Mengentheoretische Topologie

Boto von Querenburg
Mengentheoretische
Topologie
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1973
Verfasser:
G. Bengel, Fachbereich Mathematik, UniversiUit 675 Kaiserslautern
H.-D. Coldewey, 7773 NuBdorf, Zum Kretzer 2
K Funcke, Math. Institut, Ruhr-Universitat 463 Bochum-Ouerenburg
E. Gramberg, Math. Institut, Ruhr-Universitat 463 Bochum-Ouerenburg
N. Peczynski, Math. Institut, Ruhr-Universitat 463 Bochum-Ouerenburg
A Stieglitz, Math. Institut, Ruhr-Universitat 463 Bochum-Ouerenburg
E. Vogt, Math. Institut, Universitat 69 Heidelberg
H. Zieschang, Math. Institut, Ruhr-Universitat 463 Bochum-Ouerenburg
Manuskriptabschrift:
E. Peters, Math. Institut, Ruhr-Universitat 463 Bochum-Ouerenburg
AMS Subject Classification (1970): 54-01, 54A05, 54A10, 54A20, 54Bxx, 54Cxx,
54Dxx, 54E15, 54E35, 54E50
ISBN-13: 978-3-540-06417-6
e-ISBN-13: 978-3-642-96167-0
001: 10.1007/978-3-642-96167-0
Das Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch
bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfaltigungen fUr gewerbliche Zwecke ist gema8
§ 54 UrhG eine Vergiitung an den Verlag zu zahlen, deren HOhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist.
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1973. Library of Congress Catalog Card Number 73-10664.
Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
VOnNort
Es werden die Grundbegriffe und -satze der allgemeinen Topologie behandelt, ferner erganzend einige speziellere Themenkreise, die nicht zum
Standardstoff gehoren. Das Buch ist gedacht fUr Studenten, die schon
exakte Beweise fUhren
und mit den mengentheoretischen Operationen um-
gehen konnen, die also etwa ein bis zwei Semester Mathematik studiert
haben. Meistens hat der Student dann auch einen Teil der Begriffe,
Methoden und Satze der mengentheoretischen Topologie (oftmals beschrankt
auf metrische Raume) kennengelernt. Deshalb wird am Anfang sowohl auf
Motivationen wie auf die vollstandige DurchfUhrung bei manchen Beweisen
verzichtet. Der eigene Nachtrag von Beweisen soll auch weitgehend das
Losen von solchen Obungsaufgaben ersetzen, in denen skurile topologische
Raume behandelt werden.
Das Buch kann als Grundlage zum Eigenstudium, als Begleittext zu einer
Vorlesung und als Unterlage zu einem Proseminar dienen. Zu letzterem
wurde 1970 die Mitschrift einer Vorlesung von E. Arrin (Bamburg SS 1959)
von uns Uberarbeitet und erganzt. In den darauffolgenden Semestern wurde
der Text in Proseminaren erprobt und anschlieBend mehrfach Uberarbeitet
und erweitert. Wir hoffen, daB Studenten mittlerer Semester die in der
vorliegenden vierten Fassung ausgelassenen Beweise durchfUhren bzw. erganzen konnen.
Wir freuen uns, daB aus unserem Skriptum ein HOCHSCHULTEXT geworden ist,
danken dem Springer-Verlag fUr die Aufnahme in diese Reihe und hoffen,
daB wenigstens der Baum den Leser erfreuen wird.
Bochum, den 15. Mai 1973
Inhaltsverzeichnis
o
1
Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen
1
Metrische Riiume
7
A Metrische Riiume
B Umgebungen
8
C Stetige Abbildungen
11
D Konvergente Folgen
12
E Trennungseigenschaften
14
15
Aufgaben
2
Topologische Riiume und stetige Abbildungen
A Topologische Riiume
17
B Stetige Abbildungen
22
Aufgaben
3
5
27
A Unterraumtopologie, Produkttopologie
27
B Initialtopologie
32
C Finaltopologie, Quotiententopologie
33
D Identifizierungstopologie, Zusammenkleben von Riiumen
35
39
Zusammenhiingende Riiume
43
A Zusammenhiingende Riiume
43
B Wegzusammenhang, lokaler Zusammenhang
48
Aufgaben
50
Filter und Konvergenz
52
A Folgen
52
B Netze
54
C Filter
55
Aufgaben
17
25
Erzeugung topologischer Riiume
Aufgaben
4
7
60
v
6
Trennungseigenschaften
62
B Vererbbarkeit von Trennungseigenschaften auf Unterraume, Produktraume und Quotientenraume
67
C Fortsetzung stetiger Abbildungen in
hausdorffsche und regulare Raume
70
Aufgaben
7
72
Normale Raume
74
A Lemma von Urysohn
74
B Fortsetzung stetiger Abbildungen
77
C Lokal-endliche Systeme und Partitionen der Eins
79
Aufgaben
8
82
Kompakte Raume
83
A Kompakte Raume
B Lokalkompakte
83
Raume
C Andere Kompaktheitsbegriffe
Aufgaben
9
93
97
102
Parakompakte Raume und Metrisationssatze
A Parakompakte Raume
B Metrisationssatze
Aufgaben
11
87
90
Satz von Stone-WeierstraB
Aufgaben
10
62
A Trennungseigenschaften topologischer
Raume
107
111
Uniforme Raume
112
A Uniforme Raume
112
B GleichmaBig stetige Abbildungen
117
C Konstruktion uniformer Raume
118
D Uniformisierung
121
Aufgaben
104
104
127
VI
12
Vervollstandigung und Kompaktifizierung
A Vervollstandigung uniformer Raume
B Kompaktifizierung vollstandig regularer Raume
Aufgaben
136
142
13
Vollstandige, Polnische und Bairesche
A Vollstandige Raume
B Vollstandige metrische Raume
C Polnische Raume
D Bairesche Raume
E Anwendungen des Baireschen Satzes
Aufgaben
Raume
144
146
148
150
153
157
14
Funktionenraume
A Uniforme Struktur der
160
144
160
l' -Konvergenz
B Kompakt-offene Topologie
C Gleichgradige Stetigkeit und der
Satz von Ascoli
Aufgaben
15
129
129
165
167
172
174
Ringe reellwertiger Funktionen
A Z-Mengen und Z-Filter
B Fixierte maximale Ideale und kompakte Raume
176
C Stone-Cech-Kompaktifizierung
Aufgaben
178
183
174
Diagramm
185
Literatur
188
Index
189
Symbole
195
Hinweise fOr den Leser
Kapitel 0 stellt ohne Beweise diejenigen Grundbegriffe und Hilfsmittel
der Mengenlehre zusammen, die in den folgenden Kapiteln benotigt werden.
Das Kapitel 1 uber metrische Raume ist als Einfuhrung in die Fragestellung en der mengentheoretischen Topologie gedacht und dient zur Motivation
fur spatere Begriffsbildungen.
Die grundlegenden Begriffe und Satze der allgemeinen Topologie sind in
folgenden Abschnitten enthalten:
I
2; 3A; 4A; SA, C; 6A, B; 7; 8A, B; 9.'
Die weiteren Kapitel konnen auch in einer anderen Reihenfolge als in der
hier angegebenen gelesen werden, z.B. in Zusammenstellungen wie sie auf
der nachsten Seite aufgefuhrt sind. Den (bio-) logischen Zusammenhang
zwischen den einzelnen Kapiteln entnimmt man dem Baum auf der Ruckseite
des Buches.
Zu jedem Kapitel gibt es mehrere Obungsaufgaben. In ihnen soll der Leser
einerseits die Anwendung der Begriffe und Satze des vorangegangenen
Kapitels einuben, andererseits soll er Beispiele und Gegenbeispiele entwickeln und manchmal auch weiterfuhrenden Stoff behandeln. Oft tragen
auch Beispiele zu Definitionen oder Satzen den Charakter von Obungsaufgaben. Ein Stern an einer Obungsaufgabe deutet an, dae diese Aufgabe
schwieriger zu losen ist als die anderen.
Steht am Ende eines Satzes das Zeichen 0, so ist der Beweis der Aussage
evident oder kann leicht unter Verwendung der bereitgestellten Methoden
und Satze erbracht werden. Wir empfehlen dem Leser, zu seiner Obung die
ausgelassenen Beweise durchzufuhren und sich. die Beispiele zu verdeutlichen.
Verweise in diesem Buch zitieren die Nummer eines Kapitels und die Nummer
eines Satzes innerhalb dieses Kapitels: 6.9 bedeutet etwa Satz 9 aus
Kapitel 6, A 13.2 bezeichnet die Aufgabe 2 zu Kapitel 13. 1m Index wird
auf Seiten verwiesen.
VIII
Themenkreise
1m folgenden sind diejenigen Abschnitte zusammengestellt, die zum Verstandnis des angegebenen Themenkreises benotigt werden.
1. Satz von
Stone-Weierstra~
2; 3A; SA; 9.
2. Metrisationssatz von Bing-Nagata-Smirnov
2; 3A; SA; 7A, C; SA, B; 10.
3. Uniformisierung topologischer Raume und Metrisierung uniformer
Raume.
2; 3A, B; SA, B; 11.
4. Stone-Cech-Kompaktifizierung
2; 3A, B; 5C; SA, B; SA, B; 12; (15).
5. Vervollstandigung uniformer Raume. Vollstandig metrisierbare Raume.
2; 3A, B; 5C; SA;, llA, B, C; 12A; 13A, B, C;
S. Funktionenraume
2; 3A, B; 5C; SA; SA; llA, B, C; 14.
7. Ringe reellwertiger Funktionen
2; 3A; 5C; SA; SA; 12B; 15.
Leitfaden
13 Vollsti:indige,
Polnische und
Bairesche Ri:iume
12 Vervollsti:indigung
und Kompaktifizierung
111
9 Satz von StoneWeierstraR,
----Is
Uniforme Ri:iume
I
-----,
Kompakte Ri:iume
------
I
Ir 7--N-o-r-m-a-l-e--R-a-'u-m-e
'I -----
14 Funktionenri:iume
15 Ringe reellwertiger Funktionen
10 Parakompakte
Ri:iume und Metrisationssatze
6 Trennungseigenschaften
5 Filter und Konvergenz
3 Erzeugung topologischer Ri:iume
2 Topologische Ri:iume
und stetige Abbildungen
11
Metrische Ri:iume
4 Zusammenhi:ingende Raume
o Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen
Logische KUrzel
0.1
An logischen Zeichen werden verwendet
V
::3
fUr aIle
es existiert
(a) .. (b)
aus (a) folgt (b)
(a) ... (b)
aus (b) folgt (a)
(a) -
(a) gilt genau dann, wenn (b) gilt
(b)
nach Definition gleich
:- (b)
(a)
(a) gilt nach Definition genau dann, wenn (b) gilt.
Das Ende eines Beweises wird durch 0 angezeigt. Wird kein Beweis angegeben, dann steht 0 am Ende des Satzes.
Mengen
0.2
1st a Element einer Menge A, dann schreiben wir a E A, ist das nicht
del' Fall, so schreiben wir a
dann bedeutet E(a), da8 auf a
$
E
A. 1st A eine Menge und E eine Eigenschaft,
A die Eigenschaft E zutrifft. Die Menge
del' Elemente a von A, fUr die E(a) zutrifft, wird mit {a E AI E(a)}
bezeichnet.
Spezielle Mengen, die oft vorkommen, tragen feste Bezeichnungen:
: leere Menge
(/)
IN : natUrliche Zahlen einschlie8lich 0
N": natUrliche Zahlen ohne 0
Z
ganze Zahlen
Q
rationale Zahlen
IR
C
reelle Zahlen
komplexe Zahlen
= {x
IR" : = {x
IR :
+
RI x ~ O}
E RI x -# O}
E
2
Rechnen mit Mengen
....
a E B
A C B :* a E A
A:::> B :* b E B
b E A
A = B :* A :::> B und B :::> A
A\B
- {a E AI a Ef B}
Ist I eine Menge und Ai fUr jedes i E I eine Teilmenge von A, dann
definiert man
V A.:= {x E AI x ist Element von mindestens einem Ai}'
iEI ~
•
A.: = {x E AI x ist Element von allen A.}
~
iEI ~
Damit gilt V A. = (I) und
A. = A.
iE(I} ~
iE(I} ~
0.3
.
n
n
Ist
von
~=
n
iEI
{Ail i E I},so schreibt man auch
A. bzw. V A .•
~
iEI ~
n.A-
bzw.
V./oJ.
an Stelle
Ist A eine Menge, Bi C A fUr jedes i E I und B C A, dann gilt
0.4
A'-( V B.) =
(A'-B.),
iEI ~
iEI
~
n
0.5
A'({\ B.) =
iEI
~
V
iEI
(A'-B;),
~
0.6
Bn( V B;) = V
(B n B;),
iEI ~
iEI
~
0.7
BU({\ B.) =
(B U B.).
iEI ~
iEI
~
n
Mit .JJ (A) bezeichnen wir die Menge der Teilmengen von A. ? (A) heiJ?,t
Potenzmenge von A. Sind A und B Mengen, dann definiert man die Produktmenge A x B von A und B als Menge der geordneten Paare (a,b) mit a E A
und b E B.
Abbildungen
0.8
Eine Abbildung f von einer Menge A in die Menge B, geschrieben
f: A ~ B, ist eine Teilmenge von A x B mit den beiden Eigenschaften:
(a) Zu jedem a E A gibt es ein b E B mit (a,b) E f.
(b) Aus (a,b) E fund (a,c) E f folgt b = c.
FUr (a,b) E f schreibt man gewohnlich b = f(a) oder a ~ f(a).
Statt f: A ~ B schreibt man auch (bi)iEA und nennt (bi)iEA Familie.
Gilt A = N, so heiJ?,t die Familie (bi)iEN auch Folge. f heiJ?,t injektiv,
wenn aus f(a) = feb) folgt, daJ?, a = b ist. f heiJ?,t surjektiv, wenn es zu
jedem b E B ein a E A gibt mit f(a) = b. Ist f injektiv und surjektiv,
dann heiJ?,t f bijektiv. f heiJ?,t auch Injektion, Surjektion bzw. Bijektion.
FUr jede Menge A wird die Abbildung idA: A ~ A durch a ~ a definiert; sie
heiJ?,t Identitat auf A. Ist A C B, dann definiert man die kanonische
3
1njektion j: A
B durch a
~
a. Sei f: A
~
Dann heiBt die Abbildung g: C
B mit x
~
~
~
Beine Abbildung und C C A.
f(x) fur x E C die Beschrankung
(Restriktion) von f auf C, in Zeichen f!C.
1st C C A und DeB, dann heiBt f(C) := {f(a)! a E C} Bildmenge von C und
f- 1 (D) := {a E A! f(a) E D} das Urbild von D bezuglich f. Jede Abbildung
f: A ~ B induziert so eine Abbildung f- 1
(B) ~
:P (A). Sind A. C A
P
l
und B. C B Teilmengen (i E I), dann gilt
0.9
l
f-
1
(U
B.)
iE1
= U
iE1
l
(n
0.10
f- 1
0.11
f
(n
iE1
A. )
C
0.12
f
(U
A. )
=
0.13
f: A
0.14
f: A
Bi ) =
iE1
iE1
~
l
l
f
-1
(B l·
) ,
n
f -1 (B i ) ,
n
f(A i ),
iE1
iE1
M f(A.) .
l
B ist injektiv genau dann, wenn fur aIle E, F C A gilt
f(A n B)= f(A) n feB).
~
B ist bijektiv genau dann, wenn fur aIle E
C
A gilt
f(A"E) = B,\f(E).
Ferner gelten folgende Beziehungen fur Teilmengen E C A und FeB.
0.15 E C f- 1 (f(E)); E = f- 1 (f(E))YE C A" f injektiv.
0.16 fCf- 1 (F)) C F; f(f- 1 (F)) = F\lF C B .. f surjektiv. Sind f: A ~ B und
g: B
~
C Abbildungen, dann definiert man die zusammengesetzte Abbildung
gof: A ~ C durch a ~ g(f(a)). Fur die induzierten Abbildungen auf den
Potenzmengen gilt (gof)-l = f- 1 og-l.
Ein Diagramm von Abbildungen
A
h~
f
B
/g
:>
C
heiBt kommutativ, wenn h= gof ist.
Oberdeckungen
0.17
Eine Familie (Ai)iE1 von Teilmengen von A heiBt Oberdeckung von
Be A, wenn Be
U
A .. Seien (A')'E1 und (CJ')J'EJ Oberdeckungen von B.
iE1
l
l
l
(Cj)jEJ heiBt Teiluberdeckung von (Ai)iE1, falls
zu jedem j E J ein
iE1 existiert mit C.= A ..
J
l
Sind (Ai)iE1 und (Bk)kEK zwei Oberdeckungen von B C A, dann heiBt die
zweite dieser Oberdeckungen feiner als die erste, wenn zu jedem k E K
4
ein i E I existiert, so daB Bk C Ai. (Bk)~K heiet aueh VerfeinerungsUberdeekung von (Ai)iEI. (Ai)iEI heiSt Partition von A, wenn (Ai)iEI eine
Oberdeekung von A ist und
(a) A. ~ 0 fUr aile i E I,
l.
(b) Ai n
~
= 0 fur i,k E I mit i t kist.
Produkte
Sei A.l. fur jedes i E I eine Menge. Das Produkt von A.l. ist die Menge
0.18
n
iEI
A. : = {a: I
l.
Der Wert von a
heiSt die i-te
heiet der i-te
stattTlA. aueh
l.
-+
V
iEI
A.I a(i) E A.
l.
l.
Vi E I}.
an der Stelle i wird im allgemeinen mit a i bezeiehnet und
Koordinate von a. Statt a sehreibt man aueh (ai)iEI· Ai
Faktor von TlA i • Ist Ai stets gleieh A, dann sehreibt man
AI.
Pk:TlAi -+ Ak,definiert dureh Pk(a) .- ak,heiSt Projektionsabbildung von
nA i auf Ak •
Relationen
Eine Relation R auf einer Menge A ist eine Teilmenge von A x A.
Sind R,S Relationen auf A, dann definiert man
S·R := {(a,b) E A x Al 3 e E A mit (a,e) E R und (e,b) E S}.
0.20
Rn := RoRn-1 (n ~ 2),
0.21
R- 1 := {(a,b) E A x Al (b,a) E R}.
0.22
Beispiel fUr eine Relation mit der Eigensehaft R- 1 CRist
~ := { (a,b) E A x Al a = b}. ~
heiSt aueh die Diagonale von A x A. Gilt
(a,b) E R, dann sehreibt man aueh aRb.
Eine Relation heiet
(a) reflexiv, wenn ~ C R,
(b) symmetriseh, wenn R = R- 1 ,
(e) transitiv, wenn RoR C R,
(d) antisymmetriseh, wenn R n R- 1 = ~.
Eine Aquivalenzrelation auf A ist eine Relation mit den Eigensehaften
(a) - (e).
Ist Reine Aquivalenzrelation auf A, dann wird mit [aJ:= {b E Al (a,b) E R}
die Aquivalenzklasse von a E A bezeiehnet;mit AIR bezeiehnet man die Menge
der Aquivalenzklassen {raJ I a E A}. AIR heiSt aueh Quotientenmenge von A
naeh R. Die Abbildung n: A -+ A/R,definiert dureh a>-+ [aJ, heiSt kanonisehe
Projektion.
0.19
5
0.23
Jede Abbildung f: A
eine Bijektion
r
B
~
la£t sich zerlegen in eine Surjektion n,
und eine Injektion j in der folgenden Weise. R sei die
Aquivalenzrelation aRb:. f(a)
A
AIR
~
~
= feb)
j
f(A)
~
(x,y E A). Dann zerlegt sich f in
B
mit n: a ..... [a], f: [al ...... f(a) und j kanonische Injektion von f(A) in B.
Ordnungen
0.24
Eine Relation
~
auf A mit den Eigenschaften (a) ,(c) ,(d) aus 0.22
hei£t Ordnung auf A. Das Paar
die Bedingung ~
U
(~) -1 = A
je zwei Elemente a,b
E
(A~)
hei£t dann geordnete Menge. Erfullt
x A, dann hei£t (A,
A gilt dann stets a
~
~
~) linear geordnet. Fur
b oder b
a. 1st (A, .::;)
~
eine geordnete Menge und Beine Teilmenge von A, dann hei£t
0.25
0.26
ao
a1
E
A kleinstes Element von A, falls a o
E
A gro£tes Element von A, falls a
0.27
b
0.28
b 1 E A maximales Element von A, falls aus b 1 '::; a folgt b 1
~
a fur aIle a
~
a 1 fur aIle a
E A minimales Element von A, falls aus a
o
(fur aIle a E A);
~
b
E
folgt a
0
A zutrifft;
A zutrifft;
E
=
bo
=a
(fur aIle a E A);
0.29
a 1 eine obere Schranke von B, wenn b.::; a 1 fur aIle b
0.30
a o elne untere Schranke von B, wenn a o '::; b fur aIle b E B gilt;
0.31
sup B (Supremum von B) das kleinste Element von
{a
E
AI b
~
a fUr aIle b
E
B}; gilt sup B
E
E
B gilt;
B, so schreibt man fur
sup Bauch max B;
0.32
inf B (Infimum von B) das groBte Element von { a
E
A I a.::; b fUr aIle
b E B}; gilt inf B E B, so schreibt man fUr inf Bauch min B.
Eine geordnete Teilmenge (A,
~)
heiBt wohlgeordnet, wenn jede nicht leere
Teilmenge ein kleinstes Element besitzt . .::; heiBt dann auch Wohlordnung.
Jede wohlgeordnete Menge ist insbesondere linear geordnet.
~ ) eine linear geordnete Menge, dann schreibt man zur AbkUrzung
1st (A,
0.33
[ a ,b]
[ a ,b[
] a ,b]
I a ,b[
loo,b]
·-
·-
{x E AI
{x
E
{x
E
{x
E
{x
E
a~
x~
b},
AI a ~ x < b} ,
AI a < x ~ b} ,
AI a < x < b} ,
b} ,
x~
AI
· - {x E AI x :;. a}.
Eine geordnete Menge (A,
I a ,001
0.34
···-
elementige Teilmenge {a,b}
~)
heiBt Verband, falls fur jede zwei-
von A inf {a,b} und sup {a,b} existiert.
6
Besitzt jede nicht leere Teilmenge B von A ein Supremum und Infimum, dann
der Verband
hei~t
vollst~ndig.
Eine geordnete Menge (A, ~) hei~t induktiv geordnet, wenn jede
0.35
linear geordnete Teilmenge von A eine obere Schranke besitzt.
0.36
(Lemma von Zorn) Jede induktiv geordnete Menge besitzt ein maxi-
males Element.
0.36 ist ein Axiom der Mengenlehre und gleichwertig zu folgenden Aussagen:
0.37
(Satz von Zermelo, Wohlordnungssatz) Jede Menge besitzt eine Wohl-
ordnung.
0.38
(Auswahlaxiom) 1st (Ai)iE1 eine Familie von paarweise disjunkten,
nicht leeren Mengen (I # 0), dann gibt es eine Funktion f: I -+ V A.
iEI 1
mit f(i) E A. fur alle i E I.
1
Nach Definition der Produktmenge in 0.18 ist 0.38 gleichwertig mit:
0.39
n
iE1
1st (Ai)iEI (I # 0) eine Familie nicht leerer Mengen, dann ist
A. # 0.
1
Kardinalzahlen
0.40
Zwei Mengen A,B hei~en gleichm~chtig, wenn es eine Bijektion von
A auf B gibt. Es gibt Mengen, Kardinalzahlen genan~t, so daB jede Menge A
zu genau einer Kardinalzahl, die man mit card(A) bezeichnet, gleichm~chtig
ist.
0.41
Man definiert card(A)
~
card(B), falls es eine injektive Abbildung
f: A-+ B gibt. Es ist stets card(,)O(A» > card(A) fur jede Menge A.
0.42
Eine Menge A
nicht-abz~hlbar
bezeichnet.
oder
hei~t
abz~hlbar,
uberabz~hlbar.
falls card(A)
~
card(N), andernfalls
Die Kardinalzahl von R wird mit t
1 Metrische Raume
Durch Zusammenstellen von grundlegenden Definitionen und Sat zen Uber
metrische Raume, die dem Leser vertraut sind, wollen wir in diesem Kapitel
lediglich versuchen, den Einstieg in die Theorie der topologischen Raume
zu erleichtern.
A Metrische Raume
1.1 Definition. X sei eine Menge. Eine Metrik auf X ist eine Abbildung
d: X x X ~ [O,oo[ mit den folgenden Eigenschaften:
(a) d(x,y) =
~ x = y,
(b) d(x,y) = d(y,x) fUr alle x,y E X,
(c) d(x,z) ~ d(x,y) + d(y,z) fUr alle x,y,z E X (Dreiecksungleichung).
Das Paar (X,d) hei~t metrischer Raum.
°
1.2 Beispiele.
(a) Auf der Menge Rn der n-tupel reeller Zahlen
x = (x 1 ,···,xn ), y = (Yl' .•. 'Yn) ist durch d(x,y):=
ifi=l (x.
- Yi/
eine
l
Metrik definiert. Rn versehen mit dieser Metrik hei~t n-dimensionaler
euklidischer Raum und d hei~t euklidische Metrik. FUr Rl schreiben wir
kurz R.
(b) X sei eine beliebige Menge. Ferner sei d(x,x)=
und d(x,y)= 1 fUr
x # y, x,y E X. (X,d) hei~t diskreter metrischer Raum.
(c) X sei ein normierter Vektorraum Uber R; d.h. es gibt eine Funktion
N : X ~ IR, N(x):= !lxll mit
°
°
°
II xII ~
fUr alle x E X,
(2) /I xII
= ~ x = 0,
(3) II Ax ~ = I AI . II x" fUr j edes x E X und A E R,
(4) Ilx + yli ~ Ilxll + Ilyll fUr alle x,y E X.
Durch d(x,y):= Ilx - YII wird auf X eine Metrik definiert. 1st X die Menge
(1)
der beschrankten Abbildungen von 1= [0,1] nach R und definiert man fUr
f ,g E X, A E IR, (f + g)(x): = f(x) + g(x), (Af)(x): = Af(x), so ist X ein
Vektorraum Uber IR. Versehen mit der Funktion N : X ~ IR,
N(f):= su~lf(x~1 x E I} wird X zu einem normierten Vektorraum.
8
d(f,g):= suP{lf(x) - g(x)1
I x E I} ist daher eine Metrik auf X.
(d) p sei eine Primzahl und X:= Z. FUr jedes x E X, x # 0, sei v (x) der
p
Exponent von p in der Primzahlzerlegung von Ixl. d(x,x):= 0 und
d(x,y):= p-vp(x- y ) fUr x # y, x,y E X, definiert eine Metrik auf X, die
p-adisehe Metrik. Die p-adisehe Metrik ist eine Ultrametrik, d.h. sie
genUgt der Bedingung d(x ,z)
~
max { d(x ,y) ,dey ,z) } (vgl. A 1.6).
(e) E sei eine Teilmenge eines metrisehen Raumes (X,d). Dann ist
d':= diE x E eine Metrik auf E, die von d auf E induzierte Metrik.
(f) (X 1 ,d 1 ) und (X 2 ,d 2 ) seien metrisehe Raume. Dann werden auf Xl x X2
dureh
d' (x,y)
= d 1 (x 1 'Yl) + d 2 (x 2 'Y2)
d" (x,y)
=
V(d 1 (x 1 'Yl»2 + (d 2 (x 2 'Y2»
dill (x,y)
=
max{ d 1 (xl'Yl)' d 2 (x 2 'Y2)
2'
}
mit x = (x 1 ,x 2 ) und y = (Yl'Y2) Metriken erklart. Diese Konstruktionen
lassen sieh offenbar auf Produkte mit endlich vielen Faktoren verallgemeinern.
00
(g) Sind (Xn,dn)nEN metrische Raume, so wird auf
d erklart dureh d(x,y):=
~
n=O
r-l
n=O
X eine Metrik
n
2-(n+l) dn(xn'Yn) (1 + d (x ,y »-1
n n n
B Umgebungen
1.3 Definition. (X,d) sei ein metriseher Raum, a E X, r E
B(a,r):= {x E
xl
R:.
Die Menge
d(a,x) < r} heiBt offene Kugel mit Zentrum a und Radius r.
Eine Teilmenge A C X heiBt offen, wenn fUr alle x E A ein r > 0 existiert
mit B(x,r) C A. A heiBt abgeschlossen, wenn
X~A
offen ist.
1.4 Satz. Eine offene Kugel ist eine offene Menge. 0
1.5 Satz. FUr einen metrisehen Raum (X,d) gilt:
(a) Die Vereinigung von offenen Mengen ist offen.
(b) Der Durchsehnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
(e) X und die leere Menge sind offen.
n
Beweis von (b) und (c) .
(b) Sei 0=
i=l
°i'
o.
~
ein r. > 0 mit B(x,r i )
~
offen und x E
C
o..
~
o.
FUr jedes i E {l, ••• ,n} gibt es
Sei r= min {r 1 , .•. ,r n }. Es gilt r > 0 und
9
B(x,r) c
n
n
i=l
0i'
(c) FUr jedes x E X und r >
kein x
° ist
B(x,r) C X. Also ist X offen. Da es
gibt mit x E 0, gilt auch B(x,r) C 0 fUr jedes x E 0, r > 0,
d.h. 0 ist offen. 0
Die in 1.5 gegebene Charakterisierung der offenen Mengen werden wir
spater (vgl. 2.1) als Definition fUr die offenen Mengen in einem topologischen Raum benutzen.
1.6 Beispiele.
(a) In einem metrischen Raum ist jede einpunktige Menge abgeschlossen.
(b) 1st d eine Ultrametrik auf X, so ist jede offene Kugel zugleich
offen und abgeschlossen (vgl. 1.2(d) und A 1.6).
(c) Verschiedene Metriken auf einer Menge X konnen dasselbe System von
offenen Mengen auf X definieren. Als Beispiel hierfUr betrachte man die
Metriken d',d" und dill unter 1. 2 (f)
(vgL Aufgabe A 1. 7)
•
Der folgende Satz charakterisiert die offenen Teilmengen von R.
1.7 Satz. Jede offene Teilmenge von R ist Vereinigung abzahlbar vieler
offener, disjunkter Intervalle.
Beweis. Sei A ~ 0 offen in R. Die Relation x~y: *3la,b[ C A mit a ~ b und
{x,y}
E
la,b[
ist eine Aquivalenzrelation auf A. Die Aquivalenzklassen
sind disjunkte offene Intervalle, deren Vereinigung A ist. Da in jedem
offenen nicht leer en Intervall eine rationale Zahl liegt, ist die Menge
der Aquivalenzklassen abzahlbar. 0
1.8 Definition. (X,d) sei ein metrischer Raum und x E X. Eine Umgebung
von x ist eine Menge, die eine offene Kugel um x enthalt. Die Menge aller
Umgebungen von x hei~t Umgebungssystem
l1(x) von x.
Aus 1.4 und 1.5 ergeben sich folgende Eigenschaften fUr
l1(x).
1.9 Satz. In einem metrischen Raum (X,d) gilt fUr x E X:
(a) U C UI und U E
(b) U1 ",·,U n E
(c) U E
(d) U
E
'U(x) ~ U I
U(x)
~
A
1L(x)
E
i=l
u.
E
l1(x)
l
l1(x)
~
x E U
11 (x)
~
3v
E
U(x)
y
Y E V ist U E
U
(y) . 0
10
Offene Mengen lassen sich daher folgenderma8en charakterisieren.
1.10 Satz.
Eine Menge A C (X,d), A # 0, ist genau dann offen in X, wenn
A Umgebung aller seiner Punkte ist. 0
1.11 Definition. 0
~
A sei eine Teilmenge von (X,d). x E X hei8t
BerUhrungspunkt von A. wenn jede Umgebung von x mit A einen nicht leeren
Durchschnitt hat; x hei8t innerer Punkt von A, wenn A Umgebung von x ist;
x hei8t Randpunkt von A, wenn x BerUhrungspunkt von A und von X'A ist.
Die Menge aller BerUhrungspunkte von A hei8t abgeschlossene HUlle von A,
in Zeichen
.
A;
Die Menge der inner en Punkte von A hei8t das 1nnere von A,
in Zeichen A; die Menge der Randpunkte von A hei8t Rand von A.
1.12 Satz. Sei (X,d) ein metrischer Raum und 0 # A C X.
o
(a) A ist die gr58te in A enthaltene offene Menge von X.
(b)
A ist
die kleinste abgeschlossene Teilmenge von X, die A umfa8t. 0
1.13 Beispiele.
(a) FUr die Teilmenge A:= [0,1[ u {2} des euklidischen Raumes R gilt
A=
]O,l[ und
A=
[0,1] u {2}. Der Rand von A ist {0,1,2}.
(b) Die Teilmenge A:=
{il
n E ~~} von R hat keine inneren Punkte; jeder
BerUhrungspunkt von A ist Randpunkt von A und es gilt
(c) Die Menge
A=
{OJ U A.
Q der rationalen Zahlen hat als Teilmenge von R keine
Q.
inneren Punkte; jeder Punkt von R ist Randpunkt von
BerUhrungspunkte, innere Punkte und Randpunkte lassen sich auch mit Hilfe
des Abstandes beschreiben.
1.14 Definition. A und B seien nicht leere Teilmengen des metrischen
Raumes (X,d). Der Abstand von A und B ist definiert durch
d(A,B):= inf {d(x,y)1 x E A, Y E B}; fUr A = {x} sei d(x,B):= d(A,B).
1.15 Satz. Sei (X,d) ein metrischer Raum, x E X und 0 # A C X.
(a) x ist genau dann BerUhrungspunkt von A, wenn d(x,A)= O.
(b) x ist genau dann innerer Punkt von A, wenn d(x,X\A) > O.
(c) x ist genau dann Randpunkt von A, wenn d(x,A)= d(x,~A)= O.
Beweis.
(a) 1st d(x,A)= E > 0, so ist B(X,E) eine Umgebung von x, die mit A leeren
Durchschnitt hat, d.h. x ist nicht BerUhrungspunkt von A. Sei nun
d(x,A)= 0 und U eine Umgebung von x.Nach Definition 1.8 gibt es ein E > 0
11
mit B(X,E)
unA
U. Nach Annahme gibt es eln yEA n B(X,E), d.h. es ist
C
0.
~
Beweis von (b) und (c) als Aufgabe A 1.8. 0
C Stetige Abbildungen
1.16 Definition.
(X,d) und (X' ,d') seien metrische Raume. Eine Abbildung
f : X ~ X, heiBt stetig in Xo E X, wenn es fur jedes E > 0 ein O(E,X o ) > 0
gibt, so daB aus d(xo'x) < O(E,X o ) folgt, d'(f(xo),f(x» < E. Die Abbildung
f heiBt stetig auf X, wenn f in jedem Punkt x E X stetig ist.
1.17 Beispiele.
(a) Sind fund g stetige Abbildungen zwischen metrischen Raumen, so ist
auch fog stetig.
R
(b) Die Abbildung f
n
.
f(x):= ~
a.x l ,
i=O
1
~
R (euklidische Metrik) mit
a. E R, ist stetig. g(x):=
1
n
~
l=-m
i
aix, a. E R, definiert
l
eine stetige Abbildung von R'\ {O} nach R.
(c) Die Abbildungen f,g:
R2 ~ R (euklidische Metrik),definiert durch
f(x,y):= x + y und g(x,y):= x.y,sind stetig.
(d) (X,d) sei ein metrischer Raum. Sind f,g : X
~
R stetig, so sind auch
die folgenden Abbildungen von X nach R stetig:
(f + g)
x
(f . g)
x .... f(x)
~
f(x) + g(x),
. g(x),
If I
h
x .... If(x)l,
x .... max {f(x), g(x)},
k
x .... min {f(x), g(x)}.
1st f(x)
~ 0
\( X E X,so ist auch
%
x ....
1
f(
xj
stetig.
Mit Hilfe des Umgebungsbegriffes ergibt sich folgende aquivalente Definition der Stetigkeit.
1.18 Satz. Eine Abbildung f:
(X,d)
~
(X' ,d') ist genau dann stetig in
Xo E X, wenn das Urbild jeder Umgebung von f(x o ) eine Umgebung von Xo
ist. 0
1.18 legt die Definition der Stetigkeit fur Abbildungen zwischen zwei
Mengen nahe, auf denen jeweils ein System von "offenen" Teilmengen ausgezeichnet ist (vgl. 2.28).