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Mathematik fur Physiker, Ubersicht
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Vektorraum, Seite 1, Denition eines Vektorraumes
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Sei K 2 fR; C g. Ein Tripel (V; +; ) bestehend aus einer Menge V sowie
zwei Abbildungen
V ! V;
: K V ! V;
+: V
(~x; ~y ) 7! ~x + ~y,
(; ~x) 7! ~x,
genannt Addition und
genannt skalare Multiplikation,
heit ein Vektorraum u ber K , wenn fur diese Addition und Multiplikation
die folgenden Axiome gelten:
(1) (~x + ~y ) + ~z = ~x + (~y + ~z ) fur alle ~x; ~y ; ~z 2 V ,
(2) ~x + ~y = ~y + ~x fur alle ~x; ~y 2 V ,
(3) Es gibt ein Element ~o 2 V (genannt Nullvektor) mit der Eigenschaft
~x + ~o = ~x fur alle ~x 2 V ,
(4) Zu jedem ~x 2 V gibt es ein Element
~x + ( ~x) = ~o,
~x
2
V mit der Eigenschaft
(5) ( ~x) = () ~x fur alle ; 2 K; ~x 2 V ,
(6) 1 ~x = ~x fur alle ~x 2 V ,
(7) (~x + ~y ) = ~x + ~y fur alle 2 K; ~x; ~y 2 V ,
(8) ( + ) ~x = ~x + ~x fur alle ; 2 K; ~x 2 V .
Da keine Verwechslung zu befurchten ist, schreibt man statt ~x gewohnlich
~x.
1 Friedbert
Pr
ufer, 09.2002

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Vektorraum, Seite 2, Folgerungen aus der Denition eines
Vektorraumes 2
Folgerung 1: Es gibt genau einen Vektor ~o 2 V mit ~x + ~o = ~o + ~x = ~x fur
alle ~x 2 V .
Beweis:(indirekt) Angenommen, es gabe ein zweites Element ~o~ 2 V; ~~o 6= ~o
mit der analogen Eigenschaft ~x + ~~o = ~x fur alle ~x 2 V . Da die Addition
kommutativ ist und ~o ein Nullvektor ist, gilt ~o +~o~ = ~~o +~o = ~~o. Aus demselben
Grund gilt auch ~o + ~~o = ~o. Beide Gleichungen zeigen ~o = ~~o im Widerspruch
zur obigen Annahme. Es gibt somit nur einen Nullvektor. q.e.d.
Folgerung 2: Zu jedem ~x
~x + ( ~x) = ~o.
Beweis: Sei ~x~
2V
gibt es genau einen Vektor
~x
2V
mit
2V
mit ~x + ~x~ = ~o. Wir addieren zu beiden Seiten dieser
Gleichung den Vektor ~x und erhalten ~x + (~x + ~x~ ) = ~o + ( ~x) = ~x. Also
folgt ~x~ = ( ~x + ~x) + ~x~ = ~x + (~x + ~x~ ) = ~x. q.e.d.
Folgerung 3: Es gilt 0 ~x = ~o fur alle ~x 2 V .
Beweis: 0 ~x = (0 + 0) ~x = 0 ~x + 0 ~x. Also folgt ~o = 0 ~x + ( 0 ~x) =
(0 ~x + 0 ~x) + ( 0 ~x), folglich ~o = 0 ~x + (0 ~x + ( 0 ~x)) = 0 ~x + ~o = 0 ~x.
q.e.d.
2 Friedbert
Pr
ufer, 09.2002

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Vektorraum, Seite 3, Beispiele 3
A) Der Vektorraum K ; K 2 fR; C g.
Sei n 2 N. Dann wird die Menge V = K K (n-faches Kreuzprodukt von K mit sich selbst) wie folgt ein Vektorraum:
(k1 ; : : : ; k ) + (h1 ; : : : ; h ) := (k1 + h1 ; : : : ; k + h )
(k1 ; : : : ; k ) := (k1 ; : : : ; k )
fur alle (k1 ; : : : ; k ); (h1 ; : : : ; h ) 2 K ; 2 K
Addition und Multiplikation werden also komponentenweise erklart. Es
ist leicht, die Gultigkeit der Vektorraumeigenschaften nachzuweisen.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
B) Der Vektorraum aller (m; n)-Matrizen
Seien m; n 2 N naturliche Zahlen. Eine (m; n)-Matrix u ber K 2
fR; C g ist ein rechteckiges Schema aus m-Zeilen und n-Spalten, deren
Eintrage Elemente aus K sind. Also sieht eine (m; n)-Matrix A mit
den Eintragen a 2 K; (i = 1; : : : ; m; j = 1; : : : ; n) folgendermaen
aus:
0a a ::: a 1
BB a1121 a1222 : : : a12 CC
A =B .
@ .. ... ... CA
a 1 a 2 ::: a
ij
n
n
m
m
mn
Schreibweise: A = (a )1 1 oder einfach A = (a ) falls keine
Verwechslungen zu befurchten sind. Die Menge aller (m; n)-Matrizen
bezeichnet man mit K ( ) . Auf K ( ) kann man eine Addition und
eine skalare Vielfachbildung wie folgt einfuhren:
A ; B 2 K ( ); 2 K .
ij
i
m;
j
n
m;n
ij
m;n
m;n
A
+ B := (a + b )1 ij
ij
i
m;
1
; A := (a )1 j
Auch hier zeigt man leicht, dass K (
ein Vektorraum wird.
3 Friedbert
Pr
ufer, 09.2002
n
m;n)
ij
i
m; 1
j
n
mit diesen beiden Abbildungen

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Vektorraum, Seite 4, Beispiele 4
C) Der Vektorraum der unendlichen Folgen
K 2 fR; C g. Wir denieren die Menge l1 := f(a1; a2; : : : ) j a 2 K; i =
1; 2; 3; : : : g und nennen sie die Menge aller unendlichen Folgen von Zahlen aus K . Mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser
skalarer Multiplikation wird l1 ein Vektorraum u ber K .
i
+ : (a1 ; a2 ; : : : ) + (b1 ; b2 ; : : : ) := (a1 + b1 ; a2 + b2 ; : : : )
:
(a1; a2 ; : : : ) := (a1; a2 ; : : : )
Man sieht leicht, dass l1 mit diesen beiden Operationen ein Vektorraum
u ber K wird.
D) Wir betrachten die Gleichung ax + by = 0 in den Unbekannten x; y
zu gegebenen a; b 2 R. Fur b 6= 0 ist die Losungsmenge gegeben
durch fx; ab x) j x 2 Rg und man sieht direkt, dass die Menge aller
dieser Paare einen Vektorraum u ber R bildet. Wir stellen fest, dass die
Losungsmenge gewisser Gleichungssysteme einen Vektorraum bildet.
E) Sei I R ein Intervall und F (I ) die Menge aller Funktionen u ber
I deren Bild in R liegt. Dann wird F (I ) wie folgt ein Vektorraum:
(f + g )(x) := f (x) + g (x); ( f )(x) := f (x) fur 2 R. Man sieht,
dass die so denierten Funktionen f + g; f in R abbilden und somit
zu F (I ) gehoren. Die Nullfunktion x 7! 0 fu
r alle x 2 I spielt die
Rolle des Nullvektors.
4 Friedbert
Pr
ufer, 09.2002