PROSEMINAR – HS 2007 “Modulfunktionen”

PROSEMINAR
–
HS 2007
“Modulfunktionen”
Verantwortlich:
Prof. Ruth KELLERHALS und Vincent EMERY
Kontakt:
R. Kellerhals, Math 2.103, nach Absprache, [email protected]
V. Emery, Math 0.101, nach Absprache, [email protected]
Hörsaal:
Seminarraum, Departement für Mathematik II (Lonza)
Zeit:
Donnerstag, 13:15 – 15:00 ; Beginn: 27 September 2007
Referenzen:
[A]
[FB]
[KK]
T. Apostol: Modular functions and Dirichlet series in number theory,
Springer, 1976.
E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie 1,
Springer Verlag, 1995.
M. Koecher, A. Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen,
Springer Verlag, 1998.
Validierungskriterien:
•
•
•
Präsentation des Vortrags
Verfassen eines Textes in TeX/LaTeX mit den wichtigsten Definitionen und Resultaten
Regelmässige Teilnahme
Vortrag 1:
Elliptische Funktionen
Doppelt-periodische Funktionen; Perioden und Periodenparallelogramm; elliptische Funktionen und Konstruktionsbeispiele.
[A, pp. 1–9]
Vortrag 2:
Die Weierstrass-sche ℘-Funktion und Eisenstein-Reihen
Definition, Eigenschaften der Weierstrass-schen ℘-Funktion; Eisenstein-Reihen; die Funktionen ∆ und J .
[A, pp. 9–22]
Vortrag 3:
Das Additionstheorem für ℘ und elliptische Integrale
Mit dem Additionstheorem für ℘ wird das Eulersche Additionstheorem für elliptische Integrale bewiesen.
[FB, pp. 281–283 , pp. 287–291]
Vortrag 4:
Die Modulgruppe SL(2, Z)
Geometrische, algebraische und kombinatorische Eigenschaften der Gruppe der Möbiustransformationen der oberen Halbebene.
[A, pp. 26–34], [FB, pp. 308–309 , pp. 317–329]
Vortrag 5:
Modulfunktionen
Definition und Charakterisierung von Modulfunktionen im Fundamentalbereich der Modulgruppe; Kurzer Beweis des Picard’schen Satzes.
[A, pp. 34–44]
Vortrag 6:
Die Dedekindsche η-Funktion
Im Hinblick auf Vortrag 14 ist die Dedekindsche η-Funktion von Relevanz und ist eng
mit der Diskriminante ∆ verknüpft. In der Transformationsregel bzgl. der Modulgruppe
treten sog. Dedekindsche Summen auf, von denen ein paar wenige Eigenschaften aufgezeigt
werden. Die Theorie wird zusammengefasst dargestellt.
[A, pp. 47–69]
Vortrag 7:
Kongruenzuntergruppen und automorphe Formen
Zu Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe werden invariante Funktionen untersucht
und ein Konstruktionsverfahren ausgehend von Modulfunktionen zur vollen Modulgruppe
angegeben.
[A, pp. 74–83]
Vortrag 8:
Modulformen mit multiplikativen Koeffizienten
Die Gewichtsformel für ganze Modulformen. Der Vektorraum Mk der ganzen Modulformen
vom Gewicht k. Der Begriff des Hecke-Operators Tn .
[A, pp. 113–122]
Vortrag 9:
Hecke-Operatoren
Transformationsverhalten von Tn -Bildern unter der Modulgruppe; Produkt- und Zerlegungseigenschaften von Hecke-Operatoren. Eigenfunktionen von Hecke-Operatoren.
[A, pp. 122–131]
Vortrag 10:
Das Petersson-Skalarprodukt
Auf dem Vektorraum Mk wird das sogenannte Petersson-Skalarprodukt studiert. HeckeOperatoren sind diesbezüglich selbst-adjungiert.
[KK, pp. 198–205], [A, pp. 133–134]
Vortrag 11:
Thetareihen
Definition der Thetareihen und die Jacobischen Transformationsregeln. Die Diskriminante ∆ als Produkt von Thetareihen. Positive Matrizen erlauben die Konstruktion von
Thetareihen und eine Verallgemeinerung der Thetatransformationsregel.
[FB, pp. 343–353]
Vortrag 12:
Die Fourierentwicklung der Eisensteinreihen
Neben der Bestimmung der Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihen wird eine funktionentheoretische Charakterisierung der r-ten Potenz der Thetareihe hergeleitet. Dieser Vortrag
ist die analytische Vorbereitung der zahlentheoretischen Aussage in Vortrag 13.
[FB, pp. 386–396]
Vortrag 13:
Summen von 4 und 8 Quadraten
Mit Hilfe der Eisensteinreihen G2 bzw. G4 werden vermöge Koeffizientenvergleich Jacobi’s
Aussagen zur Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von 4 bzw. 8 Quadraten
abgeleitet.
[FB, pp. 396–403]
Vortrag 14:
Die Partitionsfunktion nach Hardy-Ramanujan
Die Anzahl Zerlegungen einer natürlichen Zahl n in natürliche Zahlen ≤ n erfüllt ein
asymptotisches Gesetz, welches von Hardy-Ramanujan entdeckt worden ist. Der Beweis
von Rademacher basiert auf einer Funktionalgleichung der Dedekindschen η-Funktion und
wird summarisch dargestellt.
[A, pp. 94–110]