Freitag 13.5.2016

Mathematische Probleme, SS 2016
Freitag 13.5
$Id: convex.tex,v 1.28 2016/05/13 14:42:55 hk Exp $
§3
Konvexgeometrie
3.1
Konvexe Polyeder
In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit konvexen Polyedern zu befassen,
diese sind die Verallgemeinerung der ebenen n-Ecke auf den dreidimensionalen Raum.
Die Kanten eines n-Ecks in der Ebene entsprechen in dieser Deutung den Flächen eines
Polyeders im Raum und wir wollen jetzt auch den Begriff der Innenwinkel von n-Ecken
auf die dreidimensionale Situation übertragen. Die Innenwinkel eines n-Ecks sind Winkel zwischen seinen Kanten und als Innenwinkel“ eines dreidimensionalen Polyeders
”
verwendet man entsprechend die Winkel zwischen seinen Randflächen. Dabei ist immer
derjenige der möglichen vier Winkel gemeint der das Polyeder enthält. Manchmal werden die Winkel zwischen den Randflächen auch als die Diederwinkel“ des Polyeders
”
bezeichnet, wir sprechen meist einfach von Winkeln.
f2
θ
e
f1
e
g2
A
M
B
θ
g1
l
Winkel zwischen Ebenen
Querschnitt
Mittelsenkrechte
Hat man zwei Ebenen f1 , f2 die sich in einer Geraden l schneiden und will den Winkel θ
zwischen f1 und f2 bestimmen, so können wir f1 , f2 mit einer auf f1 und f2 senkrechten
Ebene e schneiden, in e wird e ∩ l dann ein Punkt in dem sich die beiden Geraden
g1 = e ∩ f1 und g2 = e ∩ f2 schneiden und der Winkel θ ist dann der Winkel zwischen g1
und g2 . Damit sind die räumlichen Winkel auf ebene Winkel zurückgeführt. Will man
diesen Mechanismus verwenden so braucht man nur noch eine Methode, zu entscheiden
ob zwei Ebenen senkrecht aufeinander stehen. Hierzu beachte zunächst das zwei nicht
parallele Ebenen e, f genau dann senkrecht aufeinander stehen wenn es eine Gerade l in
f gibt die senkrecht auf e steht, es reicht also eine Ebene und eine Gerade als senkrecht
zu erkennen. Will man sogar wie oben eine Ebene e finden die auf zwei nicht parallelen
Ebenen f1 und f2 senkrecht ist, so muss diese Ebene e also auf der Schnittgeraden
l = f1 ∩ f2 senkrecht sein.
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Will man schließlich erkennen ob eine Ebene e senkrecht auf einer Geraden l ist,
so können wir hierzu die räumlichen Mittelsenkrechten verwenden. Sind A, B zwei
verschiedene Punkte im Raum, so bildet die Menge aller Punkte die von A und B
denselben Abstand haben eine Ebene nämlich die auf AB senkrechte Ebene durch den
Mittelpunkt M der Strecke AB, dies kann man genau wie im zweidimensionalen Fall
einsehen. Haben wir also eine Gerade l und eine Ebene e und wollen einsehen das l
senkrecht auf e ist, so müssen wir nur zwei Punkte A, B ∈ l und drei nicht kollineare
Punkte C1 , C2 , C3 ∈ e mit |ACi | = |BCi | für i = 1, 2, 3 finden, denn dann liegen
C1 , C2 , C3 auf der Mittelsenkrechten von AB und diese ist damit gleich e.
E
D
D
C
E
F
θ
A
B
A
Standardsimplex
M
F
Querschnitt
Wir wollen uns ein Beispiel anschauen. Wir starten mit einem Würfel W der Kantenlänge a > 0. Sei A eine Ecke von W und seien B, C, D die drei mit A benachtbarten
Ecken von W , d.h. diejenigen die mit A durch eine Kante von W verbunden sind. Die
konvexe Hülle S der Punkte A, B, C, D ist dann ein Simplex aber kein Tetraeder. Wir
wollen den Winkel θ zwischen der unteren“ Fläche ABC von S und der diagonalen“
”
”
Fläche BCD von S bestimmen. Wollen wir dem obigen Schema folgen so benötigen
wir zunächst eine Ebene e die senkrecht auf ABC und BCD ist und hierzu verwenden
wir die Ebene e die das Rechteck AF ED enthält wobei EF die AD gegenüberliegende
Kante von W ist. Die beiden Ebenen ABC und BCD schneiden sich in der Diagonale
BC des Quadrats ABF C und wir behaupten das diese senkrecht auf e ist. Da BC in
der Fläche ABF C von W liegt ist AD senkrecht auf BC und da die beiden Diagonalen
eines Quadrats senkrecht aufeinander stehen ist auch AF senkrecht auf BC. Damit ist
e senkrecht auf BC und damit
√ auch auf ABC und BCD. Nun ist e ∩ W ein Rechteck
mit |AD| = a und |AF | = 2 · a. Weiter schneiden sich die beiden Diagonalen eines
Quadrats in ihrem gemeinsamen Mittelpunkt, d.h. BCD ∩ e läuft durch den Mittelpunkt M von AF und durch D, der Winkel θ ist also der Winkel des Dreiecks AM D
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bei M . Da dieses in A rechtwinklig ist folgt
tan θ =
√
1
|AD|
1
= 2 und somit cos θ = √
=√ .
2
|AM |
3
1 + tan θ
Damit haben wir
1
≈ 54, 74◦ .
θ = arccos √
3
Alternativ kann man den Winkel auch mit Methoden der Vektorrechnung berechnen,
schreiben wir die beiden Ebenen e1 , e2 in Hessescher Normalform mit Normalenvektoren n1 , n2 so ist der Winkel zwischen e1 und e2 gleich dem Winkel zwischen den
Normalenvektoren n1 und n2 . Allgemeiner kann man auch Vielfache der Normalenvektoren nehmen da dies keinen Einfluss auf den Winkel hat. In unserem Beispiel hat ABC
den Normalenvektor n1 = (0, 0, 1) und der Normalenvektor auf BCD steht senkrecht
auf C − B = a(−1, 1, 0) und D − B = a(−1, 0, 1). Dabei haben wir das Koordinatensystem mit zum Würfel passenden Koordinatenachsen gewählt. Als nicht normierten
Normalenvektor können wir das Vektorprodukt

 
  
−1
−1
1





1
0
1 
n2 =
×
=
0
1
1
verwenden und es wird wieder
cos θ =
hn1 |n2 i
1
=√ .
||n1 || · ||n2 ||
3
Wir wollen hier nur einen allgemeinen, und nicht so offensichtlichen, Satz über konvexe
Polyeder beweisen, die sogenannte eulersche Polyederformel. Für den Beweis dieses
Satzes ist ein kleiner Hilfsbegriff nützlich. Ein polyedrisches Netz im R2 ist eine endliche,
nicht leere Menge Σ von Teilmengen des R2 mit den folgenden drei Eigenschaften:
1. Jedes A ∈ Σ ist ein n-Eck für ein n ∈ N mit n ≥ 3.
2. Sind A, B ∈ Σ mit A 6= B, so ist A ∩ B entweder leer, oder eine gemeinsame Ecke
von A und B oder eine gemeinsame Kante von A und B.
S
3. Die Vereinigung M := Σ ⊆ R2 ist zusammenhängend und der Rand ∂M ist
ein überschneidungsfreier Kantenzug bestehend aus Seiten der Elemente von Σ.
Polyedrisches Netz
Kein Netz
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Kein Netz
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Dabei kann die Zahl n im ersten Punkt von A abhängen, muss also nicht immer denselben Wert haben. Die Bedingung an den Rand von M verbietet Netze mit Löchern“
”
oder aus mehreren Stücken zusammengesetzte Netze wie die beiden obigen Beispiele.
Haben wir ein konvexes Polyeder P ⊆ R3 , so können wir aus diesem eine Fläche entfernen und den verbleibenden Teil des Randes in die Ebene aufklappen, dabei veränderen
sich alle metrischen Werte wie Winkel und Flächeninhalte aber die kombinatorische
Struktur des Randes bleibt erhalten. Auf diese Weise wird aus dem Polyeder P ein polyedrisches Netz. Führen wir diese Konstruktion für Tetraeder, Würfel und Oktaeder
durch, so ergeben sich beispielsweise die folgenden polyedrischen Netze:
Α4
Α3
Α3
Α5
∆2
∆3
Α4
Α5
Α7
Α6
∆1
Aufgeklapptes Tetraeder
Α2
Α2
Α1
Α1
Aufgeklappter Würfel
Aufgeklapptes Oktaeder
Die eulersche Polyederformel besagt das in einem konvexen Polyeder P im R3 mit e
Ecken, k Kanten und f Flächen stets e − k + f = 2 gilt. Entfernen wir eine Fläche von
P und klappen den Rest zu einem polyedrischen Netz Σ auf, so sollte in Σ die Zahl
der Ecken minus die Zahl der Kanten plus die Zahl der n-Ecke also gleich Eins sein
und wir werden die eulersche Polyederformel beweisen indem wir diese entsprechende
Aussage über polyedrische Netze nachweisen.
Satz 3.2 (Die eulersche Polyederformel)
Sei P ⊆ R3 ein konvexer Polyeder mit f Flächen, k Kanten und e Ecken. Dann gilt
die sogenannte eulersche Polyederformel e − k + f = 2.
Beweis: Wir teilen den Beweis in mehrere Schritte auf.
(Schritt 1) Sei Σ ein nur aus Dreiecken bestehendes polyedrisches Netz im R2 mit f
Dreiecken, k Kanten und e Ecken. Dann gilt e − k + f = 1.
Diese Behauptung beweisen wir durch Induktion nach f . Im Induktionsanfang f = 1
besteht Σ nur aus einem einzigen Dreieck und damit sind e = 3, k = 3 und f = 1,
also e − k + f = 1. Nun sei sei f ∈ N mit f ≥ 2 und für jedes nur aus Dreiecken
bestehende polyedrische Netz Σ im R2 mit |Σ| < f gelte die Behauptung. Sei Σ jetzt
ein aus f S
Dreiecken bestehendes polyedrisches Netz im R2 mit k Kanten und e Ecken.
Sei M = Σ. Da der Rand ∂M aus mindestens einer Kante besteht, gibt es ein ∆ ∈ Σ
das mindestens eine Kante auf ∂M hat. Wären alle drei Kanten von ∆ in ∂M , so kann
∂M nur aus diesen drei Kanten bestehen und es ist Σ = {∆}, im Widerspruch zu
|Σ| = f > 1. Es können also zwei verschiedene Fälle auftreten.
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∆
∆
∆
Fall (1.a)
Fall (1.b)
Fall (2)
Fall 1. Genau eine Kante von ∆ liegt auf dem Rand ∂M . Damit erhalten wir eine
weitere Fallunterscheidung.
Fall 1.a. Zunächst nehmen wir an das die dritte Ecke v von ∆ auch auf ∂M liegt.
Dann zerfällt Σ\{∆} = Σ0 ∪ Σ00 in zwei nur aus Dreiecken bestehende polyedrische
Netze Σ0 , Σ00 im R2 mit |Σ0 |, |Σ00 | < f , die sich in der Ecke v treffen. Bezeichnet e0 , k 0 , f 0
und e00 , k 00 , f 00 die Zahl der Ecken, Kanten und Dreiecke in Σ0 und Σ00 , so haben wir
nach unserer Induktionsannahme
e0 − k 0 + f 0 = e00 − k 00 + f 00 = 1.
Nun gelten e = e0 + e00 − 1, da die Ecke v in Σ0 und Σ00 vorkommt, sowie k = k 0 + k 00 + 1
und f = f 0 + f 00 + 1. Damit ist auch
e − k + f = e0 − k 0 + f 0 + e00 − k 00 + f 00 − 1 = 1.
Fall 1.b. Die dritte Ecke von ∆ liegt nicht auf dem Rand ∂M . Dann ist Σ0 := Σ\{∆}
ein nur aus Dreiecken bestehendes polyedrisches Netz im R2 mit e0 = e Ecken, k 0 := k−1
Kanten und f 0 := |Σ0 | = f − 1 < f Dreiecken, also ist nach unserer Induktionsannahme
e0 − k 0 + f 0 = 1, und somit auch
e − k + f = e0 − k 0 + f 0 = 1.
Damit ist der erste Fall vollständig behandelt.
Fall 2. Genau zwei der Kanten von ∆ sind in ∂M . Dann ist Σ0 := Σ\{∆} wieder ein
nur aus Dreiecken bestehendes polyedrisches Netz im R2 mit f 0 = f − 1 Dreiecken,
k 0 = k − 2 Kanten und e0 = e − 1 Ecken. Nach unserer Induktionsannahme ist damit
e − k + f = e0 − k 0 + f 0 = 1, und die Behauptung ist auch in diesem Fall bewiesen.
Per vollständiger Induktion ist Schritt (1) damit vollständig bewiesen.
(Schritt 2) Ist Σ ein polyedrisches Netz im R2 mit f Elementen, k Kanten und e
Ecken, so gilt e − k + f = 1.
P
Für jedes A ∈ Σ sei n(A) die Anzahl der Ecken von A und setze n(Σ) := A∈Σ (n(A) −
3). Wir beweisen die Behauptung dann durch Induktion nach n(Σ). Ist Σ ein polyedrisches Netz im R2 mit n(Σ) = 0, so besteht Σ nur aus Dreiecken und die Behauptung
gilt nach Schritt (1). Nun sei n ∈ N mit n ≥ 1 und für jedes polyedrische Netz Σ im
R2 mit n(Σ) = n − 1 gelte die Behauptung. Sei Σ ein polyedrisches Netz im R2 mit
n(Σ) = n > 0. Dann gibt es ein A ∈ Σ das ein m-Eck für ein m ≥ 4 ist. Dann können
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wir A = A0 ∪ A00 in ein Dreieck A0 und ein (m − 1)-Eck A00 zerlegen und erhalten ein
neues polyedrisches Netz Σ0 := (Σ\{A}) ∪ {A0 , A00 } mit f 0 := |Σ0 | = f + 1 das k 0 = k + 1
Kanten und e0 = e Ecken hat. Weiter ist
n(Σ0 ) = n(Σ) − (n(A) − 3) + (n(A0 ) − 3) + (n(A00 ) − 3) = n(Σ) − m + m − 1 = n − 1,
also gilt nach unserer Induktionsannahme 1 = e0 − k 0 + f 0 = e − k + f . Per vollständiger
Induktion ist Schritt (2) damit vollständig bewiesen.
(Schritt 3) Sei schließlich P ⊆ R3 ein konvexer Polyeder mit e Ecken, k Kanten
und f Flächen. Durch Aufklappen dieses Polyeders erhalten wir ein polyedrisches Netz
Σ im R2 mit f − 1 Elementen, k Kanten und e Ecken. Nach Schritt (2) gilt somit
e − k + f = e − k + (f − 1) + 1 = 2.
3.2
Die platonischen Körper
Wir hatten bereits bemerkt das die konvexen Polyeder im R3 in gewissen Sinne die
dreidimensionale Version“ der konvexen n-Ecke in der Ebene sind. Ein besonders
”
regelmäßiger Typ eines konvexen n-Ecks waren dabei die gleichseitigen n-Ecke bei denen alle Kanten dieselben Länge haben. Es gibt keine kanonische Verallgemeinerung“
”
gleichseitiger n-Ecke zu einem dreidimesionalen Begriff, in unserer Analogie entsprechen
die Kanten eines n-Ecks den Seitenflächen eines konvexen Polyeders, für die Länge einer
Kante gibt es aber keine direkte Entsprechung. Im Laufe der Zeit wurden verschiedene
Typen besonders regelmäßiger konvexer Polyeder eingeführt. Eine Möglichkeit ist es
zu fordern das die Seitenflächen möglichst regelmäßig sind, und es entsteht der Begriff
der sogenannten Johnson-Polyeder.
Definition 3.3 (Johnson Polyeder)
Ein Johnson-Polyeder ist ein konvexer Polyeder im R3 dessen Flächen reguläre n-Ecke
sind.
Dabei wird n-Eck“ als Name verwendet, es ist kein fixiertes n gemeint. Starten wir
”
etwa mit einem Quadrat in einer Ebene, so können wir nach Aufgabe (18) einen Punkt
außerhalb dieser Ebene finden dessen Abstand zu allen vier Ecken des Quadrats gleich
der Kantenlänge des Quadrats ist, bilden wir also die konvexe Hülle unseres Quadrats
und dieses neuen Punkts so entsteht eine Pyramide als ein Johnson-Polyeder mit vier
gleichseitigen Dreiecken und einem Quadrat als Seitenflächen.
Unter den gleichseitigen n-Ecken gibt es den speziellen Typ der regulären n-Ecke
bei denen auch noch alle Innenwinkel gleich sind. Bei diesen liegen alle Ecken nach
Aufgabe (15) auf einem Kreis und durch Drehungen um den Mittelpunkt dieses Kreises
können wir jede Ecke des n-Ecks in jede andere überführen. Die Ecken eines regulären
n-Ecks sehen also in gewissen Sinne alle gleich aus. Entsprechend gibt es auch unter den
Johnson-Polyedern solche bei denen alle Ecken gleich aussehen“, allerdings kann auch
”
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dies im Raum auf verschiedene Weisen interpretiert werden. Die wohl einschränkenste
Interpretation führt auf den Begriff eines platonischen Körpers.
Definition 3.4 (Platonische Körper)
Seien n, m ∈ N mit n, m ≥ 3. Ein platonischer Körper von Typ (n, m) ist ein konvexer
Polyeder P ⊆ R3 mit den folgenden beiden Eigenschaften:
(a) Jede Fläche von P ist ein reguläres n-Eck.
(b) In jeder Ecke von P treffen genau m Flächen zusammen.
Wir kennen auch bereits einige Beispiele platonischer Körper. Ein Tetraeder besteht
aus f = 4 gleichseitigen Dreiecken und in jeder Ecke des Tetraeders treffen drei von
diesen aufeinander, der Tetraeder ist also ein platonischer Körper von Typ (3, 3). Beim
Würfel haben wir f = 6 Quadrate, also reguläre Vierecke, und in jeder Ecke des
Würfels treffen drei dieser Quadrate zusammen, der Würfel ist also ein platonischer
Körper von Typ (4, 3). Schließlich hatten wir auch noch das aus f = 8 gleichseitigen
Dreiecken gebildete Oktaeder und in diesem treffen in jeder Ecke vier dieser Dreiecke
zusammen, der Oktaeder ist also ein platonischer Körper von Typ (3, 4).
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