Mathematik 1 für Informatiker 06.10.2006 - Informatik

Mathematik 1 für Informatiker 06.10.2006
1.) Man untersuche die folgende Formel der Aussagenlogik auf Gültigkeit bzw. Erfüllbarkeit
F(A,B,C) = [A ʌ (B ­> ¬A) ʌ (B v C)] ­> C
2.) Bestimme alle kürzesten Wege vom Knoten v0 zum Knoten v2.
8
v1
1
v2
3
7
1
v0
4
v3
3
5
3
v5
2
v4
5
3.) Man berechne die Determinante |A| für
1
­3
A=
4
6
­2
1
0
0
­6
2
­4
1
u
­5
3
8
und bestimme anschließend den Parameter u wenn gilt |A|=35.
4.) Halbordnungsrelationen und Hasse­Diagramm: Was versteht man unter einer Halbordnungsrelation? Wie konstruiert man ein Hasse­Diagramm? Geben sie 3 verschiedene Bsp. an.
5.) Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variable:
● Definieren Sie Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit einer Fkt. y=f(x) im Punkt x0 ● Geben sie ein Beispiel für (i) nicht stetige (ii) stetige, aber nicht differenzierbare, (iii) differenzierbare Funktionen an.
● Wie lauten der Nullstellensatz und der Zwischenwertsatz?
1) Man bestimme mit Hilfe des Dijkstra-Algorithmus einen kürzesten Weg von a nach h:
f
c 5
7
a
w
w
5
w
3
w
1
h
w
u
4
e 1 1
1
w6
w
g
b
2 w2
d
w
i
Lösung:
Beim Dijkstra-Algorithmus wird in jedem Schritt von den noch unmarkierten Knoten
jener mit geringster vorläufiger Entfernung zum Knoten a ausgewählt und markiert. In
der folgenden Tabelle werden die vorläufigen Entfernungen für alle unmarkierten Knoten,
der ausgewählte Knoten x und sein Vorgänger V aufgelistet. Der Eintrag – bedeutet, daß
noch keine vorläufigen Entfernungen festgesetzt wurden, während bei bereits markierten
Knoten kein Eintrag steht.
a b c
0 – –
1 7
7
7
7
7
7
d
–
–
3
e
–
–
7
7
6
f
–
–
–
–
–
–
–
12
g
–
–
–
5
h
–
–
–
–
–
9
9
9
i
x
V
–
a
–
–
b
a
d
b
–
–
g
d
6 e oder i, z.B. e g
6
i
g
c
a
h
e
Nun ist der Knoten h markiert und der kürzeste Weg a → b → d → g → e → h
2) Man bestimme alle Lösungen des Systems
x + y + 2z − 2u = 2
x − y − z − u = −2
7x + 3y + 8z − 12u = 6
5x + 3y + 7z − 9u = 6
mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren.
Lösung:
Ansatz der erweiterten Systemmatrix und Lösung mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren:
1
1
7
5
1
0
0
0
1
0
0
0
1
–1
3
3
1
–2
–4
–2
1
–2
0
0
2 –2 2
–1 –1 –2
8 –12 6
7 –9 6
2 –2 2
–3 1 –4
–6 2 –8
–3 1 –4
2 –2 2
–3 1 –4
0
0
0
0
0
0
−Z1
−7Z1
−5Z1
−2Z2
−Z2
Der Rang der Matrix ist 2 und die letzten beiden Zeilen bestehen nur aus Nullen. Daher
ist das Gleichungssystem lösbar und die Lösung ist ein 2-dimensionaler Nebenraum des
R4 . Wir setzen daher z = λ und u = µ und erhalten
3
1
1
3
y = 2 − λ + µ,
x = − λ + µ.
2
2
2
2
Die Lösungen des Systems sind daher aller Vektoren der Form
   
 
 
x
0
−1
3
 y  2 
−3
1 
  =   + λ  + µ .
 z  0 
2
0 
u
0
0
2
3) Man bestimme die kleinste Untergruppe von (Z, +), die die Zahlen 78 und –51 enthält.
Lösung:
Die gesuchte Untergruppe bezeichnen wir mit U . Der euklidische Algorithmus liefert
78 = 51 · 1 + 27
51 = 27 · 1 + 24
27 = 24 · 1 + 3
24 = 3 · 8 + 0
Daraus folgt ggT(−51, 78) = 3 und außerdem kann durch sukzessives Einsetzen in die
obigen Gleichungen in umgekehrter Reihenfolge 3 durch –51 und 78 dargestellt werden:
D.h. es gibt ganze Zahlen a und b mit
a · 78 + b · (−51) = 3.
Daraus folgt 3 ∈ U und wegen der Abgeschlossenheit auch
(1)
3Z ⊆ U.
Die Menge 3Z ist aber eine Untergruppe von (Z, +), die 78 und –51 enthält. Da U die
kleinste derartige Untergruppe ist, muß
(2)
U ⊆ 3Z
gelten. Aus (1) und (2) folgt nun U = 3Z.
4) Wie lassen sich jene Graphen charakterisieren, die Bäume sind? Geben Sie mindestens
zwei Charakterisierungen an und begründen Sie deren Äquivalenz.
Was versteht man unter einem bewerteten Graph? Wie sind die Begriffe spannender Baum
und minimaler spannender Baum definiert? Beschreiben Sie den Kruskalalgorithmus zur
Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes.
Lösung:
Bäume könnnen zum Beispiel durch folgende Eigenschaften charakterisiert werden:
(1) kreisfrei und zusammenhängend
(2) kreisfrei und maximal bzgl. der Inklusion auf der Kantenmenge
Die Äquivalenz dieser beiden lässt sich wie folgt sehen:
(1)=⇒(2): Gibt man in einem kreisfreien, zusammenhängenden Graphen eine Kante (x, y)
dazu, so entsteht ein Kreis, da ja x und y bereits vorher durch einen Weg miteinander
verbunden waren.
(2)=⇒(1): Ist G ein maximaler kreisfreier Graph, so muß er auch zusammenhängend
sein. Andernfalls könnte man zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten durch eine
Kante verbinden, ohne daß ein Kreis entstünde, was der Maximalität entspricht.
Ein bewerteter Graph ist ein Graph, dessen Kanten Gewichte (reelle Zahlen) zugeordnet
sind.
Ein spannender Baum von G ist ein Teilgraph von G, der dieselbe Knotenmenge wie G
hat und ein Baum ist.
Ein minimaler spannender Baum ist ein spannender Baum eines bewerteten Graphen, bei
dem die Summe aller Kantengewichte minimal ist.
Der Kruskalalgorithmus konstruiert einen spannenden Baum T für einen Graphen G =
(V, E).
(1) Ordne die Kanten nach aufsteigendem Gewicht: e1 , . . . , em und setze T = (V, {e1 }).
(2) Falls von den noch nicht verbrauchten Kanten jene mit minimalem Gewicht zusammen mit T einen Kreis ergibt, verwirf sie. Andernfalls gib sie zu T hinzu.
(3) Falls T bereits |V | − 1 Kanten hat, ENDE. Sonst gehe zu (2).
5) Was ist eine Reihe reeller Zahlen? Wie ist der Grenzwert einer solchen Reihe definiert?
Wann heißt sie konvergent, wann absolut konvergent? Illustrieren Sie den Unterschied
dieser beiden Begriffe anhand eines Beispiels.
Was versteht man unter einer Potenzreihe? Wie sieht das Konvergenzgebiet einer Potenzreihe in C aus und wie läßt sich dessen Größe quantifizieren?
Lösung:
P
Eine Reihe reeller Zahlen ist eine Summe der Form n≥0 an . Der Grenzwert a der Reihe
ist definiert als Grenzwert ihrer Partialsummenfolge:
n
X
a = lim
ak .
n→∞
k=0
Die Reihe heißt konvergent, wenn dieser Grenzwert existiert, und absolut konvergent,
wenn
X
|an |
n≥0
konvergent ist.
Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent, aber nicht umgekehrt, denn
X (−1)n
n≥0
n
ist konvergent, aber nicht absolut konvergent.
Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form
X
an (x − x0 )n .
n≥0
Das Konvergenzgebiet ist ein Kreis mit Mittelpunkt x0 , dessen Größe durch den Konvergenzradius
1
p
R=
lim sup n |an |
n→∞
bestimmt ist.
Zuname:
Vorname:
KennNr:
Matr.Nr:
PRÜFUNG AUS MATHEMATIK 1
(GITTENBERGER)
1)(8 P.) Man bestimme mit Hilfe des Dijkstra-Algorithmus einen kürzesten Weg von a nach
h:
f
w
5
1
c
h
w
w
u
7
3
4
5 w
w i
a w
1
e
1
w6
w1
g
b
2 w2
d
2)(8 P.) Man bestimme alle Lösungen des Systems
x + y + 2z − 2u = 2
x − y − z − u = −2
7x + 3y + 8z − 12u = 6
5x + 3y + 7z − 9u = 6
mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren.
3)(8 P.) Man bestimme die kleinste Untergruppe von (Z, +), die die Zahlen 78 und –51
enthält.
—— Bitte wenden ——
4)(8 P.) Wie lassen sich jene Graphen charakterisieren, die Bäume sind? Geben Sie mindestens zwei Charakterisierungen an und begründen Sie deren Äquivalenz.
Was versteht man unter einem bewerteten Graph? Wie sind die Begriffe spannender Baum und minimaler spannender Baum definiert? Beschreiben Sie den
Kruskalalgorithmus zur Bestimmung eines minimalen spannenden Baumes.
5)(8 P.) Was ist eine Reihe reeller Zahlen? Wie ist der Grenzwert einer solchen Reihe
definiert? Wann heißt sie konvergent, wann absolut konvergent? Illustrieren Sie
den Unterschied dieser beiden Begriffe anhand eines Beispiels.
Was versteht man unter einer Potenzreihe? Wie sieht das Konvergenzgebiet
einer Potenzreihe in C aus und wie läßt sich dessen Größe quantifizieren?
Wien, am 2. Februar 2007 (Ab hier freilassen!)
1)
2)
3)
4)
5)
Zuname:
Vorname:
Kennzahl:
Matr.Nr:
PRÜFUNG AUS MATHEMATIK 1
(GITTENBERGER)
1)(8 P.) Erklären Sie die Methode der vollständigen Induktion anhand eines Beweises der
folgenden Identität:
n
X
1
(j + 1)(j − 1) = n(n − 1)(2n + 5), n ≥ 1.
6
j=1
2)(8 P.) Beschreiben Sie die Symmetriegruppe G eines Quadrates und die Symmetriegruppe H eines Rechtecks. Untersuchen Sie, ob H ein Normalteiler von G ist und
bestimmen Sie die (Links-)Nebenklassenzerlegung von G bzgl. H.
Hinweis: Die Gruppen G und H lassen sich als Permutationsgruppen der Eckpunkte auffassen.
3)(8 P.) Für welche x ∈ R ist die Funktion
x2
x2 − 4x + 3
differenzierbar? (Ihre Behauptungen müssen Sie auch begründen!) Berechnen Sie
weiters die Ableitung von f .
f (x) = √
4)(8 P.) Was versteht man unter der Determinate einer n × n Matrix A? Welche Eigenschaften besitzt die Determinante? Wie bestimmt man den Wert der Determinante
im Fall n = 3 und wie kann man diesen geometrisch deuten? Was sagt die Determinante von A über A aus?
5)(8 P.) Seien M und N zwei Mengen. Was versteht man unter einer Funktion f : M → N ?
Was bedeuten die Begriffe injektiv und surjektiv? Geben Sie je ein Beispiel einer
injektiven und einer surjektiven Funktion für den Fall M = N = R. Worin besteht
der Unterschied zwischen einer Funktion f : M → N und einer Relation auf
M × N?
Wien, am 2. März 2007 (Ab hier freilassen!)
1)
4)
2)
5)
3)
Zuname:
Vorname:
Kennzahl:
Matr.Nr:
PRÜFUNG AUS MATHEMATIK 1
(GITTENBERGER)
1)(8 P.) Gegeben sind 3 Teilmengen A, B, C einer Menge D. Untersuchen Sie, ob die Beziehung
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
richtig ist, indem Sie einen Beweis angeben oder ein Gegenbeispiel konstruieren.
Die Notation M bezeichnet das Komplement bezüglich D.
2)(8 P.) Man bestimme zu den Permutationen
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
σ=
,
ρ=
1 4 5 2 3 7 6 8
5 4 2 1 8 7 6 3
die Permutationen σ ◦ ρ und ρ−1 sowie deren Zyklendarstellungen und Vorzeichen.
3)(8 P.) Bestimmen Sie mit Hilfe des Inklusions-Exklusions-Prinzips
die Anzahl aller Funktionen f : {1, .., 5} → {1, .., 5}, deren Bildmenge {f (x) 1 ≤ x ≤ 5} die Kardinalität 3 hat.
4)(8 P.) Was versteht man unter der Stetigkeit einer Funktion f : R → R? Wie ist die Ableitung von f definiert? Wie lassen sich diese beiden Begriffe anschaulich beschreiben? Wie hängen Stetigkeit und Differenzierbarkeit zusammen? Verdeutlichen Sie
diesen Zusammenhang durch ein Beispiel.
5)(8 P.) Gegeben sei eine Gruppe (G, ∗). Wann heißt G abelsch? Geben Sie ein Beispiel
einer nichtabelschen Gruppe (mit Begründung!). Wann nennt man G zyklisch?
Sind zyklische Gruppen immer abelsch? (Begründung oder Gegenbeispiel)
Wien, am 27. April 2007 (Ab hier freilassen!)
1)
2)
3)
4)
5)
VO-Prüfung Mathematik 1 (Dorfer)
2. 2. 2007
√
1. Berechnen sie 4 −4 in C, stellen sie das Ergebnis in polarer und kartesischer Darstellung dar, und skizzieren sie das Ergebnis in der Gauÿ'schen
Ebene.
2. Berechnen sie
x1
−2x1
−x1
−2x3
+3x3
+x3
+5x2
−9x2
−2x2
3. Beweisen sie die Konvergenz von
die Stellen x = 1 und x = −1.
P∞
n=1
−x4
+2x4
+2x4
xn
√
n
=0
=3
=8
|x| < 1, und untersuchen sie
4. Denieren sie die Euler'sche Linie und die Hamilton'sche Linie in einem
Graphen; unter welchen Vorraussetzungen existiert eine geschlossene oder
oene Euler'sche Linie in einem gerichteten, und ungerichteten Graphen
unter der Berücksichtigung des Knotengrades?
5. Denieren sie die Begrie Gruppe, Untergruppe, Normalteiler, Faktorgruppe und geben sie je ein Beispiel. Was ist Homomorphie, erklären sie den
Homomorphiesatz für Gruppen !
1