1 ¨Ubungen zu Topologie SS2013

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Übungen zu Topologie SS2013
Beispiel 1.1 Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung.
1. Für jede Teilmenge B von Y gilt: f −1 (B c ) = (f −1 (B))c .
2. Sind Bα bzw. Aα Familien von Teilmengen von Y bzw. X, so gilt:
[
f −1 (
α
Bα ) =
[
f(
α
[
α
Aα ) =
\
f −1 (Bα ) und f −1 (
[
\
f (Aα ) und f (
α
α
Bα ) =
α
Aα ) ⊆
\
\
f −1 (Bα )
α
f (Aα )
α
3. Für jede Teilmenge A von X und jede Teilmenge B von Y gilt: f −1 (f (A)) ⊇ A und
f (f −1 (B)) ⊆ B.
4. f ist genau dann injektiv, wenn für alle A ⊆ X: f −1 (f (A)) = A.
5. f ist genau dann surjektiv, wenn für alle B ⊆ Y : f (f −1 (B) = B.
Beispiel 1.2 (Prinzip der transfiniten Induktion) Sei (X, ≤) wohlgeordnet mit dem
minimalen Element 0 und Y ⊆ X. Falls für alle x ∈ X aus {y ∈ X : y < x} ⊆ Y folgt:
x ∈ Y , dann gilt Y = X.
Beispiel 1.3 Sei f : X → Y injektiv (surjektiv). Dann gibt es eine surjektive (injektive)
Abbildung g : Y → X.
Beispiel 1.4 Sei X, Y Mengen. Dann gibt es entweder eine Injektion f : X → Y oder
eine Injektion g : Y → X. Hinweis: Sei F: = {(f, A) : A ⊆ X, f : A → Y injektiv}
und (f, A) ≤ (g, B) genau dann, wenn A ⊆ B und g|A = f ; zeigen Sie, daß F induktiv
geordnet ist und benutzen Sie das voranstehende Beispiel.
Beispiel 1.5 Sei X eine Menge, P(X) die Potenzmenge von X und φ : P(X) → P(X)
eine steigende Funktion (i.e. A ⊆ B ⇒ φ(A) ⊆ φ(B)). Dann existiert eine Teilmenge A0
von X mit φ(A0 ) = A0 . Hinweis: Sei X := {A ∈ P(X) : A ⊆ φ(A)}, so gilt: ∅ ∈ X ,
S
A ∈ X ⇒ φ(A) ∈ X und A0 := X A ist ein Fixpunkt von φ – cf. Satz von Knaster
Tarski.
Beispiel 1.6 (Cantor, Bernstein) Seien f : X → Y und g : Y → X injektive Funktionen. Dann existiert eine Bijektion h : Y → X. Hinweis : Sei φ : P(X) → P(X) definiert
durch φ(A) = X \ g(Y \ f (A)), dann ist φ steigend. Bezeichnet A0 einen Fixpunkt von φ,
so sei
(
g(y) falls y ∈ Y \ f (A0 )
h(y) =
f −1 (y) falls y ∈ f (A0 )
Beispiel 1.7 (Knaster, Tarski) Sei (X, ≤) eine geordnete Menge und F : X → X
eine monoton steigende Abbildung (d.h. aus x ≤ y folgt F (x) ≤ F (y)). Falls erstens
ein x0 ∈ X existiert mit x0 ≤ F (x0 ) und zweitens jede linear geordnete Teilmenge von
{x ∈ X : x ≥ x0 } ein Supremum besitzt, dann besitzt F einen Fixpunkt. Hinweis: X0 : =
{x ∈ X : x ≤ F (x), x ≥ x0 } ist induktiv geordnet und jedes maximale Element von X0 ist
ein Fixpunkt.
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Beispiel 1.8 Sei d : X × X → R+
0 eine Abbildung, so daß für alle x, y, z ∈ X: d(x, x) = 0
und d(x, z) + d(y, z) ≥ d(x, y). Dann ist d eine Halbmetrik auf X.
Beispiel 1.9 Sei 0 < p < 1, dann ist durch d(x, y): =
definiert.
P
|xj − yj |p eine Metrik auf Rn
Beispiel 1.10 Ist (E, k.k) ein normierter Raum und p eine Halbnorm auf E, Dann sind
folgende Aussagen äquivalent:
1. p ist stetig auf E.
2. p ist in 0 stetig.
3. ∃ C > 0 ∀ x ∈ E: p(x) ≤ C kxk.
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Beispiel 2.1 Eine konvexe Teilmenge C eines Vektorraumes E über R heißt absorbierend,
S
wenn n nC = E. Eine Teilmenge A von E heißt symmetrisch, wenn −A = A. Ist B eine
konvexe symmetrische und absorbierende Teilmenge von E, so ist kxkB : = inf{t > 0 : x ∈
tB} eine Halbnorm auf E und [k.kB < 1] ⊆ B ⊆ [k.kB ≤ 1].
Beispiel 2.2 Seien ψ(x) = ex − 1 und p ≥ 1. Zeigen Sie, daß für alle x > 0 gilt: xp ≤
pp ψ(x) und folgern Sie, daß für alle f ∈ Lp (µ) gilt: kf kp ≤ p kf kψ . Schließen Sie, daß
k.kψ und sup{k.kp /p : p ≥ 1} zwei äquivalente Normen sind.
Beispiel 2.3 Sei X ein metrischer Raum, A ⊆ X; d(x, A): = dA (x): = inf{d(x, y) : y ∈
A}. Zeigen Sie: dA ist Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstante 1.
+
Beispiel 2.4 Sei d eine Metrik auf X und ϕ : R+
0 → R0 eine stetige streng monoton
steigende Abbildung mit ϕ(0) = 0 und ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y). Zeigen Sie, daß d1 (x, y): =
ϕ(d(x, y)) eine zu d äquivalente Metrik auf X ist.
Beispiel 2.5 X metrisch, dann gilt: dA = dA und A = ∩n [dA < n1 ] i.e. in einem metrischen Raum ist jede abgeschlossene Menge der Durchschnitt von abzählbar vielen offenen
Mengen.
Beispiel 2.6 Seien 1 ≤ n < N und Ω die Menge aller n-Tupel x = (x1 , . . . , xn ), so daß
x1 < x2 < · · · < xn und xi ∈ {1, . . . , N }. Ferner sei für alle x, y ∈ Ω:
d(x, y): = n − |{x1 , . . . , xn } ∩ {y1 , . . . , yn }| .
Dann ist (Ω, d) ein metrischer Raum – der Lottoraum.
Beispiel 2.7 Sei p eine Primzahl, n, m ∈ Z und φ(n) der Exponent von p in der Primzerlegung von |n|. Für x = n/m sei φ(x) = φ(n) − φ(m). Dann ist durch
|x|p : =
(
p−φ(x) falls x 6= 0
0
falls x = 0
eine “Norm”auf Q definiert – die p-adische Norm, und es gilt für alle x, y ∈ Q:
|xy|p = |x|p |y|p
und
|x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p } .
Die Vervollständigung von (Q, |.|p ) heißt der Körper der p-adischen Zahlen und wird mit
Qp bezeichnet. Versuchen Sie zu begründen, warum Qp ein Körper ist.
Beispiel 2.8 Auf dem Raum M(R, n) (bzw. M(C, n)) aller reellen (bzw. komplexen) n×nMatrizen ist durch hA, Bi: = tr (AB ∗ ) ein inneres Produkt definiert – die entsprechende
Norm heißt die Hilbert-Schmidt-Norm k.kHS . Zeigen Sie, daß dieser Raum isometrisch
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2
isomorph zu Rn (bzw. Cn ) mit dem kanonischen inneren Produkt ist.
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Beispiel 2.9 Sei X eine Menge und R, S ⊆ X × X Relationen. Dann ist
RS: = {(x, y) ∈ X 2 : ∃ z ∈ X : (x, z) ∈ R, (z, y) ∈ S}
eine Relation auf X. Insbesondere schreibt man für RR auch R2 . Sind R, S symmetrisch,
so ist auch RS symmetrisch. Ist R eine symmetrische und reflexive Relation auf X, so
S
daß Rn = X 2 , dann ist durch
N (x, y): =
(
0
falls x = y
inf{n ∈ N : (x, y) ∈ Rn } sonst
eine Metrik definiert.
Beispiel 2.10 Sei R eine symmetrische und reflexive Relation auf X, so daß
und f : R → R+
0 symmetrisch. Dann ist durch d(x, x): = 0 und für x 6= y:
d(x, y): = inf

n
X

f (zj−1 , zj ) : n ∈ N, z0 = x, zn = y, (zj−1 , zj ) ∈ R
j=1
eine Halbmetrik auf X definiert.
4
S



Rn = X 2
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Beispiel 3.1 Sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines normierten Raumes X und x ∈
/
A. Zeigen Sie: d(x, A) = d(x, ∂A).
Beispiel 3.2 Sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines metrischen Raumes X und x ∈
/
A. Zeigen Sie, daß die Beziehung d(x, A) = d(x, ∂A) i.a. nicht gilt.
Beispiel 3.3 Sei f : (X, d) → (X, d1 ) stetig. Zeigen Sie:
1. d : (x, y) 7→ d(x, y) + d1 (f (x), f (y)) ist eine Metrik auf X.
2. d und d sind äquivalent.
3. f : (X, d) → (X, d) ist 1-Lipschitz-stetig.
Beispiel 3.4 Sei (X, d) ein metrischer Raum (d ≤ 1),
H(X): = {A ⊆ X : A = A, A 6= ∅} .
Für je zwei Elemente A, B ∈ H(X) seien
e(A, B): = sup{d(x, B) : x ∈ A}
dH (A, B): = max{e(A, B), e(B, A)} .
Zeigen Sie: dH ist eine Metrik auf H(X) – die Hausdorff-Metrik.
Beispiel 3.5 Seien X, Y Banachräume, dann heißt
dBM (X, Y ): = inf{kuk ku−1 k : u : X → Y
Isomorphismus}
die Banach-Mazur Distanz von X und Y . Es gilt:
dBM (X, Y ) ≤ dBM (X, Z)dBM (Z, Y )
und
dBM (X, Y ) = inf{c > 1 : BY ⊆ u(BX ) ⊆ cBY , u : X → Y
Isomorphismus}
Beispiel 3.6 Sei X ein metrischer Raum und M1 (X) die Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße auf den Borelmengen von X. Fü A ⊆ X und δ > 0 sei Aδ : = [dA < δ]. Dann
sind durch
dL (µ, ν) : = inf{δ > 0 : ∀ A = A : µ(A) ≤ ν(Aδ ) + δ, ν(A) ≤ µ(Aδ ) + δ}
Z
dH (µ, ν) : = sup{
f dµ −
Z
f dν : Lip(f ) ≤ 1, kf k∞ ≤ 1}
Metriken auf M1 (X) definiert. dL heißt die Levymetrik und dH die Hutchinson Metrik.
Die identische Abbildung (M1 (X), dH ) → (M1 (X), dL ) ist stetig. Hinweis: wählen Sie zu
jeder abgeschlossenen Teilmenge A von X und jedem r > 0: f (x) = (1 − r −1 dA (x))+ .
Beispiel 3.7 Seien Ti Topologien auf X. Zeigen Sie:
ist i.a. keine Topologie).
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T
S
Ti ist eine Topologie auf X ( Ti
Beispiel 3.8 Ein Mengensystem B ⊆ P(X) ist genau dann eine Basis einer Topologie T
auf X, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Zu allen x ∈ X existiert ein B ∈ B mit x ∈ B.
2. Zu allen A, B ∈ B und allen x ∈ A ∩ B existiert ein C ∈ B mit x ∈ C ⊆ A ∩ B.
Beispiel 3.9 Sei X eine geordnete Menge und T0 , T+ bzw. T− die von den Intervallen
der Form (x, y), [x, y) bzw. (x, y] erzeugten Topologien.
1. Ist X linear geordnet, so bilden die Intervalle der Form (x, y), [x, y) bzw. (x, y] Basen
von T0 , T+ bzw. T− .
2. Ist X wohlgeordnet, so ist T+ die diskrete Topologie und T0 und T− stimmen überein,
falls X kein maximales Element besitzt.
Beispiel 3.10 Sei R ein kommutativer Ring und Spec (R) die Menge aller Primideale –
ein Ideal P ist ein Primideal, wenn P 6= R und wenn aus xy ∈ P folgt: x ∈ P oder
y ∈ P . Eine Teilmenge A von Spec (R) heißt abgeschlossen, wenn ein Ideal I von R
existiert, so daß A = {P ∈ Spec (R) : P ⊇ I}. Zeigen Sie, daß T : = {U ⊆ Spec (R) :
U c abgeschlossen} eine Topologie auf Spec (R) ist – die Zariski Topologie. Beschreiben
Sie diese für R = Z.
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Beispiel 4.1 Für jede Teilmenge A eines topologischen Raumes X gilt: A◦c = Ac , Ac◦ =
c
A und A \ A◦ = Ac \ Ac .
Beispiel 4.2 Gl(R, n): = {A ∈ M(R, n) : det A 6= 0} ist eine offene Teilmenge von
M(R, n). Sl(R, n): = {A ∈ M(R, n) : det A = 1}, O(n): = {A ∈ M(R, n) : AA∗ = 1}
und SO(n): = Sl(R, n) ∩ O(n) sind abgeschlossene Teilmengen von M(R, n).
Beispiel 4.3 Gl(C, n): = {A ∈ M(C, n) : det A 6= 0} ist eine offene Teilmenge von
M(C, n). Sl(C, n): = {A ∈ M(C, n) : det A = 1}, U(n): = {A ∈ M(C, n) : AA∗ = 1}
und SU(n): = Sl(C, n) ∩ U(n) sind abgeschlossene Teilmengen von M(C, n).
Beispiel 4.4 Zeigen Sie, daß eine Abbildung f : X → Y genau dann stetig im Punkt x0
ist, wenn für alle offenen Umgebungen V von f (x0 ) gilt: x ∈ f −1 (V )◦ .
Beispiel 4.5 Sei f : X → Y eine Abbildung, BY eine Basis von TY und C(f ) die Menge
aller Punkte in denen f stetig ist. Zeigen Sie:
C(f )c =
[
f −1 (V ) \ f −1 (V )◦ =
V ∈TY
[
f −1 (V ) \ f −1 (V )◦
V ∈BY
Beispiel 4.6 Seien X, Y topologischer Räume. Zeigen Sie, daß das Mengensystem
{U × V : U ∈ TX , V ∈ TY }
Basis einer Topologie – die sogenannte Produkttopologie – auf X × Y ist.
Beispiel 4.7 Sei X ein topologischer Raum und f : X → R. f ist genau dann von unten
halbstetig, wenn {(x, t) ∈ X × R : f (x) ≤ t} abgeschlossen ist.
Beispiel 4.8 Sei X ein topologischer Raum, U eine offene Teilmenge von X × R. Dann
ist f : X → R,
f (x): = sup{t : (x, t) ∈ U } l.s.c.
Beispiel 4.9 Sei X ein metrischer Raum und f : X → R+ ,
gn (x): = inf{f (z) + nd(x, z) : z ∈ X}.
Zeigen Sie: |gn (y)−gn (x)| ≤ nd(y, x) und gn (x) ≤ gn+1 (x). Bestimmen Sie die Funktionen
gn , wenn f die Indikatorfunktion einer offenen Menge U ist.
Beispiel 4.10 Seien f und gn wie im voranstehenden Beispiel. Zeigen Sie: Falls f l.s.c.
ist, so gilt f (x) = lim gn (x). Diese Beispiele zeigen, daß eine nicht negative Funktion f
auf einem metrischen Raum genau dann l.s.c. ist, wenn f der Grenzwert einer monoton
steigenden Folge Lipschitz-stetiger Funktionen ist.
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Beispiel 5.1 Eine stetige Abbildung f : X → Y ist genau dann offen, wenn zu jeder
Teilmenge B von Y und jeder abgeschlossenen Teilmenge A von X, die f −1 (B) enthält,
eine abgeschlossene Teilmenge C von Y existiert, so daß B ⊆ C und f −1 (C) ⊆ A. D.h.
sie ist genau dann offen, wenn für alle Teilmengen B von Y gilt: f −1 (B) ⊆ f −1 (B).
Beispiel 5.2 Ist D ⊆ X dicht und U eine offene Teilmenge von X, so gilt: U ∩ D = U .
Ist also X separabel und U (⊆ X) offen, so ist U separabel.
2. Ist X separabel und f : X → Y stetig und surjektiv, dann ist Y separabel.
Beispiel 5.3 Die Abbildung F : S 1 × S 1 → C × R, (z, w) 7→ ((2 + ℜz)w, ℑz) ist eine
Einbettung. Skizzieren Sie die Menge F (S 1 × S 1 ).
Beispiel 5.4 Sind X, Y vollständige metrische Räume und f : X → Y injektiv. Ist f −1 :
f (X) → X gleichmäßig stetig, so ist f eine abgeschlossene Einbettung.
Beispiel 5.5 Sei p ∈ N und M : = {(z, w) ∈ C2 : w = z p } \ {(0, 0)}. Zeigen Sie, daß
χ(z, w): = w ein Überlagerungsabbildung ist und daß χ−1 (w) aus genau p Punkten besteht.
Beispiel 5.6 1. Sei F die Menge aller Familien offener paarweise disjunkter nicht leerer
Teilmengen von X. Zeigen Sie, daß F durch U ⊆ V induktiv geordnet ist. Ist U eine
S
maximale Familie, so gilt: U = X.
2. Sei X ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis Bn und U eine offene Teilmenge
S
von X. Dann existiert eine Teilfolge Bk(n) paarweise disjunkter Mengen, so daß Bk(n) ⊆
S
U ⊆ U ⊆ Bk(n) .
Beispiel 5.7 Zeigen Sie: {T ∈ M(n, C) : T ist diagonalisierbar} liegt dicht in M(n, C).
Beispiel 5.8 (R, T+ ) ist separabel und besitzt keine abzählbare Basis, ist also nicht metrisierbar.
Beispiel 5.9 Sei X eine separabler topologischer Raum und (Uα )α∈I eine Familie paarweise disjunkter offener Mengen, so ist I höchstens abzählbar.
Beispiel 5.10 Seien H = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}, R = {(x, 0) : x ∈ R} und X = H ∪ R.
Für z ∈ R und n ∈ N sei Un (z) = B(z + (0, 1/n), 1/n) ∪ {z}. Für z ∈ H und n ∈ N sei
Un (z) = B(z, 1/n). Zeigen Sie:
1. {Un (z) : n ∈ N, z ∈ X} ist Basis einer Topologie T auf X – die Niemytzki Topologie.
2. T induziert auf R die diskrete Topologie und auf H die natürliche Topologie.
3. Q × Q+ ist eine dichte Teilmenge von X.
4. (X, T ) ist nicht metrisierbar.
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Beispiel 6.1 Sei X = {−1, 0} ∪ {1/n : n ∈ N}, d die kanonische Metrik auf X und
D(0, 1/n) = 1, D(−1, 1/n) = 1/n, D(0, −1) = 1. Dann konvergiert die Folge 1/n bezüglich
d gegen 0 und bezüglich D gegen −1.
Beispiel 6.2 Sei F ein Ultrafilter auf dem topologischen Raum X. F konvergiert genau
dann nicht, wenn zu jedem x ∈ X ein U ∈ U (x) existiert, so daß U c ∈ F.
Sei z.B. X eine Menge mit der diskreten Topologie, dann konvergiert ein Ultrafilter F auf
X genau dann nicht, wenn das Komplement jeder endlichen Teilmenge von X in F liegt.
Einen Ultrafilter F auf einer Menge X nennt man einen freier Ultrafilter auf X, wenn
für jede endliche Teilmenge A von X gilt: Ac ∈ F.
Beispiel 6.3 1. Jeder Unterraum eines Hausdorff Raumes ist ein Hausdorff Raum.
2. Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorff Raum, wenn jeder konvergente
Filter einen eindeutig bestimmten Limes besitzt.
3. Sei X ein Hausdorff Raum und F ein Filter auf X. Dann gibt es zu jedem Häufungspunkt
T
x von F einen Ultrafilter U ⊇ F mit {U : U ∈ U } = {x}.
Beispiel 6.4 Besitzt U (x) eine abzählbare Umgebungsbasis, so ist f : X → Y genau dann
stetig in x, wenn das Bild jeder gegen x konvergenten Folge unter f in Y gegen f (x)
konvergiert.
Beispiel 6.5 Sei X eine Menge und R = RX der kommutative Ring aller Funktionen
f : X → R.
1. Ist F ein Filter auf X, so ist I(F): = {f ∈ R : [f = 0] ∈ F} ein Ideal in R.
2. Ist J ein Ideal in R, so ist F (J): = {[f = 0] : f ∈ J} ein Filter auf X.
3. I(F (J)) = J und F (I(F)) = F.
4. F ist genau dann ein Ultrafilter, wenn I ein maximales Ideal ist, also genau dann, wenn
R/I ein Körper ist.
Beispiel 6.6 Ersetzen wir RX durch die Menge der beschränkten Funktionen f : X → R,
so gilt zwar nur mehr J ⊆ I(F (J)), dies ändert jedoch nichts an den übrigen Aussagen.
Ist also F ein freier Ultrafilter auf X, so ist I: = I(F) ein maximales Ideal und R/I
ein Körper, der zu R isomorph ist.
Beispiel 6.7 Sei R ein topologischer Ring, d.h. die Abbildungen (y, x) 7→ x − y und
(x, y) 7→ xy sind stetig. Zeigen Sie: Ist I ein Ideal, so ist I ein Ideal oder I ist dicht.
Beispiel 6.8 Sei f : [0, 1] → [0, 1] und zu jeder endlichen Teilmenge α = {x0 , . . . , xn }
mit 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 seien
S ∗ fα : =
n
X
Mj (xj − xj−1 )
und
j=1
S∗ f α : =
n
X
mj (xj − xj−1 )
j=1
wobei Mj = sup{f (x) : xj−1 ≤ x ≤ xj } und mj = inf{f (x) : xj−1 ≤ x ≤ xj }. Zeigen Sie,
daß die Netze S ∗ fα und S∗ fα konvergieren (α ≤ β: ⇔ α ⊆ β).
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Beispiel 6.9 Sei G eine topologische Gruppe, d.h. die Abbildung (y, x) 7→ xy −1 ist stetig.
Zeigen Sie: Ist H ein Untergruppe bzw. ein Normalteiler, so ist auch H eine Untergruppe
bzw. ein Normalteiler.
Beispiel 6.10 Zeigen Sie, daß durch F : S 3 (⊆ R4 ) → SU(2),
(x1 , x2 , y1 , y2 ) 7→
x1 + ix2 −(y1 + iy2 )
y1 − iy2
x1 − ix2
!
p
eine Isometrie von S 3 – mit der euklidischen Metrik – auf SU(2) – mit der Norm tr(AA∗ )/2
– definiert ist. SU(n): = {U ∈ Gl(n, C) : U U ∗ = 1, det(U ) = +1} ist die spezielle unitäre
Gruppe.
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Beispiel 7.1 (Kettenbrüche) Sei I = [0, 1] \ Q, ψ(x) = 1/x − [1/x] und für alle n ∈
N = {1, 2, . . .}: an (x): = [1/ψ n−1 (x)], wobei ψ 0 (x): = x und ψ n (x): = ψ(ψ n−1 (x)).
Sei x1 , . . . , xk ≥ 1, dann setzen wir hx1 i: = 1/x1 ,
hx1 , x2 i: = 1/(x1 + 1/x2 ),
hx1 , x2 , x3 i: = 1/(x1 + 1/(x2 + 1/x3 )),
u.s.w.
Für alle x ∈ I und alle k ∈ N gilt: x = ha1 (x), . . . , ak (x)+ψ k (x)i und ψ(x) = ha2 (x), . . . , ak (x)+
ψ k (x)i
Beispiel 7.2 Zu n1 , n2 , . . . ∈ N seien
In1 : = (hn1 + 1i, hn1 i),
In1 ,n2 : = (hn1 , n2 i, hn1 , n2 + 1i),
u.s.w.
1. In1 ,...,nk ,nk+1 ⊆ In1 ,...,nk .
2. ψ ist ein Homöomorphismus von In1 ,...,nk auf In2 ,...,nk .
3. Für alle j ≤ k gilt: aj |In1 ,...,nk = nj .
4. Das offene Intervall In1 ,...,nk besitzt höchstens die Länge 2−k . Falls also aj (x) = aj (y) =
nj für alle j ≤ k, dann folgt |x − y| ≤ 2−k .
Beispiel 7.3 Sei K ein normierter Körper, d.h. es gibt eine Norm |.| auf K, so daß für
alle x, y ∈ K: |xy| ≤ |x||y| und d(x, y): = |x − y| ist eine Metrik auf K.
Sei E die Menge aller f ∈ KN , so daß f (n) eine Cauchyfolge ist.
1. E ist ein kommutativer Ring mit Eins und |f |: = lim |f (n)| ist eine “Halbnorm”auf dem
Vektorraum E über K.
2. I: = {f ∈ E : |f | = 0} ist ein maximales Ideal in E, also ist E/I ein normierter Körper
b (was ist die Norm |.|?)
K
b |.|) ist ein vollständiger normierter Körper und enthält einen zu K isometrischen
3. (K,
b ist die Vervollständigung von K.
dichten Unterkörper, i.e. K
Beispiel 7.4 Sei F ein freier Ultrafilter auf N und R = RN , so nennt man den Körper
R∗ : = R/I(F) ein non-standard Modell der reellen Zahlen – R ⊆ R∗ identifiziert man
mit den konstanten Folgen! Ist x ∈ R, so schreiben wir im weitern für deren Klasse x∗ .
1. Ordnung auf R∗ : Definieren wir für x∗ , y ∗ ∈ R∗ : x∗ ≤ y ∗ genau dann, wenn [x ≤ y] ∈ F,
so ist (R∗ , ≤) linear geordnet und induziert auf R die gewöhnliche Ordnung. Den Betrag
von x∗ ∈ R∗ definiert man wie üblich als das Maximum von x∗ und −x∗ .
2. Unendlich große, unendlich kleine und endliche Zahlen: Man nennt eine Zahl x∗ ∈ R∗
(positiv) unendlich groß, wenn für alle r ∈ R+ : x∗ ≥ r. x∗ ∈ R∗ heißt unendlich klein
(oder infinitesimal), wenn für alle r ∈ R+ : x∗ ≤ r. x∗ ∈ R∗ heißt endlich, wenn ein
r ∈ R+ existiert, so daß: |x∗ | ≤ r.
3. x∗ , y ∗ ∈ R∗ heißen fast gleich, wenn x∗ − y ∗ infinitesimal ist. Dies ist genau dann der
Fall, wenn für alle r ∈ R+ : [|x − y| < r] ∈ F.
4. Zu jeder endlichen Zahl x∗ ∈ R∗ gibt es genau eine reelle Zahl x0 , so daß x0 und x∗
fast gleich sind. Ferner ist die Zuordnung x∗ 7→ x0 additiv und multiplikativ.
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Beispiel 7.5 Die hyperkomplexe Zahlen (Quaternionen): Auf der (additiven Gruppe) R4 setzen wir i: = (0, 1, 0, 0), j: = (0, 0, 1, 0) und k: = (0, 0, 0, 1) und schreiben Punkte
aus R4 in der Form: x1 + ix2 + jx3 + kx4 mit x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R. Im weiteren bezeichne
1 die hyperkomplexe Zahl (1, 0, 0, 0). Durch 1 · 1: = 1, 1 · i = i · 1 = i, 1 · j = j · 1 = j,
1 · k = k · 1 = k, i · i = j · j = k · k = −1 und
i · j = k = −j · i,
j · k = i = −k · j,
k · i = k = −i · k,
ist eine bilineare Abbildung – die Multiplikation – auf R4 definiert: die Multiplikation
ist dann distributiv (bzgl. der Addition). H: = (R4 , +, ·) nennt man den Schiefkörper der
hyperkomplexen Zahlen (oder Quaternionen); ist x = x1 + ix2 + jx3 + kx4 ∈ H, so nennt
man x̄: = x1 − ix2 − jx3 − kx4 die konjugierte hyperkomplexe Zahl; es gilt: xx̄ = x̄x =
−1 = x̄/|x|2 , wobei |x|: =
x21 + x22 + x23 + x24 ∈ R+
0 , also ist die inverse zu x gegeben durch: x
+
3
1/2
(xx̄)
∈ R0 . S : = {z ∈ H : zz̄ = 1} ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe
(H, ·) – die 3-dimensionale Spingruppe – sie ist zu SU(2) isomorph (vgl. Beispiel 6.10)
Beispiel 7.6 Sei X ein metrischer Raum, x0 ∈ X, Y ein Unterraum und Bn = {x :
d(x, x0 ) ≤ n}. Y ist genau dann abgeschlossen, wenn Y ∩ Bn für alle n ∈ N abgeschlossen
ist.
Beispiel 7.7 A ⊆ X heißt lokal abgeschlossen, wenn jedes x ∈ A eine offene Umgebung
U in X besitzt derart, daß A∩ U in U abgeschlossen ist. Zeigen Sie: A ist genau dann lokal
abgeschlossen, wenn eine abgeschlossene Teilmenge C von X und eine offene Teilmenge
V von X existieren, so daß A = C ∩ V .
Beispiel 7.8 A ⊆ X ist genau dann lokal abgeschlossen, wenn jedes x ∈ A eine offene
Umgebung U in X besitzt derart, daß A ∩ U = A ∩ U .
Beispiel 7.9 Die Abbildung f : A 7→ AA∗ ist eine offene Abbildung von Gl(n, R) in den
Raum der symmetrischen n × n Matrizen. Hinweis: Zeigen Sie, daß f ist eine Submersion
ist
Beispiel 7.10 Seien E ⊆ Y Teilmengen eines topologischen Raumes X. Wir nennen E
isoliert in Y , wenn zu jedem y ∈ Y ein offene Menge U 6= ∅ existiert, so daß E ∩ U
endlich ist. Falls Y = X, so nennen wir E eine isolierte Teilmenge von X; falls Y = E,
so nennen wir E eine diskrete Teilmenge von X. Zeigen Sie: eine isolierte Teilmenge
E ist stets abgeschlossen, hingegen muß eine diskrete Teilmenge nicht abgeschlossen sein.
Eine abgeschlossene und diskrete Teilmenge ist isoliert.
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Übungen zu Topologie SS2013
Q
Beispiel 8.1 Sei Xn eine Folge separabler metrischer Räume und X = Xn . Zeigen Sie,
daß die Borelsche σ-Algebra auf X gleich dem Produkt der Borelschen σ-Algebren auf Xn
ist. Hinweis: die Produktalgebra ist die “kleinste”σ-Algebra, bezüglich der alle Projektionen
meßbar sind.
Q
Beispiel 8.2 Sei X = α∈I Xα . Zu jeder offenen Teilmenge U von X existiert eine
endliche Teilmenge J = {α1 , . . . , αn } von I und offene Teilmengen Uαj von Xαj , so daß
n
\
Pr−1
αj (Uαj ) ⊆ U
j=1
2. Sind Aα ⊆ Xα , so gilt:
Q
Aα =
Q
Aα .
Beispiel 8.3 Sei Y ein Hausdorffraum und f : X → Y stetig. Dann ist der Graph Γ(f ): =
{(x, f (x)) : x ∈ X} eine abgeschlossene Teilmenge von X × Y .
Beispiel 8.4 Seien X, Y, Z Hausdorff Räume, F : X → Z, G : Y → Z stetig und
X ×Z Y : = {(x, y) ∈ X × Y : F (x) = G(y)} .
Dann ist X ×Z Y ein abgeschlossener Unterraum von X × Y . X ×Z Y heißt das Faserprodukt von X und Y über Z.
Beispiel 8.5 Seien Xn vollständige metrische Räume und fn : X → Xn eine punkteQ
trennnende Folge. Ist f : X →
Xn abgeschlossen (Prn ◦f = fn ), so ist X mit der
initialen Topologie homöomorph zu einem vollständigen metrischen Raum.
Beispiel 8.6 Sei Z die disjunkte Summe der Räume Xα , α ∈ I und iα : Xα → Z, dann
ist iα sowohl offen als auch abgeschlossen.
2. Eine Teilmenge B ⊆ Z ist genau dann offen (abgeschlossen), wenn für alle α gilt:
B ∩ iα (Xα ) ist offen (abgeschlossen).
Beispiel 8.7 Seien Xα metrische Räume, so daß d(Xα ) ≤ δ ≤ D. Zeigen Sie, daß durch
d(x, y) = dα (x, y) falls x, y ∈ Xα und d(x, y) = D/2 falls x ∈ Xα , y ∈ Xβ und α 6= β, eine
Metrik auf der disjunkten Summe Z der Räume definiert ist und daß Z sämtliche Räume
Xα isometrisch enthält.
Beispiel 8.8 Seien R bzw. S Äquivalenzrelation auf den topologischen Räumen X bzw.
Y und πX bzw. πY die Quotientenabbildungen. Zeigen Sie: Sind πX und πY offen, so ist
X × Y /R × S homöomorph zu X/R × Y /S.
Beispiel 8.9 Sei X ein normierter Raum und Y ein abgeschlossener Unterraum. Dann
ist durch
bk : = inf{kx + yk : y ∈ Y }
kx
eine Norm auf X/Y definiert. Zeigen Sie, daß die offene Einheitskugel in X/Y das Bild
der offenen Einheitskugel von X unter der Quotientenabbildung π : X → X/Y ist: X/Y
ist also normierbar.
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Beispiel 8.10 Auf Cn sei ∼ die Äquivalenzrelation z ∼ w :⇔ w1 , . . . , wn ist eine Permutation von z1 , . . . , zn . Die Funktion F : M(C, n) → Cn / ∼, die jeder Matrix A ∈ M(C, n)
ihre Eigenwerte zuordnet, ist stetig.
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Übungen zu Topologie SS2013
Beispiel 9.1 Sei (E, h., .i) ein Hilbertraum und F ein abgeschlossener Unterraum von E.
⊥ und R die Äquivalenzrelation xRy: ⇔
Bezeichnet Pr⊥
F die orthogonale Projektion auf F
b:
x − y ∈ F , so gilt für alle x, y ∈ E mit π(x) = x
⊥
b − ybk = k Pr⊥
kx
F x − PrF yk .
Schließen Sie hieraus, daß E/F und F ⊥ isometrisch isomorph sind.
Beispiel 9.2 Seien G, H Hausdorffgruppen und f : G → H ein surjektiver stetiger Homomorphismus. Dann ist fb : G/ ker f → H genau dann ein Isomorphismus (topologischer
Gruppen), wenn f offen ist.
Beispiel 9.3 R/Z ist isomorph zum eindimensionalen Torus T1 : = S 1 . Hinweis: die Abbildung R → T1 , x 7→ e2πix ist ein stetiger, offener Homomorphismus.
Beispiel 9.4 Ist N ein abgeschlossener Normalteiler der Hausdorffgruppe G, so ist G/N
eine Hausdorffgruppe. Cf. Beispiel 8.8.
Beispiel 9.5 Sei G ⊆ C[0, 1] die Menge der Homöomorphismen von [0, 1] auf [0, 1] mit
der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz. Zeigen Sie:
1. G mit der Komposition ist eine topologische Gruppe.
b ist keine Gruppe.
2. Die Vervollständigung G
Beispiel 9.6 Ist G eine topologische Gruppe, so sind die Rechts- bzw. Linkstranslationen Rx : y 7→ xy bzw. Lx : y 7→ yx für alle x ∈ G Homöomorphismen.
2. Sei H eine weitere topologische Gruppen. Ein Homomorphismus f : G → H ist genau
dann stetig, wenn er in einem Punkt stetig ist.
Beispiel 9.7 Ist H eine Untergruppe der Gruppe G. Dann gilt:
1. H ist eine Untergruppe von G.
2. Ist N ein Normalteiler, so ist auch N ein Normalteiler.
3. Ist G hausdorffsch und H abelsch, so ist H abelsch.
4. Der Normalisator N (H): = {g ∈ G : gHg−1 = H} einer abgeschlossenen Untergruppe
H ist abgeschlossen.
5. Der Zentralisator Z(A): = {g ∈ G : ∀ x ∈ A : gxg −1 = x} einer beliebigen Teilmenge A
einer Hausdorffgruppe G ist abgeschlossen.
Beispiel 9.8 Sei G eine topologische Gruppe mit dem neutralen Element e. Dann gilt:
1. e besitzt eine Umgebungsbasis aus offenen, symmetrischen Mengen U , d.h. U = U −1 .
2. Jede Untergruppe H, die einen inneren Punkt in G besitzt, ist zugleich offen und abgeschlossen.
Beispiel 9.9 Seien X ein metrischer Raum und R eine abgeschlossene Äquivalenzrelation,
so daß π : X → X/R abgeschlossen ist. Dann ist die Abbildung X → H(X), x 7→ R(x)
stetig. Cf. Beispiel 3.4.
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Beispiel 9.10 Sei k < n, Rn = Rk ⊕ Rn−k und O(n, k) die Menge aller U ∈ O(n), so
daß U (Rk ) = Rk . Zeigen Sie, daß O(n, k) eine zu O(n − k) × O(k) =: O(n, k) isomorphe
Untergruppe von O(n) ist, und daß man den Quotientenraum Gn,k : = O(n)/O(n, k) als
Menge mit der Menge der k dimensionalen Teilräume von Rn identifizieren kann. Gn,k
heißt die Graßmannsche Mannigfaltigkeit der k-dimensionalen Teilräume von Rn .
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Übungen zu Topologie SS2013
Beispiel 10.1 Jede lineare Abbildung f : R(N) → R ist stetig und es existiert genau ein
P
x = (xn ) ∈ RN , so daß für alle y = (yn ) ∈ R(N) : f (y) = xn yn .
Beispiel 10.2 Sei (E, pα , α ∈ I), ein lokalkonvexer Raum und f : E → R eine lineare
Abbildung. Zeigen Sie, daß f genau dann stetig ist, wenn eine Konstante C und eine
endliche Teilmenge J ⊆ I existiert, so daß für alle x ∈ E:
|f (x)| ≤ C sup pα (x) .
α∈J
Beispiel 10.3 Sei f : S 3 (⊆ C2 ) → C × R die Abbildung (z, w) 7→ (2z w̄, |z|2 − |w|2 ). Dann
ist f : S 3 → S 2 stetig, abgeschlossen und surjektiv. Folgern Sie, daß P 1 (C) homöomorph
zu S 2 ist. Hinweis: Benutzen Sie die Kompaktheit von S 3 !
Beispiel 10.4 Die Sphäre S n ist zusammenhängend und wegzusammenhängend. R2 \ Q2
ist wegzusammenhängend.
Beispiel 10.5 Sei f : S 1 → R eine stetige Abbildung. Dann existiert eine orthonormale
Basis e1 , e2 von R2 mit f (e1 ) = f (e2 ).
Beispiel 10.6 Jeder Quotientenraum eines zusammenhängenden Raumes ist zusammenhängend.
Beispiel 10.7 Sei X ein normierter Raum und E ein abgeschlossener Unterraum. X \ E
ist genau dann zusammenhängend, wenn die Kodimension von E größer gleich 2 ist.
Beispiel 10.8 X: = {(x, y) ∈ R2 : (x ∈ Q und y ∈ [0, 1]) oder (x ∈
/ Q und y ∈ [−1, 0])}.
Zeigen Sie: X ist zusammenhängend aber nicht lokal zusammenhängend.
Beispiel 10.9 Sei A ⊆ X abgeschlossen und Z eine Zusammenhangskomponente von Ac .
Dann gilt ∂Z ⊆ A.
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Übungen zu Topologie SS2013
Beispiel 11.1 Ist A eine konvexe Teilmenge eines topologischen Vektorraumes E, dann
ist A konvex.
Beispiel 11.2 Eine Teilmenge A eines topologischen Vektorraumes E heiß beschränkt,
wenn es zu jeder Nullumgebung U ein λ > 0 gibt, so daß B ⊆ λU . Zeigen Sie, daß mit B
auch B beschränkt ist.
Beispiel 11.3 Ist Ω ⊆ Cn offen und zusammenhängend (i.e. ein Gebiet) und f : Ω → C
analytisch, so ist [f 6= 0] zusammenhängend. Z.B. ist Gl(n, C) zusammenhängend.
Beispiel 11.4 Gl(n, R) besteht aus genau zwei Zusammenhangskomponenten, nämlich
[det > 0] und [det < 0].
Beispiel 11.5 Sl(n, R) ist zusammenhängend und O(n) besteht aus genau zwei Zusammenhangskomponenten.
Beispiel 11.6 Sl(n, C) und U(n) sind zusammenhängend.
Beispiel 11.7 Das Produkt von endlichen vielen sowie die disjunkte Summe von abzählbar
vielen topologischen Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit.
Beispiel 11.8 Ist f : (a, b) → R differenzierbar, so ist f ′ ((a, b)) zusammenhängend. Hinweis: Mittelwertsatz!
Beispiel 11.9 Sei X ein regulärer Raum, R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelation, so daß die
Quotientenabbildung π : X → X/R abgeschlossen ist. Dann ist R abgeschlossen.
Beispiel 11.10 Sei X eine Menge und f : X → R+
0 eine Abbildung. Dann gilt:
f (x) =
Z
0
∞
I[f >t] (x) dt
. . . pancake layer representation of f .
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Übungen zu Topologie SS2013
Beispiel 12.1 Jeder abgeschlossene Teilraum eines normalen Raumes ist normal.
Beispiel 12.2 Sei Aj , 1 ≤ j ≤ n eine endliche Folge paarweise disjunkter abgeschlossener Teilmengen des normalen Raumes X. Dann existiert eine endliche Folge Uj , j ≤ n
paarweise disjunkter offener Teilmengen von X, so daß Aj ⊆ Uj .
Beispiel 12.3 Seien X, Y metrische Räume, A ⊆ X und f : A → Y . Ist Y vollständig
und f gleichmäßig stetig, so gibt es eine stetige Fortsetzung F : X → Y von f .
Beispiel 12.4 Sei X metrisierbar und A ⊆ X. Besitzt jede stetige Funktion f : A → [0, 1]
eine stetige Fortsetzung auf X, so ist A abgeschlossen.
Beispiel 12.5 Sei A eine beliebige Teilmenge eines metrischen Raumes X und f : A → R
Lipschitz stetig mit der Konstante L. Dann ist
F (x): = inf{f (y) + Ld(x, y) : y ∈ A}
eine Lipschitz stetige Funktion mit der Konstante L und F |A = f . Bestimmen Sie F für
X = R, A = [−1, 1] und f (x) = x2 .
Beispiel 12.6 Seien X, Y normale Räume und u : X → Y eine stetige Abbildung. Zeigen
Sie: Ist u eine abgeschlossene Einbettung, so ist die lineare Abbildung u∗ : C(Y ) → C(X),
u∗ (f )(x): = f (u(x)), surjektiv.
Beispiel 12.7 Ist u∗ surjektiv, so ist u eine Einbettung. Hinweis: Benutzen Sie Lemma
3.3.4
Beispiel 12.8 u(X) ist genau dann dicht, wenn u∗ : C(Y ) → C(X) injektiv ist.
Beispiel 12.9 Sind X, Y normierte Räume und u linear, so ist X ∗ ⊆ C(X) und u∗ |X ∗
ist die adjungierte zu u.
Beispiel 12.10 Sind X, Y normierte Räume und u : X → Y stetig und linear, so ist
u∗ surjektiv, falls u eine Einbettung ist. Hinweis: Gehen Sie wie in den voranstehenden
Beispielen vor und benutzen Sie anstelle des Urysohn Lemmas den Satz von Hahn-Banach.
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Übungen zu Topologie SS2013
Beispiel 13.1 1. Jeder abgeschlossene Unterraum eines Lindelöfraumes ist ein Lindelöf
Raum. 2. Das stetige Bild eines Lindelöfraumes ist ein Lindelöfraum. 3. Ein Hausdorffraum
ist genau dann ein Lindelöfraum, wenn für jede Familie abgeschlosser Teilmengen Aα ,
T
T
α ∈ J aus α∈I Aα 6= ∅ und I ⊆ J abzählbar, folgt: Aα 6= ∅.
Beispiel 13.2 Sei X ein Hausdorffraum und xα , α ∈ I, ein Netz in X. Unter einem
Teilnetz xβ , β ∈ J versteht man eine Teilmenge J von I mit folgender Eigenschaft: zu
jedem α ∈ I existiert ein β ∈ J mit β > α. Zeigen Sie, daß X genau dann kompakt ist,
wenn jedes Netz in X ein konvergentes Teilnetz besitzt.
Beispiel 13.3 Sei (X, T ) ein Hausdorffraum und S eine Subbasis von T . X ist genau dann kompakt, wenn jede Überdeckung von X mit Elementen aus S eine endliche
Teilüberdeckung enthält. (Hinweis: Ist U ein Ultrafilter auf X, der nicht konvergiert, so
existiert zu jedem x ∈ X ein S ∈ S, so daß x ∈ S und S ∈
/ U ).
Beispiel 13.4 Sei X wohlgeordnet und 0 = min X. (X, T− ) ist genau dann kompakt, wenn
X ein größtes Element besitzt.
Beispiel 13.5 Ein kompakter Raum X ist genau dann metrisierbar, wenn er eine abzählbare
Basis besitzt.
Beispiel 13.6 Sei An eine fallende Folge zusammenhängender kompakter Teilmengen des
T
Hausdorffraumes X. Dann ist A: = An zusammenhängend.
Beispiel 13.7 (Dini) X kompakt, fn : X → (−∞, ∞] l.s.c. und ∀ x ∈ X, n ∈ N:
fn+1 (x) ≥ fn (x). Zeigen Sie: Ist f (x) = lim fn (x) u.s.c, so ist f stetig und die Folge
fn konvergiert gleichmäßig gegen f .
Beispiel 13.8 Sei X regulär und A bzw. K eine abgeschlossene bzw. kompakte Teilmenge
von X. Falls A ∩ K = ∅, dann existieren offene Teilmengen U bzw. V , so daß A ⊆ U ,
K ⊆ V und U ∩ V = ∅.
P
εn p−n ist stetig,
Beispiel 13.9 Sei p ∈ N, p ≥ 2. Die Abbildung θp : ZN
p → [0, 1], ε 7→
abgeschlossen und surjektiv aber weder offen noch injektiv. Hinweis: ZN
p ist kompakt.
N
2. Durch εRδ: ⇔ θp (ε) = θp (δ) ist eine Äquivalenzrelation auf Zp definiert. Bestimmen
Sie zu ε ∈ ZN
p : R(ε).
3. Sei p ≥ 3 und Z die Menge aller ε ∈ ZN
p , so daß für alle n ∈ N: εn 6= p − 2. Ist
θp : Z → [0, 1] injektiv?
Beispiel 13.10 Beweisen Sie, daß [0, 1]N ein stetiges Bild der Cantormenge ∆ = {0, 2}N
ist.
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Übungen zu Topologie SS2013
Beispiel 14.1 Sei X ein Banachraum mit der Einheitskugel B und A ⊆ X. Zeigen Sie,
daß A genau dann relativ kompakt ist, wenn zu jedem r > 0 eine relativ kompakte Teilmenge Kr von E existiert, so daß A ⊆ Kr + rB.
Beispiel 14.2 Sei (Ω, F, µ) ein σ-endlicher Maßraum und g : Ω → [0, ∞] eine integrierbare Funktion. Zeigen Sie, daß auf M : = {f ∈ L0 (µ) : |f | ≤ g} die L1 -Topologie und die
L0 -Topologie übereinstimmen.
Beispiel 14.3 Sei E ein Vektorraum und f, g1 , . . . , gn lineare Funktionale auf E. Falls
T
P
ker gj ⊆ ker f , dann gibt es Zahlen λ1 , . . . , λn , so daß f = λj gj .
Beispiel 14.4 Zu jedem stetigen linearen Funktional f : (X ∗ , σ(X ∗ , X)) → R existiert
genau ein x ∈ X, so daß für alle x∗ ∈ X ∗ : f (x∗ ) = x∗ (x).
Beispiel 14.5 Ist ϕ : R → R+
0 konvex, so ist f 7→
R
ϕ(f ) dµ auf L2 (µ) konvex und l.s.c.
Beispiel 14.6 Sei A : dom (A) → E ein selbstadjungierter positiver (nicht notwendigerweise beschränkter) Operator auf einem Hilbertraum E und H 1 (A): = [k.k1 < ∞] der
entsprechende Sobolevraum. Falls H 1 (A) ֒→ E kompakt ist, dann nimmt f (x): = hAx, xi
auf jeder abgeschlossenen und beschränkten Teilmenge D von E ihr Minimum an.
Beispiel 14.7 Ist z.B. D die Einheitssphäre SE , so gilt die Euler-Lagrange Gleichung:
Ay = λy, i.e. y ist ein Eigenvektor zum minimalen Eigenwert λ.
Beispiel 14.8 Sei X ein Banachraum und f : X → [0, ∞] l.s.c., so daß für alle t ∈ R:
[f ≤ t] kompakt ist. Dann besitzt f auf jeder abgeschlossenen Teilmenge D von X ein
Minimum.
Beispiel 14.9 Sei f : X ×Y → Z stetig, X, Y, Z Hausdorffräume und A bzw. B kompakte
Teilmengen von X bzw. Y . Existiert eine offene Obermenge W von f (X ×Y ), so existieren
offene Obermengen U bzw. V von A bzw. B, so daß f (U × V ) ⊆ W .
Beispiel 14.10 Sei (X, d) kompakt. X ist genau dann zusammenhängend, wenn zu jedem
ε > 0 und zu je zwei Punkten x, y eine endliche Folge (xi )ni=1 existiert mit x1 = x, xn = y,
d(xi , xi+1 ) < ε.
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