Vergleichsarbeiten Mathematik 2003

DIDAKTISCHE ERLÄUTERUNGEN
Arbeitsgruppe Mathematik
Projekt VERA 2005
Karin Behring, Michaela Dannenberger, Brigitte Dedekind,
Reinhard Forthaus, Ines Fröhlich, Andrea Hahne
Petra Hain, Ann Christin Halt, Hanna Haubold
Jan Hochweber, Jens Holger Lorenz, Dirk Schnitzler
Angela Thiele, Sonja Wagner
VERA 2005
© Projekt VERA 2005
Erläuterungen zu den
zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben
anhand von Beispielen
1
Aufgabe (Nr. 1)
Kreuze an.
richtig
falsch
Ein Mann ist ungefähr 1 Meter groß.
#
#
Eine Haustür ist ungefähr 5 Meter hoch.
#
#
Eine Schultasche ist ungefähr 2 Meter breit.
#
#
Eine Klassentür ist ungefähr 1 Meter breit.
#
#
Ein Kleiderschrank ist ungefähr 2 Meter hoch.
#
#
Ein Bett ist ungefähr 6 Meter lang.
#
#
Beispiel:
2
Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung
Die Teilaufgaben dieser Aufgabe werden getrennt ausgewertet. Bitte verwenden Sie die folgende Zuordnung:
a)
b)
c)
d)
Eine Haustür ist ungefähr 5 Meter hoch.
richtig
falsch
□
X
→ richtig
X
□
→ F1
entfällt
→ F2
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Eine Schultasche ist ungefähr 2 Meter breit.
□
X
→ richtig
X
□
→ F1
entfällt
→ F2
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Eine Klassentür ist ungefähr 1 Meter breit.
X
□
→ richtig
□
X
→ F1
entfällt
→ F2
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Ein Kleiderschrank ist ungefähr 2 Meter hoch.
X
□
→ richtig
□
X
→ F1
entfällt
→ F2
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
2
Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik – Aufgabe 1
richtig
e)
Ein Bett ist ungefähr 6 Meter lang.
□
falsch
X
X
□
→ richtig
→ F1
entfällt
→ F2
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Erläuterungen zur Gesamtaufgabe:
Die jeweils falschen Antworten entstehen wahrscheinlich aufgrund einer fehlenden Größenvorstellung für Gegenstände des
Alltags.
3
Fähigkeitsniveau
VERA-Fähigkeitsniveau 1 (elementare Fähigkeiten)
Allgemein:
Einfache Aufgaben mit grundlegenden Anforderungen werden hinreichend sicher gelöst.
Sachrechnen:
Einfache Größenvorstellungen sind vorhanden.
4
Standardzuordnung (inhaltsbezogene Kompetenzen)
Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben.
Größen und Messen
Größenvorstellungen besitzen
• Repräsentanten für Standardeinheiten kennen, die im Alltag wichtig sind
5
Didaktische und methodische Hinweise
Aufgabentyp/Aufgabenformat:
Plausibilitätsprüfung mathematischer Aussagen/Multiple-Choice mit einer richtigen Antwort
Aufgabenbeschreibung:
In Analogie zu einem vorangestellten Beispiel müssen die Kinder fünf sprachlich völlig
gleich strukturierte Aussagen über die ungefähre Länge, Höhe und Breite von Alltagsgegenständen, die ihnen allesamt gut vertraut sein sollten, auf ihre Richtigkeit überprüfen.
Dabei beziehen sich alle Aussagen auf die Standardeinheit Meter, so dass kein Wechsel
der Stützpunktvorstellung (1 Meter) notwendig ist.
Die falschen Aussagen sind als solche leicht zu erkennen, da die Angaben bzgl. der
ungefähren Länge oder Höhe der betreffenden Gegenstände sehr deutlich von ihrer
tatsächlichen Länge oder Höhe abweichen.
Voraussetzungen:
alltagsnahe Vorstellungen von Größen besitzen
Größen abschätzen können
Repräsentanten für die Standardeinheit Meter kennen
die mathematischen Fachbegriffe Länge, Breite, Höhe und ungefähr kennen
Mögliche Lösungswege:
Der Spielraum für eine individuelle Vorgehensweise bei der Aufgabenbearbeitung ist nicht
groß. Nach dem Anschauen des Beispiels werden die meisten Kinder damit beginnen, eine
Aussage nach der anderen auf ihre Richtigkeit hin zu überprüfen, ohne sich zunächst einen
3
Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik – Aufgabe 1
Überblick über alle fünf Aussagen zu verschaffen und zu merken, dass es in allen Aussagen
um die Standardeinheit Meter geht.
Grundsätzlich könnte ein Kind seine Lösungen noch kontrollieren, indem es die Aussagen
zueinander in Beziehung setzt und sich damit weitere Vergleichsgrößen schafft, z.B. „Ich
weiß, dass ein Kleiderschrank ungefähr 2 Meter hoch ist, und ich weiß auch, dass ein
Kleiderschrank ungefähr so hoch ist wie eine Haustür. Dann kann eine Haustür nicht
5 Meter hoch sein.“
Anregungen für die Unterrichtspraxis:
Das Schätzen von Größen im Größenbereich Längen kann – wie auch in den anderen
Größenbereichen – nur dann in der gedanklichen Vorstellung gelingen, wenn Größen
zunächst vielfach geschätzt und die Schätzwerte anschließend auf enaktiver Ebene auf ihre
Richtigkeit überprüft worden sind.
Dabei ist es hilfreich, wenn sich jedes Kind aus geeigneten Materialien (z.B. Pappstreifen)
selbst einen Meterstab (nach Vorlage des in der Klasse vorhandenen Meterstabes)
anfertigt.
Beispiele:
Suche Gegenstände, die ungefähr so lang, breit oder hoch sind wie dein Meterstab.
Schätze erst und miss dann nach mit deinem Meterstab.
in der Schule
Höhe der Klassentür
Länge der Tafel
Breite des Klassenraums
geschätzt (in m)
gemessen (in m)
zu Hause
Breite des Bettes
Höhe des Kleiderschrankes
Länge des Kinderzimmers
geschätzt (in m)
gemessen (in m)
Was passt zusammen? Verbinde.
Höhe einer Tür
4m
Länge eines Autos
10m
Breite eines Bettes
1m
Länge eines Klassenraumes
2m
Schätzübungen sollten auch bzgl. der Standardeinheit cm und in anderen Größenbereichen
durchgeführt werden.
Wie lang, wie breit ...
Wie lang ist eine Musikkassette?
Wie breit ist eine Schultafel?
Wie hoch ist eine Klassentür?
Wie lang ist ein Schulheft DIN A 4?
Wie breit ist ungefähr ein Fingernagel?
Wie lang ist ungefähr eine Daumen-Zeigefinger-Spanne?
Wie lang und wie breit ist ein Fußballfeld?
Wie lange dauert ...
Wie lange dauert das Abspielen einer Musikkassette?
Wie lange dauert eine Schulstunde?
Wie lange dauert ein Fußballspiel mit Halbzeitpause?
Wie lange dauert ein 100 m-Lauf (Männer)?
Wie lange dauert der Weg von der Schule zum Bäcker?
Wie lange dauern hundert Pulsschläge?
Wie lange dauern zehn Liegestütze?
(Ministerium für Schule, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Schriftenreihe Schule in
NRW, Nr. 9036/1, Qualitätsentwicklung und Qualitätssicherung, Aufgabenbeispiele Klasse 3: Mathematik, Frechen
2002, S. 96)
4
1
Aufgabe (Nr. 3)
Nach dem Schütteln der Kugeln fallen die Ziffern 1, 2 oder 3 in das Hunderter- , Zehneroder Einerloch. Es entsteht jedes Mal eine dreistellige Zahl.
1
3
2
H
Z
E
Gib alle dreistelligen Zahlen an, die entstehen können.
2
Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung
123
231
132
312
213
321
Die Aufgabe wird nur dann als richtig gewertet, wenn alle möglichen
dreistelligen Zahlen eingetragen wurden (die Reihenfolge der Auflistung
spielt keine Rolle).
→ richtig
Achtung: Hier sind Doppelkodierungen möglich, d.h. es können Fehler des Fehlertyps 1 (F1) und gleichzeitig solche des
Fehlertyps 2 (F2) vorliegen.
Eine der korrekten Zahlen wird mindestens zweimal genannt, dafür fehlt eine andere.
Beispiel: 123, 132, 213, 312, 213, 321
→ F1
Eine dreistellige Zahl, bestehend aus den Ziffern 1, 2 und/oder 3, enthält zwei gleiche Ziffern.
Beispiele: 112, 233
→ F2
andere Falschantworten
Beispiele: vierstellige Zahlen, Zahlen mit anderen Ziffern als 1, 2 und 3
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Annahmen zu den Fehlern:
F1
Am Aufbau der Zahlenfolge lässt sich evtl. erkennen, ob überhaupt planvoll vorgegangen wurde (z.B. von der niedrigsten
zur höchsten Zahl) und an welcher Stelle sich ein Bruch in der Systematik findet.
F2
Es wurde vermutlich nicht erkannt, dass in der dargestellten Situation jede Ziffer nur einmal pro Zahl vorkommen kann.
Das Modell/das Aufgabenformat wurde möglicherweise nicht verstanden.
3
Fähigkeitsniveau
VERA-Fähigkeitsniveau 1 (elementare Fähigkeiten)
Allgemein:
Einfache Aufgaben mit grundlegenden Anforderungen werden hinreichend sicher gelöst.
Arithmetik:
Einfache kombinatorische Aufgaben können gelöst werden (z.B. das Zusammensetzen
von Zahlen aus drei Ziffern).
5
Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik – Aufgabe 3
4
Standardzuordnung (inhaltsbezogene Kompetenzen)
Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben.
Zahlen und Operationen
in Kontexten rechnen
• einfache kombinatorische Aufgaben (z.B. Knobelaufgaben) durch Probieren bzw.
systematisches Vorgehen lösen
Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen
• den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems verstehen
5
Didaktische und methodische Hinweise
Aufgabentyp/Aufgabenformat:
Bilden von Zahlen durch Kombinieren/Kurzantwort
Aufgabenbeschreibung:
Die vorliegende Aufgabenstellung zielt vorwiegend auf kombinatorische Fähigkeiten ab. Es
gilt, alle möglichen dreistelligen Zahlen aus den Ziffern 1, 2 und 3 zu finden, wobei jede
Ziffer nur einmal pro Zahl verwendet werden darf.
Als kombinatorische Problemstellung findet sich die vorliegende Aufgabe im Rahmen der
Zahlenraumerweiterung (Sicherung des Stellenwertverständnisses).
Voraussetzungen:
Grunderfahrungen zu einfachen kombinatorischen Problemstellungen besitzen
Kenntnisse der Stellentafel sind erforderlich, um die Fachbegriffe zu verstehen
Mögliche Lösungswege:
Die Aufgabe kann durch systematisches oder unsystematisches Vorgehen gelöst werden.
Als systematische Herangehensweisen bieten sich an:
Notieren geordneter Zahlenkolonnen, z.B.: 123, 132, 213, 231, 312, 321
Darstellung in Zahlenblöcken, z.B.:
123 213 312
132 231 321
Baumdiagramme
Heranziehen einer Stellentafel/Tabelle
Anregungen für die Unterrichtspraxis:
Es ist wünschenswert, ein systematisches Vorgehen zu vermitteln, z.B. anhand von
Tabellen und Baumdiagrammen.
Beispiele:
mit 4 Ziffernkärtchen sollen alle 3-stelligen (2-stelligen) Zahlen gefunden werden, die
möglich sind
Speiseeis-Kombinationen finden (z.B. aus 5 Sorten 3 Kugeln auswählen)
3 (4, 5) Kinder schütteln sich zur Begrüßung die Hände. Wie viele Handschläge sind es?
Zusammensetzen von Figuren aus 4 Köpfen, 4 Körpern, 4 Beinen
Arbeiten mit Zahlenkombinationen, z.B. mit Zahlenschiebern, Klappbüchern,
Zahlenschlössern, Autokennzeichen oder Telefonnummern
6
1
Aufgabe (Nr. 7)
Wer ist am schwersten? Kreuze an.
Ali
Tim
#
Ali
#
Tim
#
Ute
#
Alle sind gleich schwer.
#
Das kann man nicht bestimmen.
2
Ute
Tim
Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung
„Ute“
→ richtig
„Tim“
und
„Ute“ (beides angekreuzt)
→ F1
„Das kann man nicht bestimmen.“
→ F2
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Annahmen zu den Fehlern:
F1 Die beiden Abbildungen wurden möglicherweise nicht zueinander in Beziehung gesetzt.
F2
3
Es gibt mehrere mögliche Alternativen:
- Die Darstellung wurde möglicherweise nicht verstanden.
- Die beiden Abbildungen wurden möglicherweise nicht zueinander in Beziehung gesetzt.
Vermutlich bestehen Unsicherheiten im Umgang mit Relationen.
Fähigkeitsniveau
VERA-Fähigkeitsniveau 2 (erweiterte Fähigkeiten)
Allgemein:
Aufgaben mittleren Anforderungsniveaus werden hinreichend sicher gelöst.
Sachrechnen:
Die Zuordnung arithmetischer Operationen/Relationen zu Sachsituationen gelingt.
4
Standardzuordnung (inhaltsbezogene Kompetenzen)
Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben.
Größen und Messen
Größenvorstellungen besitzen
• Größen vergleichen, messen und schätzen
7
Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik – Aufgabe 7
5
Didaktische und methodische Hinweise
Aufgabentyp/Aufgabenformat:
bildhafte Darstellung von Gewichtsbeziehungen/Multiple-Choice mit einer richtigen Antwort
Aufgabenbeschreibung:
Zwei bildhafte Darstellungen, die in Zusammenhang stehen, müssen mathematisch interpretiert werden. Die Abbildung ermöglicht über das Balkenwaagen-Modell der Wippe einen
unmittelbaren Vergleich im Größenbereich Gewichte und damit – auch ohne quantitative
Angaben – das Bestimmen von Größenbeziehungen. Die Aufgabe stellt als Bild eine zweistellige transitive Relation dar. Es gilt: Wenn a > b und b > c, dann ist a > c.
Voraussetzungen:
Verständnis des Prinzips Wippe/Waage
Informationen aus bildlichen Darstellungen entnehmen können
Informationen zueinander in Beziehung setzen und Schlüsse daraus ziehen
können
Grunderfahrungen im Modellieren besitzen
über Vorstellungen zu den Relationen „ist schwerer als/leichter als“ verfügen
Mögliche Lösungswege:
Durch die Verknüpfung der beiden Aussagen „Ali ist leichter als Tim (oder auch: Tim ist
schwerer als Ali)“ und „Ute ist schwerer als Tim (oder auch: Tim ist leichter als Ute)“ lassen
sich die Kinder bezüglich ihrer Gewichte in eine Reihenfolge bringen. Das Aufstellen einer
Reihenfolge, d.h. die Verknüpfung beider Relationen, kann auf unterschiedliche Weise erfolgen:
durch intuitives „Sehen“, d.h. Kinder mit ausgeprägtem Vorstellungsvermögen stellen
sich die gleich groß dargestellten Personen „plastisch“ vor
durch quantitative Konkretisierung: Den drei Kindern werden (fiktive) Größenangaben
zugeordnet, z.B.:
Ali
30 kg
Ute
50 kg
Tim
40 kg
Tim
40 kg
durch zeichnerische Konkretisierung in einer Skizze:
Tim
Ali
Ute
Tim
In beiden Darstellungsformen kann auf einen Blick erkannt werden, dass Ute am
schwersten ist.
durch formal-logisches Denken: Um die drei Personen in eine Reihenfolge bringen zu
können, müssen u.U. gleiche, vergleichbare Relationen geschaffen werden; das erfordert reversibles Denken.
Beispiel: Ali ist leichter als Tim
Ute ist schwerer als Tim
daraus folgt: Tim ist leichter als Ute
Reihenfolge: Ali Tim (Tim) Ute
Es entsteht die logische Verknüpfung: „Ali ist leichter als Tim“ und „Tim ist leichter als
Ute“. Daraus kann die richtige Schlussfolgerung gezogen werden.
8
Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik – Aufgabe 7
Anregungen für die Unterrichtspraxis:
Um das Verständnis für die Eigenschaft der Transitivität zu schulen, sollten an der Balkenwaage paarweise Wiegevorgänge von 3 bis 4 Objekten durchgeführt werden. Hierbei sollten
die Kinder möglichst selbständig überlegen, welche und wie viele Wiegevorgänge nötig
sind, um alle Objekte in eine richtige Reihenfolge bringen zu können. Da die Denkwege der
Kinder sehr verschieden sind, sollte eine zu starke Lenkung vermieden werden. Viel wichtiger ist es, eine offene, spielerisch-experimentierende Auseinandersetzung mit logischen
Problemstellungen zu initiieren.
In diesem Zusammenhang ist es notwendig, die Transitivität vor allem in Sachsituationen
mit Relationen aus dem täglichen Sprachgebrauch zu betrachten (a kleiner b, b kleiner c,
also a kleiner c; größer als, schwerer als, leichter als, schneller als, springt weiter als ...).
Weitere Aufgaben nach diesem Muster:
Tim sagt: „Ich bin jünger als Ute, aber älter als Ali.“ Wer ist am ältesten? Und wer ist am
jüngsten?
Ordne sie nach ihrer Größe: Maria ist kleiner als Marko, aber größer als Evi.
Ordne sie nach ihrem Alter: Lisa ist älter als Markus, aber noch nicht so alt wie Niko.
Bildliche Darstellungen auf der Balkenwaage:
a)
Wie schwer ist die Ananas, wenn jeder Apfel 100g wiegt?
b)
Wie schwer ist der Blumenkohl, wenn eine Gurke 200g wiegt?
Wie schwer ist eine Tomate?
c)
?
Was steht anstelle des Fragezeichens?
9
1
Aufgabe (Nr. 11)
Zerlege das Rechteck mit einer geraden Linie in ...
a) zwei Rechtecke
b) ein Dreieck und ein Viereck
(Auf Teilaufgabe a) wird
im Folgenden kein Bezug
genommen.)
c) zwei Dreiecke
2
d) ein Fünfeck und ein Dreieck
Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung
Die Teilaufgaben dieser Aufgabe werden getrennt ausgewertet. Bitte verwenden Sie die folgende Zuordnung:
Diese Teilaufgabe gilt dann als richtig gelöst, wenn eine Linie durch eine Ecke und durch
eine der gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks gezogen wurde.
b)
zusätzlich zur korrekten Gerade eine vertikale Linie eingezeichnet
Beispiele:
→ F1
,
innerhalb der gegebenen Figur eine oder mehrere andere Figuren gezeichnet
Beispiele:
→ richtig
,
→ F2
,
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Annahmen zu den Fehlern:
F1
Die Aufgabenstellung wurde nur teilweise beachtet. Anstatt wie gefordert nur eine Linie zu zeichnen, wurde vermutlich
angenommen, dass für zwei Figuren auch zwei Geraden gezeichnet werden müssen.
F2
Es wurde vermutlich nicht verstanden, dass die Ausgangsfigur zerlegt werden soll. Stattdessen wurde versucht, die
Aufgabe durch das Zeichnen einer oder mehrerer anderer Figuren zu lösen.
Diese Teilaufgabe gilt dann als richtig gelöst, wenn eine Diagonale durch das
vorhandene Rechteck gezogen wurde.
c)
zwei Linien schneiden je eine Ecke zu zwei Dreiecken ab
(es resultiert dazwischen eine weitere Figur, die je nach Aufteilung ein Dreieck, Viereck, Fünfeck oder
Sechseck sein kann)
Beispiele:
,
,
→ F1
,
vier schräge Linien zu zwei Dreiecken gezeichnet
Beispiele:
→ richtig
→ F2
,
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Annahmen zu den Fehlern:
F1
Die Aufgabenstellung wurde nur teilweise beachtet. Anstatt wie gefordert nur eine Linie zu zeichnen, wurde vermutlich
angenommen, dass für zwei Figuren auch zwei Geraden gezeichnet werden müssen.
F2
Innerhalb der Figur wurden zwei Dreiecke gezeichnet, die Aufgabenstellung somit nicht vollständig berücksichtigt.
10
Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik – Aufgabe 11
Diese Teilaufgabe gilt dann als richtig gelöst, wenn eine Linie durch das vorhandene
Rechteck gezogen wurde, welche durch keine Ecke des Rechtecks und nicht durch sich
gegenüberliegende Seiten geht.
d)
F1 wird kodiert, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:
1) diagonale Linie aus einer Ecke zu einer der Seitenlinien (es resultiert also ein Dreieck) oder
ein Dreieck gezeichnet
und
2) ein Fünfeck gezeichnet
Beispiele:
→ richtig
→ F1
,
entfällt
→ F2
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Annahmen zu den Fehlern:
3
F1
Die Aufgabenstellung wurde nicht vollständig berücksichtigt und/oder es bestehen Schwierigkeiten, die Aufgabe
angemessen zu lösen. Evtl. wurde nicht erkannt, dass mit der Abtrennung eines Dreiecks (dieser Teil der
Aufgabenstellung wurde vermutlich beachtet) ein Vieleck entsteht, das je nach Setzen der Linie ein Drei-, Vier- oder
Fünfeck darstellt. Daher wurde eine alternative Strategie (Zeichnen eines Dreiecks und/oder Fünfecks) gewählt.
F2
entfällt
Fähigkeitsniveau
VERA-Fähigkeitsniveau 3 (fortgeschrittene Fähigkeiten)
Allgemein:
Es werden auch anspruchsvollere Aufgaben hinreichend sicher gelöst.
Geometrie:
Das Zerlegen einer Fläche in vorgegebene Figuren gelingt.
4
Standardzuordnung (inhaltsbezogene Kompetenzen)
Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben.
Raum und Form
geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen
• Modelle von Körpern und ebenen Figuren herstellen und untersuchen (Bauen,
Legen, Zerlegen, Zusammenfügen, Ausschneiden, Falten...)
5
Didaktische und methodische Hinweise
Aufgabentyp/Aufgabenformat:
geometrische Problemstellungen zeichnerisch umsetzen/Kurzantwort
Aufgabenbeschreibung:
In dieser Aufgabe geht es um die Zerlegung eines Rechtecks in vorgegebene Teilfiguren
durch Einzeichnen einer Geraden. Das Zerlegen und Zusammensetzen von ebenen Figuren
gehört zu den grundlegenden Operationen in der Geometrie und vertieft das Verständnis für
die Eigenschaften von ebenen Figuren (regelmäßige und unregelmäßige Vielecke).
Voraussetzungen:
über ein entsprechendes räumliches Vorstellungsvermögen verfügen
Vorstellungen von ebenen Figuren und deren Eigenschaften besitzen
Kenntnisse über Dreieck, Viereck, Fünfeck, Rechteck anwenden
ebene Figuren in der Vorstellung zerlegen
11
Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik – Aufgabe 11
Mögliche Lösungswege:
Die Aufgabenstellungen b), c) und vor allem d) dürften für die meisten Kinder ungewöhnlich
sein. Ein Rückgriff auf Handlungserfahrungen ist von daher kaum möglich, Routinelösungen
bieten sich nicht an. Um zu Lösungen zu gelangen, sind Eigenständigkeit und Kreativität
gefordert und vor allem eine Haltung des Suchens und Entdeckens. Ein erster Schritt kann
das Aufzeichnen der geforderten ebenen Figuren unter der Aufgabe als Repräsentanten
sein. Durch Verschiebungen mit dem Stift, durch Vorspuren einer gedachten Linie mit dem
Finger und durch versuchsweises Einzeichnen einer Linie ist ein so genanntes Probehandeln möglich, d.h. die Kinder können durch gedankliches oder (fiktiv) zeichnerisches
Ausprobieren zu richtigen Zerlegungen gelangen.
Bei der Aufgabenstellung c) ist ein Rückgriff auf Symmetrieerfahrungen möglich.
Anregungen für die Unterrichtspraxis:
Durch Falt- und Schneide-Aktivitäten, aber auch durch die Beschäftigung mit Legespielen
wie „Tangram“ erfahren die Kinder, dass sich bestimmte geometrische Formen in andere
Grundformen verwandeln, zerlegen und umlegen bzw. zu verschiedensten Figuren zusammensetzen lassen. Beziehungen zwischen Teilfiguren sowie symmetrische Eigenschaften
werden entdeckt. Gezielte Untersuchungen hierzu (z.B. durch Spannen am Geobrett)
werden an Vielecken durchgeführt. Eine Sicherung der gewonnenen Erkenntnisse (des
Formverständnisses) geschieht durch das Übertragen der Handlungsergebnisse auf die
zeichnerische Ebene und vor allem auch durch das Benennen und Begründen erkannter
Beziehungen zwischen den Formen.
Beispiele:
vielfältigste Faltübungen, dabei immer wieder bewusst die entstandenen Formen bzw.
Teilformen betrachten und benennen lassen
Herstellen von Formen-Puzzles, z.B. Zerschneiden eines Quadrats oder Rechtecks
durch mehrere – zu den Seiten nicht unbedingt parallel verlaufende – Schnitte;
Bestimmen der Teilfiguren; Zusammensetzen der Teile
Untersuchungen am Geobrett, z.B. Spannen verschiedener Vielecke am 4x4-Brett
vorgegebene Teilfiguren zu regelmäßigen Grundformen ergänzen
kopfgeometrische Übungen am Punkte-Raster:
Spanne in Gedanken ein Gummi um E J G B.
Welche Figur erhältst du?
12
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
1
Aufgabe (Nr. 19)
Nimm jeweils zwei Zahlenkarten und berechne die Summe.
Das Ergebnis soll zwischen 700 und 800 liegen.
348
653
405
396
a)
b)
+
2
304
+
Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung
Die beiden Teilaufgaben a) und b) sind gleichwertig zu behandeln.
Es darf nicht die gleiche Aufgabe zweimal eingetragen werden. Als richtig gewertet wird hingegen, wenn Aufgabe und
Tauschaufgabe eingetragen wurden.
Im Folgenden sind die möglichen Lösungen aufgeführt. Die Reihenfolge der Summanden pro Aufgabe ist für die
richtige Lösung unerheblich.
a)
3
4
8
+ 4
0
5
+ 3
7
5
3
7
3
4
8
+ 3
0
4
6
5
2
3
0
3
oder
8
3
0
4
9
6
+ 4
0
5
4
4
7
0
9
4
oder
→ richtig
→ F1
4
+ 3
9
6
7
0
0
→ F2
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Annahmen zu den Fehlern:
b)
F1
Es gibt mehrere mögliche Alternativen:
- Evtl. wurde die Aufgabenstellung des zweiten Satzes überlesen.
- Nach dem Überschlagen einiger Rechnungen sollte das Ergebnis möglichst klein gehalten werden, deshalb wurden
die beiden kleinsten Zahlen addiert.
F2
Vermutlich wurde nicht erkannt, dass 700 nicht zwischen 700 und 800 liegt.
3
4
8
3
4
8
3
0
4
+ 4
0
5
+ 3
9
6
+ 4
0
5
7
5
3
7
4
4
7
0
9
4
0
5
+ 3
9
6
8
0
1
3
0
4
+ 3
9
6
7
0
0
oder
oder
→ richtig
→ F1
→ F2
13
Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik – Aufgabe 19
andere Falschantworten
→ a.F.
nicht bearbeitet
→ n.b.
Annahmen zu den Fehlern:
3
F1
Evtl. wurde nicht verstanden, dass Zahlen über 800 nicht zu dem genannten Zahlenraum gehören und der zweite
Satz interpretiert als: „Das Ergebnis soll mit 7 (bzw. 700) oder 8 (bzw. 800) beginnen.“
F2
Vermutlich wurde nicht erkannt, dass 700 nicht zwischen 700 und 800 liegt.
Fähigkeitsniveau
VERA-Fähigkeitsniveau 2 (erweiterte Fähigkeiten)
Allgemein:
Aufgaben mittleren Anforderungsniveaus werden hinreichend sicher gelöst.
Arithmetik:
Schriftliche Addition gelingt auch mit Überträgen in unüblichen Formaten (z.B.
Lückenaufgaben).
4
Standardzuordnung (inhaltsbezogene Kompetenzen)
Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben.
Zahl und Operationen
Rechenoperationen verstehen und beherrschen
• Lösungen durch Überschlagsrechnungen und durch Anwenden der Umkehroperation kontrollieren
5
Didaktische und methodische Hinweise
Aufgabentyp/Aufgabenformat:
überschlagendes Rechnen, schriftliche Addition im Zahlenraum bis 1000, Orientierung im
Zahlenraum/Kurzantwort
Aufgabenbeschreibung:
Aus einer vorgegebenen Grundmenge sind zwei Zahlenpaare auszuwählen, die nicht nur
schriftlich addiert, sondern deren Summe einer bestimmten Bedingung genügen soll. Dabei
ist eine auf Runden und Überschlagen basierende Lösungsstrategie am effektivsten.
Voraussetzungen:
Beherrschung des Algorithmus der schriftlichen Addition
Orientierung im Zahlenraum bis 1000
Verständnis der Begriffe Summe und zwischen
Mögliche Lösungswege:
Die effektivste Lösungsstrategie ist es, mit Hilfe des Überschlags diejenigen Zahlen zu
ermitteln, die addiert werden können, um dann die Rechnung auszuführen. Mit Hilfe des
Zahlensinns gelingt es, die geeigneten Zahlen herauszufinden.
Anregungen für die Unterrichtspraxis:
Beispielaufgaben sind alle Rechenaufgaben, bei denen der Überschlag eine Rolle spielt.
Beispiele:
überschlagendes Rechnen mit Sachhintergrund
Plausibilität von Lösungen durch Überschlag prüfen
14
Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik – Aufgabe 19
Aus einem vorgegebenen Ziffernvorrat Zahlen für Additions- oder Subtraktionsaufgaben
so bilden, dass die Ergebnisse bestimmte Bedingungen erfüllen, z.B.:
Bilde aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 und 6 zwei dreistellige Zahlen.
• Die Summe soll möglichst klein sein.
• Die Summe soll zwischen 700 und 800 liegen.
• Die Summe soll genau 390 betragen.
• …
Bei einer vorgegebenen Aufgabe durch Überschlag abschätzen, ob das Ergebnis in
einem bestimmten Zahlbereich liegt, z.B.:
Gegeben ist die Aufgabe 214 + 228 + 276 + 220.
• Ist das Ergebnis wohl kleiner als 700?
• Ist das Ergebnis wohl größer als 900?
• Ist das Ergebnis wohl größer als 1000?
Begründe. Rechne dann zur Kontrolle die Aufgabe aus.
mit Zahlenkarten arbeiten, z.B. in Partnerarbeit:
Schüler A erhält die Ziffern
7
3
2
Schüler B erhält die Ziffern
7
3
Beide Schüler dürfen ihre drei Ziffernkarten
vertauscht einsetzen, aber Schüler A darf keine
Karte von B nehmen und umgekehrt.
2
Hieraus lassen sich jetzt diverse Fragestellungen bilden, die alle darauf abzielen, das
Verständnis für Größenvorstellung, Eigenschaften von Zahlen, Überschlag und
Kombinatorik zu erarbeiten (hier eine kleine Auswahl):
• Bildet die Summe, die < 1000, aber > 800 ist? Wie viele gibt es davon?
• Wie viele Summen/Differenzen könnt ihr finden, die gerade/ungerade sind?
• Könnt ihr eine Differenz bilden, die durch 5 teilbar ist? Gibt es mehrere? Warum geht
das?
• Könnt ihr eine Summe bilden mit der Einerziffer 1? Wieso?
Schüler können veranlasst werden, selbst Fragen zu stellen, oder sie erhalten die
Aufgabe, zu einer Gleichung einen passenden Sachtext zu suchen.
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