = kx + F  540 = 10k + F und 568 = 12k + F  28 = 2k  k = 14 und F = 400 K(x) =
14x + 400
014
3 Geraden schneiden sich in den Punkten P(5 / 7), Q (–3 / 8) und R (4 / –6).Zeichnen Sie die
Funktionsgraphen dieser drei Geraden und berechnen Sie die Gleichungen.
PQ: y = –0,125x + 7,625
PR: y = 13x – 58
RQ: y = –2x + 2
015
Ein Energieversorgungsinstitut macht 3 Angebote:
Angebot A:
Gesamttarif für 500 kWh beträgt 400 €, Gesamttarif für 1000 kWh beträgt 800 kWh.
Angebot B:
für 10.0000 kWh sind € 8.000,-- zu zahlen, erhöht sich der Verbrauch um 20 % sind 12,5 % mehr zu
bezahlen.
Angebot C:
Arbeitspreis 0,4 €/kWh und für 15.000 kWh sind 11.000,-- zu bezahlen.
Berechnen Sie die Bereiche, in den A, B oder C am günstigsten für den Verbraucher ist.
A(x) = 0,8x B(x) = 0,5x + 3.000 C(x) = 0,4x + 5.000
0,8x = 0,5x + 3000  x = 10.000 kWh
0,8x = 0,4x + 5000  x = 12.500 kWh
0,5x + 3000 = 0,4x + 5000  x = 20.000 kWh
im Bereich [0 / 10.000] ist A am billigsten
im Bereich [10.000 / 20.000] ist B am billigsten
im Bereich [20.000 /  ) ist C am billigsten
016
Ein Betrieb hat eine lineare Kostenfunktion und die Durchschnittskosten sind bei einem
Beschäftigungsgrad von 20 % 31,43 €/Stk. Die Kapazität ist 70.000 Stk. Bei Vollauslastung betragen
die Kosten € 2.120.000,--. Berechnen Sie die variablen Stückkosten und die Fixkosten. Wie hoch muss
der Preis sein, damit der Break-even bei einem Beschäftigungsgrad von 60 % auftritt?
K(x) = kx + F 440.000 = 31,43 · 0,2 · 70.000 = 14.000 k + F und 2.120.000 = 70.000 k + F
= 30 und G = 20.000 p · 56.000 = 56.000 · 30 + 20.000  p = 30,36 €/Stk.
 k
017
Zeichnen Sie die Funktionsgraphen f(x): durch
die Punkte X (3/3) und Y(5/7); g(x) mit der
Gleichung g(x) = 10 – x und h(x) durch den
Punkt P(5/1) mit der Steigung 0,2. Berechnen
Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte!
12
11
10
9
8
7
f(x) = 2x – 3
g(x) = 10 – x
h(x) = 0,2 x
S1(4,3/5,7)
6
5
f
g
4
f g 2x – 3 = 10 – x
3
h
2
1
f  g 2x – 3 = 0,2 x  S2(1,7/0,3)
gh
10 – x = 0,2 x  S3 (8,3/1,9)
-4
-3
-2
0
-1-1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-2
-3
-4
-5
018
Ein Energieversorgungsinstitut macht 3 Angebote:
Angebot A: keine Grundgebühr, für insgesamt 30.000 kWh ist ein Preis von € 24.000,-- zu bezahlen.
Angebot B: für 20.0000 kWh sind € 13.000,-- zu zahlen, für 30.000 kWh macht die Rechnung insgesamt € 18.000,-- aus.
Angebot C: € 5.000 Grundgebühr und ein Arbeitspreis von 0,40 €/kWh.
Berechnen Sie die Bereiche, in den A, B oder C am günstigsten für den Verbraucher ist.
A(x) = 0,8x B(x) = 0,5x + 3.000 C(x) = 0,4x + 5.000
0,8x = 0,5x + 3000  x = 10.000 kWh
0,8x = 0,4x + 5000  x = 12.500 kWh
0,5x + 3000 = 0,4x + 5000  x = 20.000 kWh
im Bereich [0 / 10.000] ist A am billigsten
im Bereich [10.000 / 20.000] ist B am billigsten
im Bereich [20.000 /  ) ist C am billigsten
019
Ein Betrieb hat eine lineare Kostenfunktion und die Durchschnittskosten sind bei einem
Beschäftigungsgrad von 20 % 31,43 €/Stk. Die Kapazität ist 70.000 Stk. Bei Vollauslastung betragen
die Kosten € 2.120.000,--. Berechnen Sie die variablen Stückkosten und die Fixkosten. Wie hoch muss
der Preis sein, damit der Break-even bei einem Beschäftigungsgrad von 60 % auftritt?
K(x) = kx + F 440.000 = 31,43 · 0,2 · 70.000 = 14.000 k + F und 2.120.000 = 70.000 k + F
= 30 und G = 20.000 p · 56.000 = 56.000 · 30 + 20.000  p = 30,36 €/Stk.
 k
020
Bei einem Verkaufspreis von 100 €/Stk. beträgt der Absatz 20.000 Stk., wird der Preis
auf 20 €/Stk. reduziert, kann der Absatz um 20 % gesteigert werden. Berechnen Sie die
Gleichung der Nachfragefunktion. Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis, wenn die
Angebotsfunktion s(x) = 20 + 0,01x ist?
100 = 20.000a + b und 20 = 24.000a + b  a = – 0,02 und b = 500
d(x) = 500 – 0,02x
20 + 0,01x = 500 – 0,02x  x = 16.000 d(16.000) = s(16.000) = 180
021
Ein Betrieb mit der Kapazität von 6.000 Stk. pro Monat hat bei einer Auslastung von 30
% Kosten von € 490.000,--. Die Fixkosten betragen € 400.000,--. Berechnen Sie den
Verkaufspreis so, dass der Break-even bei 80 % Beschäftigungsgrad auftritt.
490.000 = 1.800 k + 400.000  k = 50 K(x) = 50x + 400.000
p · 4.800 = K(4.800) = 640.000  p = 133,33
022
Berechnen Sie die Gleichungen des
folgenden stückweise definierten Tarifes:
300 € Grundgebühr – Arbeitspreis 0,50
€/ME bis zu einem Verbrauch von 1.000
ME
jede ME über 1.000 ME kostet 0,30 ME.
Stellen Sie diesen Tarif grafisch im
Bereich 0 bis 2000 ME dar.
Maßstab: x: 1 : 200 y: 1 : 200
1400
1200
1000
800
600
400
200
T1(x) = 300 + 0,5x für x  [0/1.000]
T2(x) = 500 + 0,3x für x  [1.000 /  )
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
023 Ein Betrieb hat Fixkosten von 300 GE und variable Stückkosten von 4 GE/ME. Wo
liegt der Break-even bei einem Verkaufspreis von 6 GE/ME. Um welchen Prozentsatz
verschiebt sich der Break-even, wenn der Verkaufspreis um 2 % sinkt?
K(x) = 300 + 4x = 6x  x = 150
300 + 4x = 5,88x  x = 159,6, d.s. + 6,4 %
024
Zeichnen Sie die folgenden Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem!
f(x) = 0,5x – 4
g(x) geht durch die Punkte P(4 / 2) und Q(8 / –2)
h(x) geht durch (1/2) und hat die Steigung 4
025
Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden g(x) = 7 – 0,5x und h(x) = 5x – 4.
7 – 0,5x = 5x – 4  11 = 5,5x  x = 2 
S (2 / 6)
026
Eine stückweise definierte Funktion besteht aus zwei linearen Teilen: f1(x) = 30 – 2x für x  [0/50].
Berechnen Sie f2(x) im Bereich [50/100] so, dass die Gesamtfunktion stetig ist und die Steigung von
f2(x) = 1 ist.
50
Ansatz f2(x) = x + b  f1(50) = –70 = f2(50) = 50 + b 
40
b = –120  f2(x) = x – 120
30
027
Zeichnen Sie den Funktionsgraph für die stückweise
definierte Funktion: f1(x) = 5x + 10 in [0/6] und f2(x) = 70 –
10x in (6/10). Ist die Funktion stetig? Maßstab: x-Achse 1 :
1, y-Achse 1:10.
20
10
0
0
-10
-20
-30
-40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3000
028
2500
Zeichnen Sie die Geraden:
f: y = 2.000 – 6x
g: y = 4x – 500
in ein Koordinatensystem (Maßstab: x: 1: 100
y:
1: 500 )
und berechnen Sie den Schnittpunkt.
2.000 – 6x = 4x – 500  x = 250 y = 500 S (250 /
500)
2000
1500
1000
500
0
0
-100
-200
100
400
300
200
500
-500
-1000
-1500
029
Ermitteln Sie die Gleichung für eine Gerade g durch die Punkte P(100/2.000) und (700/800).
Berechnen Sie die Nullstelle dieser Funktion.
2000 = 100 k + d und
800 = 700 k + d  k = -2 und d = 2.200 y = 2.200 – 2x
2.200 – 2x = 0  x = 1.100
Nullstelle N(1.100 / 0)
029
Angebot und Nachfrage nach einem Produkt verhalten sich wie :
a(x) = 300 + 0,01 x
und
n(x) = 1.300 – 0,03 x
Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis !
Wie hoch ist der Angebotsüberhang, wenn der Preis um 5 % erhöht wird?
300 + 0,01x = 1.300 – 0,03 x  x = 25.000  a(25.000) = 550 €/Stk.
300 + 0,01x = 550 · 1,05 = 577,5  xa = 27.750
1.300 – 0,03x = 577,5  xn = 24.083,3  x = 3.667 Stk.
030
Stellen Sie folgenden Splittarif im
Bereich [0 / 1.000 ME] grafisch dar:
Grundgebühr € 300,-Arbeitspreis
€ 5 pro ME, bei einem
Verbrauch zwischen 0 und 300 kWh
Arbeitspreis
€ 3 pro ME, bei einem
Verbrauch zwischen 300 und 800 kWh
Arbeitspreis
€ 1 pro ME, bei einem
Verbrauch über 800 kWh.
Berechnen Sie dazu die Gleichungen
aller drei Tarifteile. Wie hoch ist der
durchschnittliche Preis pro ME bei
einem Verbrauch von 900 ME?
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
200
400
600
800
1000
T1(x) = 300 + 5x T2(x) = 3x + 900 T3(x) = x + 2.500
T3(900) = 3.400 mittlerer Tarif = Error! = 3,78 €/ME
031
Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion d(x) = 50 – 0,2x bei einem
Verkaufspreis von 30 €/ME.! Senken Sie dazu den Preis um 3 %.
1200
1400
30 = 50 – 0,2x  x = 100
29,1 = 50 – 0,2x  x = 104,5 ME  = –
4
=
5 %;– 3 %
1,5
032
Auf einem Markt werden Erdbeeren verkauft:
Bei einem Preis von € 4,20 / kg beträgt das Angebot 500 kg. Sinkt der Preis um 10 %,
dann beträgt die angebotene Menge nur mehr 395 kg. Berechnen Sie die
Angebotsfunktion für diese Situation. Bei welchem Preis wird nichts mehr angeboten?
4,2 = a · 500 + b und 3,78 = a · 395 + b  a = 0,004 und b = 2,2 a(x) = 0,004x +
2,2
bei einem Preis von 2,2 €/kg wird nichts mehr angeboten
033
Ein Betrieb hat eine Kapazität von 4.000 ME und Fixkosten von 8.000 GE. Bei einem
Verkaufspreis von 20 GE/ME liegt der Break-even bei 40 % Beschäftigungsgrad.
Berechnen Sie die Gleichung der Kostenfunktion. Wie hoch sind die
Durchschnittskosten beim Beschäftigungsgrad 80 %?
K(x) = kx + 8.000 mit x [0 / 4.000] K(1.600) = E(1.600) = k · 1.600 + 8000 = 20 ·
1.600  k = 15  K(x) = 15x + 8.000
–
K; (3.200) = Error! = 17,5 GE/ME
034
Die Nachfrage nach einem Produkt hat eine Sättigungsmenge von 4.000 Stk. und einen
Prohibitivpreis von 200 €/Stk. Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion.
Wie hoch ist die Elastizität der Nachfrage bei einem Preis von 50 €/Stk.
p(x) = ax + b mit p(4.000) = 0 = 4.000 a + b und p(0) = 200 = b  a = – 0,05
p(x) = 200 – 0,05x
50 = 200 – 0,05x  x = 3.000 x = –300 (–10 %)  p(2700)
= 65  p = 15 (= 30%)  (50) = – Error! = 0,33
035
Es gibt zwei Tarifangebote:
Angebot A:
Splittarif mit einer Grundgebühr von €
500,-- und einem Arbeitspreis von 2 €/ME
bis zu einem Verbrauch von 1.000 ME. Ab
dann Arbeitspreis von 1 €/ME.
Angebot B: keine Grundgebühr, 1,50
€/ME.
Berechnen Sie die Gleichungen der Tarife
und stellen Sie die Funktionsgraphen in
einem Koordinatensystem dar. Maßstab: xAchse: 1 : 500, y-Achse 1 : 1.000
Ab welchem Verbrauch ist der Tarif B günstiger?
6000
5000
4000
f
3000
g
2000
1000
0
0
500
1000
A1(x) = 2x + 500 für x  [0 / 1.000]
A2(x) = 1(x – 1000) + 2.500 = x + 1.500 für x  (1.000 /  )
1500
2000
2500
3000
3500
4000
B(x) = 1,5x
x + 1.500 = 1,5x  x = 3.000
036
Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis für a(x) = 30 + 2x und n(x) = 300 – x. Wie
hoch ist der Nachfrageüberhang bei einem Preis, der 20 % unter dem
Gleichgewichtspreis liegt?
30 + 2x = 300 – x  x = 90 und p(90) = 210
168 = 30 + 2xa  xa = 69
Gleichgewichtspreis
168 = 300 – xn  xn = 132 x = 63
037
Ermitteln Sie die Gleichungen der beiden Geraden f und g und berechnen Sie den Schnittpunkt:
f: durch die Punkte A(5 / –150) und B (30 / 100)
g: Steigung –26, durch den Punkt C ( 10 / –100)
–150 = 5k + d
100 = 30k + d 
250 = 25 k  k = 10 und d = –200
–100 = 10 · (–26) + d  d = 160
f(x) = 10x – 200
g(x) = 160 – 26x
10x – 200 = 160 – 26 x  36x = 360  x = 10 S(10 / –100)
038
Stellen Sie die stückweise definierte Funktion f(x)
f1(x) = 30 – 2x für x  [–5 / 20]
f2(x) = x – 10 für x  (20 / 30]
in einem Excel-Diagramm dar.
50
40
30
20
10
0
-10
0
10
20
30
40
50
-10
-20
039
Ein Betrieb hat eine Kapazität von 40.000 Stk. Bei einem Beschäftigungsgrad von 40 %
sind die Durchschnittskosten 33,125 €/Stk. Steigt der Beschäftigungsgrad auf 60 %,
dann betragen die Kosten € 770.000,--. Berechnen Sie die Gleichung der
Kostenfunktion. Bei welchem Beschäftigungsgrad liegt der Break-even, wenn der
Verkaufspreis 35 €/Stk. beträgt?
–
K(x) = kx + F mit x [0 / 40.000] K; (16.000) = 33,125 = Error! 
530.000 = 16.000k + F und 770.000 = 24.000k + F  k = 30 und F = 50.000
K(x) = 30x + 50.000
35x = 30x + 50.000  x = 10.000 = 25 % BG
040
Ein stückweise definierter Splittarif hat folgende Eigenschaften:
im Bereich x  [0 / 100] müssen für 60 ME insgesamt 98 € bezahlt werden, steigt der
Verbrauch um 20 % dann werden 107,6 € fällig.
zwischen 100 und 300 ME Verbrauch betragen die Arbeitskosten 1 €/ME,
ab 300 ME steigen die Arbeitskosten auf 1,50 €/ME.
Berechnen Sie die Gleichungen aller drei Teile der stetigen Tariffunktion. Wie hoch ist
der Durchschnittstarif pro ME bei einem Verbrauch von 250 ME?
T1(x) = ax + b mit 98 = 60a + b und 107,6 = 72a + b  a = 0,8 b = 50
T1(x) = 0,8x + 50
T2(x) = x + c mit T1(100) = T2(100) = 130 = 100 + c  c = 30 T2(x) = x + 30
T3(x) = 1,5x + d mit T2(300) = T3(300) = 330 = 450 + d  d = – 120 T3(x) = 1,5x –
120
T3(250) = 280  Durchschnittspreis = 1,12 €/ME
041
Die Nachfrage nach einem Produkt verhält sich so:
bei einem Preis von 100 €/Stk. werden 20.000 Stk. nachgefragt. Erhöht man den Preis
um 10 % dann sinkt die Nachfrage um 2,5 %. Berechnen Sie die lineare
Nachfragefunktion.
Die Angebotsfunktion für dieses Produkt ist ebenfalls linear mit:
bei einem Preis von 200 €/Stk. wird nichts angeboten, bei einem Preis von 500 €/Stk.
werden 3.000 Stk. angeboten. Berechnen Sie die Angebotsfunktion a(x). Wie hoch ist
der Gleichgewichtspreis?
n(x) = ax + b  100 = 20.000a + b und 110 = 19.500a + b  a = – 0,02 b = 500
n(x) = 500 – 0,02x
a(x) = cx + d  200 = d und 500 = 3000 c + 200  c = 0,1  a(x) = 200 + 0,1x
500 – 0,02x = 200 + 0,1x  x = 2.500 und p = 450
042
Berechnen Sie den Angebotsüberhang bei einem Preis von 7.200 GE/ME für
n(x) = 8.000 – 2x und a(x) = x + 6.000.
7.200 = 8.000 – 2x  xn = 400
7.200 = x + 6.000 
xa = 1.200
043
Überhang = 800 ME
Berechnen Sie nur durch Rechnung alle 3 Schnittpunkte der Geraden:
g: y = 3 – 0,5x
h: y = 1,5x – 5 und
i: y = 4,6 – 0,1x
g  h : 3 – 0,5x = 1,5x – 5  x = 4 y = 1 S1(4/1)
g  i : 3 – 0,5x = 4,6 – 0,1x  x = –4 y = 5 S1(–4/5)
h  i : 1,5x – 5 = 4,6 – 0,1x  x = 6 y = 4 S1(6/4)
044
Ermitteln Sie die Gleichung für eine Gerade g
durch die Punkte P(100/200) und (200/600) und
eine Gerade h durch den Punkt R(50/350) mit der
Steigung –5. Zeichnen Sie beide Gleichungen in
ein Koordinatensystem.
Maßstab: x-Achse 1:50 y-Achse 1 : 100
200 = 100 k + d und
600 = 200 k + d  k = 4 und d = –200
350 = 50 · (–5) + d  d = 600
g(x) = 4x – 200 und h(x) = 600 – 5x
045
und
Zeichnen Sie die Gerade durch den Punkt P (1.000 /
300) mit der Steigung – 0,2 in ein Koordinatensystem
mit dem Maßstab: x: 1: 500 und y: 1 : 100
Berechnen Sie die Gleichung dieser Geraden und die
Nullstelle.
300 = 1.000 · (–0,2) + d  d = 500 y = 500 – 0,2x
0 = 500 – 0,2x  x = 2.500 N(2.500 / 0)
046
Eine stückweise definierte Funktion hat f1(x) = 80 – 2x für x  [0 / 10]. Ermitteln Sie die Gleichung für
f2(x) im Intervall (10 / 100], wenn die Gesamtfunktion stetig sein soll und f2(40) = 150 sein soll.
f1(10) = 60 = k · 10 + d und 150 = 40 k + d  k = 3 und d = 30  f2(x) = 3x + 30
047
Ein Betrieb hat eine Kapazität von 70.000 Stück. Bei einem Beschäftigungsgrad von 20
% betragen die Kosten € 3.800.000,--. Steigt der Beschäftigungsgrad um 30
Prozentpunkte, dann sind die Kosten € 9.050.000,--. Verwenden Sie die Skalierung: 1
ME = 1.000 Stk. und 1 GE = € 10.000,--. Berechnen Sie die Gleichung der
Kostenfunktion. Wie hoch sind die Durchschnittskosten bei Vollauslastung? Berechnen
Sie den Break-even bei einem Preis von 265 €/Stk.
K(x) = kx + F mit x [0 / 70] K(14) = 380 = 14 k + F und K(35) = 905 = 35k + F
 k = 25 und F = 30 K(x) = 25x + 30
–
K; (70) = Error! = 25,43 GE/ME = 254,3 €/Stk.
26,5 x = 25x + 30  x = 20 ME  29 % BG
048
Bei einem Preis von 300 €/Stk. werden 500 Stk. nachgefragt, aber 1.000 Stk. angeboten.
Wird der Preis um 20 % erhöht, sinkt die Nachfrage auf 200 Stk., das Angebot steigt um
60 %. Berechnen Sie die Gleichungen der Angebots- und Nachfragefunktion. Wie hoch
ist der Gleichgewichtspreis? Wie hoch ist der Nachfrageüberhang bei einem Preis von
250 €/Stk.?
a(1.000) = 300 = 1.000a + b und a(1.600) = 360 = 1.600a + b  a = 0,1 b = 200
a(x) = 0,1x + 200
n(500) = 300 = 500a + b und n(200) = 360 = 200a + b  a = –0,2 b = 400
n(x) = 400 – 0,2x
0,1x + 200 = 400 – 0,2x  x = 666,67 p(666,67) = 266,67
250 = 0,1xa + 200  xa = 500 250 = 400 – 0,2xn  xn = 750,
der Nachfrageüberhang beträgt 250 Stk.
049
Ein Stromtarif hat eine Grundgebühr von 40 €. Für die
ersten 100 kWh werden € 0,70 als Arbeitspreis
verrechnet, für jede kWh über 100 kWh beträgt der
Arbeitspreis € 0,50, und für jede kWh über 300 kWh
werden € 0,2 verrechnet. Berechnen Sie die Gleichung
dieser drei Tarifteile und stellen Sie die Funktion in
einem Koordinatensystem dar.
300
250
200
150
100
T1(x) = 0,7x + 40 für x  [0 / 100]
T2(x) = 0,5(x – 100) + 110 = 0,5x + 60 für x  (100 /
300]
T3(x) = 0,2(x – 300) + 210 = 0,2x + 150 für x  (300 /
)
T(500) = 250  durchschnittlicher Tarif = 0,5 €/kWh
T(200) = 160  durchschnittlicher Tarif = 0,8 €/kWH
50
0
0
100
200
300
400
500
050
Berechnen Sie die Verbrauchsmenge, ab der der Tarif B für den Konsumenten günstiger
ist:
Bei Tarif A müssen für 200 Verbrauchseinheiten (VE) 70 Geldeinheiten bezahlt
werden, steigt der Verbrauch um 50 %, dann sind 20 GE mehr zu bezahlen. Tarif B
verrechnet 50 GE Grundgebühr und dazu 0,1 GE/VE.
70 = 200 k + d und 90 = 300 k + d  k = 0,2 und d = 30 A(x) = 0,2x + 30 und
B(x) = 0,1x + 50
0,2x + 30 = 0,1x + 50  x = 200
051 Zeichnen Sie die Gerade mit der Steigung 0,03 durch den
Punkt P (4.000 / 1.000) in ein Koordinatensystem mit dem
Maßstab:
Abszisse 1: 1.000 Ordinate 1: 200.
Ermitteln Sie die Gleichung dieser Geraden. Berechnen Sie
den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Geraden mit der
Gleichung y = 1.230 – 0,02x.
1.000 = 4.000 · 0,03 + d  d = 880
y = 0,03x + 880
1230 – 0,02x = 0,03x + 880  350 = 0,05x  x = 7.000 und y = 1090
S (7.000 / 1.090)
600
051
Zeichnen Sie die folgenden Geraden in ein
Koordinatensystem (Papier).
10
9
f:
durch die Punkte P (4/5) und Q (– 4
/ 9)
g:
durch den Punkt R ( 4 / 1) mit der
Steigung 0,5
h:
mit der Gleichung h(x) = y = 4 – 2x
8
7
6
5
4
3
Benutzen Sie den Maßstab: x – Achse 1 : 1,
y – Achse 1: 2
Berechnen Sie die Gleichungen aller Geraden
und die Koordinaten der Schnittpunkte.
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
-2
-3
5 = 4k + d und 9 = –4k + d  –4 = 8k  k
= – 0,5 und d = 7  f(x) = 7 – 0,5x
1 = 4 · 0,5 + d  d = –1  g(x) = 0,5x – 1
Schnittpunkt f mit g
Schnittpunkt f mit h
Schnittpunkt g mit h
052
-4
und h(x) = 4 – 2x
7 – 0,5x = 0,5x – 1  8 = x und y = 3 daher Sfg (8 / 3)
7 – 0,5 x = 4 – 2x  3 = –1,5 x  x = –2 und y = 8 daher Sfh (–2/ 8)
0,5x – 1 = 4 – 2x  2,5x = 5  x = 2 und y = 0 daher Sgh (2 / 0)
Stellen Sie die stückweise definierte
Funktion f1 (x) = x2 – 4x für x  [0 / 6]
und f2(x) = 10 – x für x  (6 / 10] in
einer Excel-Grafik dar. Ist die Funktion
stetig (begründen Sie Ihre Antwort)?
Berechnen Sie in f2(x) = 10 – kx die
Steigung so, dass die Funktion aus
f1(x) und f2(x) in den obigen Intervallen
stetig wird.
f1(6) = 36 – 24 = 12 = 10 – k · 6  k =
1/3  f2(x) = Error!= 10 – Error!
12
10
8
6
4
f1
f2
2
0
0
-2
-4
-6
2
4
6
8
10
053
Ermitteln Sie die Gleichung des zweiten Teils einer stückweise definierten stetigen Funktion mit:
f1(x) = 0,1 x + 25 in [ 0 / 50]
f2(x) ist linear und hat eine Nullstelle bei x = 200
f1(50) = 30 = k · 50 + d und 0 = 200 k + d  30 = –150k  k = – 0,2 und d = 40
f2 (x) = 40 – 0,2x
054
Stellen Sie die Funktion f(x) = x3 – 6x2 – x + 30
im Bereich [–3 / 6] mit Hilfe von Excel oder
Derive dar und bestimmen Sie die Nullstellen.
Nullstellen bei x = –2, x = 3 und x = 4
055
Ermitteln Sie alle Schnittpunkte der drei Geraden f, g
und h durch Zeichnung und Rechnung.
f hat die Gleichung f(x) = 5,25 – 0,25x,
g geht durch die Punkte P( 1 / –1) und Q (7 / 2)
h geht durch den Punkt R (4 / –1) und hat die Steigung –1.
f(x) = 5,25 – 0,25x
g:
–1 = k + d und 2 = 7k + d  3 = 6k 
k = 0,5 und d = – 1,5 daher
g(x) = 0,5x – 1,5
h:
–1 = –1 · 4 + d  d = 3 daher
h(x) = 3 – x
Schnittpunkte:
f g
5,25 – 0,25x = 0,5x – 1,5  –0,75x =
–6,75  x = 9 und y = 3 S1 (9 / 3)
056
f h
5,25 – 0,25x = 3 – x  0,75x = –2,25  x = –3 und y = 6
g h
0,5x – 1,5 = 3 – x  1,5x = 4,5  x = 3 und y = 0
S2 (3 / 0)
Zeichnen Sie die folgende Gerade in ein Koordinatensystem mit dem
Maßstab:
Abszisse 1 : 50 Ordinate 1 : 2.000
Die Gerade g geht durch den Punkt P (100 / 8.000) und hat die
Steigung – 20. Benützen Sie zum Zeichnen das Steigungsdreieck
(einzeichnen !). Berechnen Sie die Nullstelle.
8.000 = 100 · (– 20) + d  d = 10.000  g(x) = 10.000 – 20x
Nullstelle bei N(500 / 0)
S2 (–3 / 6)
057
Zeichnen Sie die folgende stückweise definierte Funktion in ein Koordinatensystem. Ist die Funktion
stetig? Wenn nein, geben Sie die Unstetigkeitsstellen an. Berechnen Sie den
Funktionswert f(7).
f1(x) = 1,5x – 4 für x  [ 0 / 6 )
f2(x) = 11,2 – 0,7x
für x  [ 6 / 10 ]
f3(x) = 0,5x – 0,8 für x  ( 10 / 16 ]
Maßstab. x: 1:2 y: 1:2
f1(6) = 5 f2(6) = 7 unstetig an x = 6
f2 (10) = 4,2 f3(10) = 4,2 stetig an x = 10
f(7) = 11,2 – 0,7 · 7 = 6,3
058
Ermitteln Sie die Gleichung des zweiten Teils einer stückweise definierten stetigen Funktion mit:
f1(x) = 80x + 3.000 in [ 0 / 20]. f2(x) ist linear, definiert über (20 / 100] und hat eine Nullstelle bei x = 66
f1(20) = 4.600 = f2(20) = k · 20 + d
6.600
f2(x) = 6.600 – 100x
und
0 = 66 k + d  4.600 = – 46k  k = – 100 und d =