Lineare Funktionen
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Beispielpool Lineare Funktionen 001 Ermitteln Sie die Gleichung der beiden Geraden g und h: g geht durch die Punkte P( 20 / 500) und Q( –10 / 200) h hat die Steigung –5 und läuft durch R( 30 / 250). Berechnen Sie anschließend den Schnittpunkt dieser Geraden! 10x + 300 400 – 5x S(6,7/366,7) 002 Ein Produkt hat eine lineare Kostenfunktion. Die Kapazität beträgt 30.000 Stk. Bei Vollauslastung sind die Kosten € 650.000,--. Bei 80 %-iger Auslastung betragen die Kosten € 530.000,--. Berechnen Sie die Kostenfunktion. Wie hoch muss der Verkaufspreis sein, damit der Break-even bei 30 % Auslastung liegt? 20x + 50.000 25,56 003 Die Nachfragefunktion eines Produktes sei p(x) = 500 – 0,02x und die Angebotsfunktion a(x) = 20 + 0,01x. Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis? Wie hoch ist der Nachfrageüberhang bei einem um 20 % günstigeren Preis als der Gleichgewichtspreis? 180 5.400 004 Ein Energieversorgungsunternehmen hat zwei Tarife: Tarif Normal: € 300 Grundgebühr Arbeitspreis pro kWh 0,10 €/kWh Tarif Spezial: € 500 Grundgebühr - Arbeitspreis pro kWh: 0,05 €/kWh bis zu einem Verbrauch von 6.000 kWh ab 6.000 kWh kostet jede weitere kWh dann 0,16 €/kWh Stellen Sie alle drei Gleichungen (Normal und 2 Gleichungen für den Splittarif Spezial) auf, erstellen Sie ein Excel-Diagramm im Bereich [0 / 10.000 kWh]. In welchem Bereich ist der Spezialtarif billiger (Ablesen aus dem Diagramm – braucht nicht gerechnet zu werden) 300 + 0,1x 005 5000 + 0,05x 0,16x – 160 (zwischen 4000 und 7.667 kWh) Ermitteln Sie die Kostenfunktion eines Betriebes aus folgenden Werten: Kapazität ..................................................................... 40.000 Stk. Kosten bei 40 %-iger Auslastung .............................. € 1.730.000,-Kosten bei Vollauslastung ......................................... € 3.650.000,-Wie hoch sind die Durchschnittskosten beim Beschäftigungsgrad 60 %? Wie hoch ist der Anteil (in Prozent) des Fixkostenanteils an den gesamten Durchschnittskosten bei diesem Beschäftigungsgrad? K(x) = kx + F 1.730.000 = 16.000 k + F und 3.650.000 = 40.000 k + F ........................................................................................ k = 80 und F = 450.000 – K; (24.000) = 80 + Error! = 98,75 006 Anteil = Error! 0,19 = 19 % Berechnen Sie den Break-even für ein Produkt mit einer linearen Kostenfunktion (variable Durchschnittskosten = 15 €/Stk. und Fixkosten von € 8.000), wenn der Verkaufspreis 19 €/Stk. beträgt. Wie hoch muss der Verkaufspreis sein, damit der Break-even bei 1.000 Stk. liegt? Um wie viel Prozent ist der zweite Verkaufspreis höher als der erste? K(x) = 15x + 8.000 = 19 x x = 2.000 Stk. p = 23 €/Stk. Erhöhung ... Error! = + 21 % 007 15 · 1.000 + 8.000 = 1.000 p Angebot und Nachfrage für ein Produkt zeigen folgende Werte: Bei einem Preis von €/Stk. 500 werden 160.000 Stk. nachgefragt. Wird der Preis um 10 % erhöht, dann verringert sich die Nachfrage um 12,5 %. Berechnen Sie die Nachfragefunktion. Die Angebotsfunktion lautet: a(x) = 200 + 0,01x. Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis und den Nachfrageüberhang bei einem Preis von 400 €/Stk. 500 = 160.000 a + b und 550 = 140.000 a + b 50 = – 20.000 a a = – 0,0025 und b = 900 Gleichgewicht bei 200 + 0,01x = 900 – 0,0025x 0,0125x = 700 xg = 56.000 pg = 760 400 = 200 + 0,01xa xa = 20.000 400 = 900 – 0,0025xn xn = 200.000 Nachfrageüberhang = 180.000 Stk. 008 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Stellen Sie die Funktionsgleichungen f(x) = 80 – 2x und g(x) = 30 + 3x im Bereich [–5 / 15] dar. Benutzen Sie EXCEL. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts! 80 – 2x = 30 + 3x 50 = 5x x = 10 f(10) = 60 S(10 / 60) -10 -5 f(x) g(x) 0 5 10 15 20 009 Zeichnen Sie die Funktionsgraphen f(x): durch den Punkt X (3/4) mit der Steigung 0,3 und g(x) = 6 – 0,2x in ein Koordinatensystem im Bereich x [-2 / 16]. 9 8 7 6 010 Berechnen Sie die Gleichung des zweiten Teils der stückweise definierten linearen Funktion: f1(x) = 300 – 2x für x [0/50], f2(x) ist linear mit stetigem Übergang von f1 auf f2 und f2(100) = 50. 5 f g 4 3 2 1 0 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 f1(50) = 200 = f2(50) = 50a + b und 50 = 100a + b a = – 3 und b = 350 f2(x) = 350 – 3x 011 Eine Nachfragefunktion ist linear und hat folgende Eigenschaften: bei einem Preis von 40 €/Stk. werden 1.000 Stk. abgesetzt. Wird der Preis um 20 % verringert, dann steigt die Nachfrage auf 1.800 Stk. Berechnen Sie die Nachfragefunktion. Das Angebot für dieses Produkt läuft wie s(x) = 0,02x + 20. Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis und den Nachfrageüberhang bei einem Preis von 100 €/Stk.. 40 = 1000a + b und 32 = 1800a + b a = – 0,01 und b = 50 d(x) = 50 – 0,01x 0,02x + 20 = 50 – 0,01x x = 1000 und s(1000) = 40 €/Stk. s(xs) = 100 = 0,02 xs + 20 xs = 4.000 Stk. d(xd) = 100 = 50 – 0,01xd xd = 5.000 x = 1.000 Stk. 012 Ein Betrieb hat eine Kostenfunktion von K(x) = 4x + 200.000 mit der Kapazität 200.000 Stk. Kosten in Euro, Menge in Stück. Wie hoch sind die Stückkosten beim Beschäftigungsgrad 70 %? Bei welchem Beschäftigungsgrad liegt der Break-even, wenn der Verkaufspreis € 6,50 pro Stück beträgt? – K(140.000)=760.000 K; (140.000)=Error!= 5,43 €/Stk. 6,5x = 4x + 200.000x = 80.000 (d.i. 40 % BG) 013 Ermitteln Sie die Kostenfunktion eines Produktes aus: die Kosten bei der Produktion von 10 ME betragen 540 GE. Wird die Produktion um 20 % erhöht, dann betragen die Kosten 568 GE. K(x) = kx + F 540 = 10k + F und 568 = 12k + F 28 = 2k k = 14 und F = 400 K(x) = 14x + 400 014 3 Geraden schneiden sich in den Punkten P(5 / 7), Q (–3 / 8) und R (4 / –6).Zeichnen Sie die Funktionsgraphen dieser drei Geraden und berechnen Sie die Gleichungen. PQ: y = –0,125x + 7,625 PR: y = 13x – 58 RQ: y = –2x + 2 015 Ein Energieversorgungsinstitut macht 3 Angebote: Angebot A: Gesamttarif für 500 kWh beträgt 400 €, Gesamttarif für 1000 kWh beträgt 800 kWh. Angebot B: für 10.0000 kWh sind € 8.000,-- zu zahlen, erhöht sich der Verbrauch um 20 % sind 12,5 % mehr zu bezahlen. Angebot C: Arbeitspreis 0,4 €/kWh und für 15.000 kWh sind 11.000,-- zu bezahlen. Berechnen Sie die Bereiche, in den A, B oder C am günstigsten für den Verbraucher ist. A(x) = 0,8x B(x) = 0,5x + 3.000 C(x) = 0,4x + 5.000 0,8x = 0,5x + 3000 x = 10.000 kWh 0,8x = 0,4x + 5000 x = 12.500 kWh 0,5x + 3000 = 0,4x + 5000 x = 20.000 kWh im Bereich [0 / 10.000] ist A am billigsten im Bereich [10.000 / 20.000] ist B am billigsten im Bereich [20.000 / ) ist C am billigsten 016 Ein Betrieb hat eine lineare Kostenfunktion und die Durchschnittskosten sind bei einem Beschäftigungsgrad von 20 % 31,43 €/Stk. Die Kapazität ist 70.000 Stk. Bei Vollauslastung betragen die Kosten € 2.120.000,--. Berechnen Sie die variablen Stückkosten und die Fixkosten. Wie hoch muss der Preis sein, damit der Break-even bei einem Beschäftigungsgrad von 60 % auftritt? K(x) = kx + F 440.000 = 31,43 · 0,2 · 70.000 = 14.000 k + F und 2.120.000 = 70.000 k + F = 30 und G = 20.000 p · 56.000 = 56.000 · 30 + 20.000 p = 30,36 €/Stk. k 017 Zeichnen Sie die Funktionsgraphen f(x): durch die Punkte X (3/3) und Y(5/7); g(x) mit der Gleichung g(x) = 10 – x und h(x) durch den Punkt P(5/1) mit der Steigung 0,2. Berechnen Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte! 12 11 10 9 8 7 f(x) = 2x – 3 g(x) = 10 – x h(x) = 0,2 x S1(4,3/5,7) 6 5 f g 4 f g 2x – 3 = 10 – x 3 h 2 1 f g 2x – 3 = 0,2 x S2(1,7/0,3) gh 10 – x = 0,2 x S3 (8,3/1,9) -4 -3 -2 0 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -2 -3 -4 -5 018 Ein Energieversorgungsinstitut macht 3 Angebote: Angebot A: keine Grundgebühr, für insgesamt 30.000 kWh ist ein Preis von € 24.000,-- zu bezahlen. Angebot B: für 20.0000 kWh sind € 13.000,-- zu zahlen, für 30.000 kWh macht die Rechnung insgesamt € 18.000,-- aus. Angebot C: € 5.000 Grundgebühr und ein Arbeitspreis von 0,40 €/kWh. Berechnen Sie die Bereiche, in den A, B oder C am günstigsten für den Verbraucher ist. A(x) = 0,8x B(x) = 0,5x + 3.000 C(x) = 0,4x + 5.000 0,8x = 0,5x + 3000 x = 10.000 kWh 0,8x = 0,4x + 5000 x = 12.500 kWh 0,5x + 3000 = 0,4x + 5000 x = 20.000 kWh im Bereich [0 / 10.000] ist A am billigsten im Bereich [10.000 / 20.000] ist B am billigsten im Bereich [20.000 / ) ist C am billigsten 019 Ein Betrieb hat eine lineare Kostenfunktion und die Durchschnittskosten sind bei einem Beschäftigungsgrad von 20 % 31,43 €/Stk. Die Kapazität ist 70.000 Stk. Bei Vollauslastung betragen die Kosten € 2.120.000,--. Berechnen Sie die variablen Stückkosten und die Fixkosten. Wie hoch muss der Preis sein, damit der Break-even bei einem Beschäftigungsgrad von 60 % auftritt? K(x) = kx + F 440.000 = 31,43 · 0,2 · 70.000 = 14.000 k + F und 2.120.000 = 70.000 k + F = 30 und G = 20.000 p · 56.000 = 56.000 · 30 + 20.000 p = 30,36 €/Stk. k 020 Bei einem Verkaufspreis von 100 €/Stk. beträgt der Absatz 20.000 Stk., wird der Preis auf 20 €/Stk. reduziert, kann der Absatz um 20 % gesteigert werden. Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion. Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis, wenn die Angebotsfunktion s(x) = 20 + 0,01x ist? 100 = 20.000a + b und 20 = 24.000a + b a = – 0,02 und b = 500 d(x) = 500 – 0,02x 20 + 0,01x = 500 – 0,02x x = 16.000 d(16.000) = s(16.000) = 180 021 Ein Betrieb mit der Kapazität von 6.000 Stk. pro Monat hat bei einer Auslastung von 30 % Kosten von € 490.000,--. Die Fixkosten betragen € 400.000,--. Berechnen Sie den Verkaufspreis so, dass der Break-even bei 80 % Beschäftigungsgrad auftritt. 490.000 = 1.800 k + 400.000 k = 50 K(x) = 50x + 400.000 p · 4.800 = K(4.800) = 640.000 p = 133,33 022 Berechnen Sie die Gleichungen des folgenden stückweise definierten Tarifes: 300 € Grundgebühr – Arbeitspreis 0,50 €/ME bis zu einem Verbrauch von 1.000 ME jede ME über 1.000 ME kostet 0,30 ME. Stellen Sie diesen Tarif grafisch im Bereich 0 bis 2000 ME dar. Maßstab: x: 1 : 200 y: 1 : 200 1400 1200 1000 800 600 400 200 T1(x) = 300 + 0,5x für x [0/1.000] T2(x) = 500 + 0,3x für x [1.000 / ) 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 023 Ein Betrieb hat Fixkosten von 300 GE und variable Stückkosten von 4 GE/ME. Wo liegt der Break-even bei einem Verkaufspreis von 6 GE/ME. Um welchen Prozentsatz verschiebt sich der Break-even, wenn der Verkaufspreis um 2 % sinkt? K(x) = 300 + 4x = 6x x = 150 300 + 4x = 5,88x x = 159,6, d.s. + 6,4 % 024 Zeichnen Sie die folgenden Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem! f(x) = 0,5x – 4 g(x) geht durch die Punkte P(4 / 2) und Q(8 / –2) h(x) geht durch (1/2) und hat die Steigung 4 025 Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden g(x) = 7 – 0,5x und h(x) = 5x – 4. 7 – 0,5x = 5x – 4 11 = 5,5x x = 2 S (2 / 6) 026 Eine stückweise definierte Funktion besteht aus zwei linearen Teilen: f1(x) = 30 – 2x für x [0/50]. Berechnen Sie f2(x) im Bereich [50/100] so, dass die Gesamtfunktion stetig ist und die Steigung von f2(x) = 1 ist. 50 Ansatz f2(x) = x + b f1(50) = –70 = f2(50) = 50 + b 40 b = –120 f2(x) = x – 120 30 027 Zeichnen Sie den Funktionsgraph für die stückweise definierte Funktion: f1(x) = 5x + 10 in [0/6] und f2(x) = 70 – 10x in (6/10). Ist die Funktion stetig? Maßstab: x-Achse 1 : 1, y-Achse 1:10. 20 10 0 0 -10 -20 -30 -40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3000 028 2500 Zeichnen Sie die Geraden: f: y = 2.000 – 6x g: y = 4x – 500 in ein Koordinatensystem (Maßstab: x: 1: 100 y: 1: 500 ) und berechnen Sie den Schnittpunkt. 2.000 – 6x = 4x – 500 x = 250 y = 500 S (250 / 500) 2000 1500 1000 500 0 0 -100 -200 100 400 300 200 500 -500 -1000 -1500 029 Ermitteln Sie die Gleichung für eine Gerade g durch die Punkte P(100/2.000) und (700/800). Berechnen Sie die Nullstelle dieser Funktion. 2000 = 100 k + d und 800 = 700 k + d k = -2 und d = 2.200 y = 2.200 – 2x 2.200 – 2x = 0 x = 1.100 Nullstelle N(1.100 / 0) 029 Angebot und Nachfrage nach einem Produkt verhalten sich wie : a(x) = 300 + 0,01 x und n(x) = 1.300 – 0,03 x Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis ! Wie hoch ist der Angebotsüberhang, wenn der Preis um 5 % erhöht wird? 300 + 0,01x = 1.300 – 0,03 x x = 25.000 a(25.000) = 550 €/Stk. 300 + 0,01x = 550 · 1,05 = 577,5 xa = 27.750 1.300 – 0,03x = 577,5 xn = 24.083,3 x = 3.667 Stk. 030 Stellen Sie folgenden Splittarif im Bereich [0 / 1.000 ME] grafisch dar: Grundgebühr € 300,-Arbeitspreis € 5 pro ME, bei einem Verbrauch zwischen 0 und 300 kWh Arbeitspreis € 3 pro ME, bei einem Verbrauch zwischen 300 und 800 kWh Arbeitspreis € 1 pro ME, bei einem Verbrauch über 800 kWh. Berechnen Sie dazu die Gleichungen aller drei Tarifteile. Wie hoch ist der durchschnittliche Preis pro ME bei einem Verbrauch von 900 ME? 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 200 400 600 800 1000 T1(x) = 300 + 5x T2(x) = 3x + 900 T3(x) = x + 2.500 T3(900) = 3.400 mittlerer Tarif = Error! = 3,78 €/ME 031 Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion d(x) = 50 – 0,2x bei einem Verkaufspreis von 30 €/ME.! Senken Sie dazu den Preis um 3 %. 1200 1400 30 = 50 – 0,2x x = 100 29,1 = 50 – 0,2x x = 104,5 ME = – 4 = 5 %;– 3 % 1,5 032 Auf einem Markt werden Erdbeeren verkauft: Bei einem Preis von € 4,20 / kg beträgt das Angebot 500 kg. Sinkt der Preis um 10 %, dann beträgt die angebotene Menge nur mehr 395 kg. Berechnen Sie die Angebotsfunktion für diese Situation. Bei welchem Preis wird nichts mehr angeboten? 4,2 = a · 500 + b und 3,78 = a · 395 + b a = 0,004 und b = 2,2 a(x) = 0,004x + 2,2 bei einem Preis von 2,2 €/kg wird nichts mehr angeboten 033 Ein Betrieb hat eine Kapazität von 4.000 ME und Fixkosten von 8.000 GE. Bei einem Verkaufspreis von 20 GE/ME liegt der Break-even bei 40 % Beschäftigungsgrad. Berechnen Sie die Gleichung der Kostenfunktion. Wie hoch sind die Durchschnittskosten beim Beschäftigungsgrad 80 %? K(x) = kx + 8.000 mit x [0 / 4.000] K(1.600) = E(1.600) = k · 1.600 + 8000 = 20 · 1.600 k = 15 K(x) = 15x + 8.000 – K; (3.200) = Error! = 17,5 GE/ME 034 Die Nachfrage nach einem Produkt hat eine Sättigungsmenge von 4.000 Stk. und einen Prohibitivpreis von 200 €/Stk. Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion. Wie hoch ist die Elastizität der Nachfrage bei einem Preis von 50 €/Stk. p(x) = ax + b mit p(4.000) = 0 = 4.000 a + b und p(0) = 200 = b a = – 0,05 p(x) = 200 – 0,05x 50 = 200 – 0,05x x = 3.000 x = –300 (–10 %) p(2700) = 65 p = 15 (= 30%) (50) = – Error! = 0,33 035 Es gibt zwei Tarifangebote: Angebot A: Splittarif mit einer Grundgebühr von € 500,-- und einem Arbeitspreis von 2 €/ME bis zu einem Verbrauch von 1.000 ME. Ab dann Arbeitspreis von 1 €/ME. Angebot B: keine Grundgebühr, 1,50 €/ME. Berechnen Sie die Gleichungen der Tarife und stellen Sie die Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem dar. Maßstab: xAchse: 1 : 500, y-Achse 1 : 1.000 Ab welchem Verbrauch ist der Tarif B günstiger? 6000 5000 4000 f 3000 g 2000 1000 0 0 500 1000 A1(x) = 2x + 500 für x [0 / 1.000] A2(x) = 1(x – 1000) + 2.500 = x + 1.500 für x (1.000 / ) 1500 2000 2500 3000 3500 4000 B(x) = 1,5x x + 1.500 = 1,5x x = 3.000 036 Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis für a(x) = 30 + 2x und n(x) = 300 – x. Wie hoch ist der Nachfrageüberhang bei einem Preis, der 20 % unter dem Gleichgewichtspreis liegt? 30 + 2x = 300 – x x = 90 und p(90) = 210 168 = 30 + 2xa xa = 69 Gleichgewichtspreis 168 = 300 – xn xn = 132 x = 63 037 Ermitteln Sie die Gleichungen der beiden Geraden f und g und berechnen Sie den Schnittpunkt: f: durch die Punkte A(5 / –150) und B (30 / 100) g: Steigung –26, durch den Punkt C ( 10 / –100) –150 = 5k + d 100 = 30k + d 250 = 25 k k = 10 und d = –200 –100 = 10 · (–26) + d d = 160 f(x) = 10x – 200 g(x) = 160 – 26x 10x – 200 = 160 – 26 x 36x = 360 x = 10 S(10 / –100) 038 Stellen Sie die stückweise definierte Funktion f(x) f1(x) = 30 – 2x für x [–5 / 20] f2(x) = x – 10 für x (20 / 30] in einem Excel-Diagramm dar. 50 40 30 20 10 0 -10 0 10 20 30 40 50 -10 -20 039 Ein Betrieb hat eine Kapazität von 40.000 Stk. Bei einem Beschäftigungsgrad von 40 % sind die Durchschnittskosten 33,125 €/Stk. Steigt der Beschäftigungsgrad auf 60 %, dann betragen die Kosten € 770.000,--. Berechnen Sie die Gleichung der Kostenfunktion. Bei welchem Beschäftigungsgrad liegt der Break-even, wenn der Verkaufspreis 35 €/Stk. beträgt? – K(x) = kx + F mit x [0 / 40.000] K; (16.000) = 33,125 = Error! 530.000 = 16.000k + F und 770.000 = 24.000k + F k = 30 und F = 50.000 K(x) = 30x + 50.000 35x = 30x + 50.000 x = 10.000 = 25 % BG 040 Ein stückweise definierter Splittarif hat folgende Eigenschaften: im Bereich x [0 / 100] müssen für 60 ME insgesamt 98 € bezahlt werden, steigt der Verbrauch um 20 % dann werden 107,6 € fällig. zwischen 100 und 300 ME Verbrauch betragen die Arbeitskosten 1 €/ME, ab 300 ME steigen die Arbeitskosten auf 1,50 €/ME. Berechnen Sie die Gleichungen aller drei Teile der stetigen Tariffunktion. Wie hoch ist der Durchschnittstarif pro ME bei einem Verbrauch von 250 ME? T1(x) = ax + b mit 98 = 60a + b und 107,6 = 72a + b a = 0,8 b = 50 T1(x) = 0,8x + 50 T2(x) = x + c mit T1(100) = T2(100) = 130 = 100 + c c = 30 T2(x) = x + 30 T3(x) = 1,5x + d mit T2(300) = T3(300) = 330 = 450 + d d = – 120 T3(x) = 1,5x – 120 T3(250) = 280 Durchschnittspreis = 1,12 €/ME 041 Die Nachfrage nach einem Produkt verhält sich so: bei einem Preis von 100 €/Stk. werden 20.000 Stk. nachgefragt. Erhöht man den Preis um 10 % dann sinkt die Nachfrage um 2,5 %. Berechnen Sie die lineare Nachfragefunktion. Die Angebotsfunktion für dieses Produkt ist ebenfalls linear mit: bei einem Preis von 200 €/Stk. wird nichts angeboten, bei einem Preis von 500 €/Stk. werden 3.000 Stk. angeboten. Berechnen Sie die Angebotsfunktion a(x). Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis? n(x) = ax + b 100 = 20.000a + b und 110 = 19.500a + b a = – 0,02 b = 500 n(x) = 500 – 0,02x a(x) = cx + d 200 = d und 500 = 3000 c + 200 c = 0,1 a(x) = 200 + 0,1x 500 – 0,02x = 200 + 0,1x x = 2.500 und p = 450 042 Berechnen Sie den Angebotsüberhang bei einem Preis von 7.200 GE/ME für n(x) = 8.000 – 2x und a(x) = x + 6.000. 7.200 = 8.000 – 2x xn = 400 7.200 = x + 6.000 xa = 1.200 043 Überhang = 800 ME Berechnen Sie nur durch Rechnung alle 3 Schnittpunkte der Geraden: g: y = 3 – 0,5x h: y = 1,5x – 5 und i: y = 4,6 – 0,1x g h : 3 – 0,5x = 1,5x – 5 x = 4 y = 1 S1(4/1) g i : 3 – 0,5x = 4,6 – 0,1x x = –4 y = 5 S1(–4/5) h i : 1,5x – 5 = 4,6 – 0,1x x = 6 y = 4 S1(6/4) 044 Ermitteln Sie die Gleichung für eine Gerade g durch die Punkte P(100/200) und (200/600) und eine Gerade h durch den Punkt R(50/350) mit der Steigung –5. Zeichnen Sie beide Gleichungen in ein Koordinatensystem. Maßstab: x-Achse 1:50 y-Achse 1 : 100 200 = 100 k + d und 600 = 200 k + d k = 4 und d = –200 350 = 50 · (–5) + d d = 600 g(x) = 4x – 200 und h(x) = 600 – 5x 045 und Zeichnen Sie die Gerade durch den Punkt P (1.000 / 300) mit der Steigung – 0,2 in ein Koordinatensystem mit dem Maßstab: x: 1: 500 und y: 1 : 100 Berechnen Sie die Gleichung dieser Geraden und die Nullstelle. 300 = 1.000 · (–0,2) + d d = 500 y = 500 – 0,2x 0 = 500 – 0,2x x = 2.500 N(2.500 / 0) 046 Eine stückweise definierte Funktion hat f1(x) = 80 – 2x für x [0 / 10]. Ermitteln Sie die Gleichung für f2(x) im Intervall (10 / 100], wenn die Gesamtfunktion stetig sein soll und f2(40) = 150 sein soll. f1(10) = 60 = k · 10 + d und 150 = 40 k + d k = 3 und d = 30 f2(x) = 3x + 30 047 Ein Betrieb hat eine Kapazität von 70.000 Stück. Bei einem Beschäftigungsgrad von 20 % betragen die Kosten € 3.800.000,--. Steigt der Beschäftigungsgrad um 30 Prozentpunkte, dann sind die Kosten € 9.050.000,--. Verwenden Sie die Skalierung: 1 ME = 1.000 Stk. und 1 GE = € 10.000,--. Berechnen Sie die Gleichung der Kostenfunktion. Wie hoch sind die Durchschnittskosten bei Vollauslastung? Berechnen Sie den Break-even bei einem Preis von 265 €/Stk. K(x) = kx + F mit x [0 / 70] K(14) = 380 = 14 k + F und K(35) = 905 = 35k + F k = 25 und F = 30 K(x) = 25x + 30 – K; (70) = Error! = 25,43 GE/ME = 254,3 €/Stk. 26,5 x = 25x + 30 x = 20 ME 29 % BG 048 Bei einem Preis von 300 €/Stk. werden 500 Stk. nachgefragt, aber 1.000 Stk. angeboten. Wird der Preis um 20 % erhöht, sinkt die Nachfrage auf 200 Stk., das Angebot steigt um 60 %. Berechnen Sie die Gleichungen der Angebots- und Nachfragefunktion. Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis? Wie hoch ist der Nachfrageüberhang bei einem Preis von 250 €/Stk.? a(1.000) = 300 = 1.000a + b und a(1.600) = 360 = 1.600a + b a = 0,1 b = 200 a(x) = 0,1x + 200 n(500) = 300 = 500a + b und n(200) = 360 = 200a + b a = –0,2 b = 400 n(x) = 400 – 0,2x 0,1x + 200 = 400 – 0,2x x = 666,67 p(666,67) = 266,67 250 = 0,1xa + 200 xa = 500 250 = 400 – 0,2xn xn = 750, der Nachfrageüberhang beträgt 250 Stk. 049 Ein Stromtarif hat eine Grundgebühr von 40 €. Für die ersten 100 kWh werden € 0,70 als Arbeitspreis verrechnet, für jede kWh über 100 kWh beträgt der Arbeitspreis € 0,50, und für jede kWh über 300 kWh werden € 0,2 verrechnet. Berechnen Sie die Gleichung dieser drei Tarifteile und stellen Sie die Funktion in einem Koordinatensystem dar. 300 250 200 150 100 T1(x) = 0,7x + 40 für x [0 / 100] T2(x) = 0,5(x – 100) + 110 = 0,5x + 60 für x (100 / 300] T3(x) = 0,2(x – 300) + 210 = 0,2x + 150 für x (300 / ) T(500) = 250 durchschnittlicher Tarif = 0,5 €/kWh T(200) = 160 durchschnittlicher Tarif = 0,8 €/kWH 50 0 0 100 200 300 400 500 050 Berechnen Sie die Verbrauchsmenge, ab der der Tarif B für den Konsumenten günstiger ist: Bei Tarif A müssen für 200 Verbrauchseinheiten (VE) 70 Geldeinheiten bezahlt werden, steigt der Verbrauch um 50 %, dann sind 20 GE mehr zu bezahlen. Tarif B verrechnet 50 GE Grundgebühr und dazu 0,1 GE/VE. 70 = 200 k + d und 90 = 300 k + d k = 0,2 und d = 30 A(x) = 0,2x + 30 und B(x) = 0,1x + 50 0,2x + 30 = 0,1x + 50 x = 200 051 Zeichnen Sie die Gerade mit der Steigung 0,03 durch den Punkt P (4.000 / 1.000) in ein Koordinatensystem mit dem Maßstab: Abszisse 1: 1.000 Ordinate 1: 200. Ermitteln Sie die Gleichung dieser Geraden. Berechnen Sie den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Geraden mit der Gleichung y = 1.230 – 0,02x. 1.000 = 4.000 · 0,03 + d d = 880 y = 0,03x + 880 1230 – 0,02x = 0,03x + 880 350 = 0,05x x = 7.000 und y = 1090 S (7.000 / 1.090) 600 051 Zeichnen Sie die folgenden Geraden in ein Koordinatensystem (Papier). 10 9 f: durch die Punkte P (4/5) und Q (– 4 / 9) g: durch den Punkt R ( 4 / 1) mit der Steigung 0,5 h: mit der Gleichung h(x) = y = 4 – 2x 8 7 6 5 4 3 Benutzen Sie den Maßstab: x – Achse 1 : 1, y – Achse 1: 2 Berechnen Sie die Gleichungen aller Geraden und die Koordinaten der Schnittpunkte. 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -2 -3 5 = 4k + d und 9 = –4k + d –4 = 8k k = – 0,5 und d = 7 f(x) = 7 – 0,5x 1 = 4 · 0,5 + d d = –1 g(x) = 0,5x – 1 Schnittpunkt f mit g Schnittpunkt f mit h Schnittpunkt g mit h 052 -4 und h(x) = 4 – 2x 7 – 0,5x = 0,5x – 1 8 = x und y = 3 daher Sfg (8 / 3) 7 – 0,5 x = 4 – 2x 3 = –1,5 x x = –2 und y = 8 daher Sfh (–2/ 8) 0,5x – 1 = 4 – 2x 2,5x = 5 x = 2 und y = 0 daher Sgh (2 / 0) Stellen Sie die stückweise definierte Funktion f1 (x) = x2 – 4x für x [0 / 6] und f2(x) = 10 – x für x (6 / 10] in einer Excel-Grafik dar. Ist die Funktion stetig (begründen Sie Ihre Antwort)? Berechnen Sie in f2(x) = 10 – kx die Steigung so, dass die Funktion aus f1(x) und f2(x) in den obigen Intervallen stetig wird. f1(6) = 36 – 24 = 12 = 10 – k · 6 k = 1/3 f2(x) = Error!= 10 – Error! 12 10 8 6 4 f1 f2 2 0 0 -2 -4 -6 2 4 6 8 10 053 Ermitteln Sie die Gleichung des zweiten Teils einer stückweise definierten stetigen Funktion mit: f1(x) = 0,1 x + 25 in [ 0 / 50] f2(x) ist linear und hat eine Nullstelle bei x = 200 f1(50) = 30 = k · 50 + d und 0 = 200 k + d 30 = –150k k = – 0,2 und d = 40 f2 (x) = 40 – 0,2x 054 Stellen Sie die Funktion f(x) = x3 – 6x2 – x + 30 im Bereich [–3 / 6] mit Hilfe von Excel oder Derive dar und bestimmen Sie die Nullstellen. Nullstellen bei x = –2, x = 3 und x = 4 055 Ermitteln Sie alle Schnittpunkte der drei Geraden f, g und h durch Zeichnung und Rechnung. f hat die Gleichung f(x) = 5,25 – 0,25x, g geht durch die Punkte P( 1 / –1) und Q (7 / 2) h geht durch den Punkt R (4 / –1) und hat die Steigung –1. f(x) = 5,25 – 0,25x g: –1 = k + d und 2 = 7k + d 3 = 6k k = 0,5 und d = – 1,5 daher g(x) = 0,5x – 1,5 h: –1 = –1 · 4 + d d = 3 daher h(x) = 3 – x Schnittpunkte: f g 5,25 – 0,25x = 0,5x – 1,5 –0,75x = –6,75 x = 9 und y = 3 S1 (9 / 3) 056 f h 5,25 – 0,25x = 3 – x 0,75x = –2,25 x = –3 und y = 6 g h 0,5x – 1,5 = 3 – x 1,5x = 4,5 x = 3 und y = 0 S2 (3 / 0) Zeichnen Sie die folgende Gerade in ein Koordinatensystem mit dem Maßstab: Abszisse 1 : 50 Ordinate 1 : 2.000 Die Gerade g geht durch den Punkt P (100 / 8.000) und hat die Steigung – 20. Benützen Sie zum Zeichnen das Steigungsdreieck (einzeichnen !). Berechnen Sie die Nullstelle. 8.000 = 100 · (– 20) + d d = 10.000 g(x) = 10.000 – 20x Nullstelle bei N(500 / 0) S2 (–3 / 6) 057 Zeichnen Sie die folgende stückweise definierte Funktion in ein Koordinatensystem. Ist die Funktion stetig? Wenn nein, geben Sie die Unstetigkeitsstellen an. Berechnen Sie den Funktionswert f(7). f1(x) = 1,5x – 4 für x [ 0 / 6 ) f2(x) = 11,2 – 0,7x für x [ 6 / 10 ] f3(x) = 0,5x – 0,8 für x ( 10 / 16 ] Maßstab. x: 1:2 y: 1:2 f1(6) = 5 f2(6) = 7 unstetig an x = 6 f2 (10) = 4,2 f3(10) = 4,2 stetig an x = 10 f(7) = 11,2 – 0,7 · 7 = 6,3 058 Ermitteln Sie die Gleichung des zweiten Teils einer stückweise definierten stetigen Funktion mit: f1(x) = 80x + 3.000 in [ 0 / 20]. f2(x) ist linear, definiert über (20 / 100] und hat eine Nullstelle bei x = 66 f1(20) = 4.600 = f2(20) = k · 20 + d 6.600 f2(x) = 6.600 – 100x und 0 = 66 k + d 4.600 = – 46k k = – 100 und d =
