Analysis I

Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Prof. Dr. Juri Suris
Dr. Stephan Schmitz
Prof. Dr. Armin Leutbecher
Analysis I
WS 06/07
Blatt 3
Analysis I
für Mathematik und Informatik
Zentralübungen (6. 11.)
Z6. (Wohlordnungseigenschaft von N0 )
Begründen Sie über die Peano-Axiome die folgende Aussage:
(W)
Jede nichtleere Teilmenge X von N0 besitzt ein kleinstes Element.
Bemerkung: Die Wohlordnungseigenschaft von N0 überträgt sich auf Z in der Form: Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge X von Z besitzt ein kleinstes Element.
Z7. (Gekürzte Bruchdarstellung)
a) Unter den Bruchdarstellungen einer rationalen Zahl x = p/q mit Zähler p ∈ Z und Nenner
q ∈ N ist diejenige mit minimalem Nenner q > 0 eindeutig bestimmt.
(Beweis?)
b) Zeigen Sie: Ein Bruch m/n mit Zähler m ∈ Z und Nenner n ∈ N ist dann und nur dann
gekürzt, wenn gilt mZ + nZ = Z.
Z8. (Beschränkte Folgen und Nullfolgen)
Eine Folge bn n≥0 mit Gliedern bn in einem archimedisch angeordneten Körper K heißt
beschränkt, falls eine Schranke M > 0 in K existiert derart, dass gilt
|bn | ≤ M
für alle
n ∈ N0 .
Eine Folge an n≥0 in K heißt Nullfolge, falls zu jedem (rationalen) ε > 0 ein Index n0 ∈ N
existiert derart, dass gilt
|an | < ε für alle n ≥ n0 .
Zeigen Sie der Reihe nach
a) Jede Nullfolge ist beschränkt.
b) Die Folge x/n n≥1 ist für jedes x ∈ K eine Nullfolge.
c) Die Folge q n n≥0 ist genau dann eine Nullfolge, wenn gilt |q| < 1 .
Tutorübungen (6. 11. – 8. 11.)
T7. (Die Mengen N0 und Q sind gleichmächtig)
Zeigen Sie,
dass eine bijektive
Abbildung N0 → Q existiert. Es genügt dazu eine Bijektion
β : N0 → x ∈ Q ; 0 < x < 1 anzugeben. Eine bijektive Abbildung β dieser Art kann man mit
der gekürzten Bruchdarstellung konstruieren.
T8. (Beispiele von Folgen)
Untersuchen Sie die die nachstehenden Folgen in Q daraufhin, ob sie Nullfolgen oder ob sie
wenigstens beschränkte Folgen sind:
(−1)n ,
n
,
3n + 2
n2
1
,
+1
n!
.
nn
T9. (Eigenschaften von Folgen)
a) Mit je zwei beschränkten Folgen an n≥0 und bn n≥0 sind auch ihre Summe an + bn n≥0
und ihr Produkt an · bn n≥0 beschränkte Folgen.
b) Sind an n≥0 und bn n≥0 Nullfolgen, so ist auch ihre Summe eine Nullfolge.
c) Ist an n≥0 eine Nullfolge und ist bn n≥0 eine beschränkte Folge, so ist stets ihr Produkt
an · bn n≥0 eine Nullfolge.
Hausaufgaben (Abgabe bis Montag, den 13. 11. um 8.30 h.)
H7. Beweisen Sie für positive reelle Zahlen a, b die Ungleichungen zwischen dem harmonischen, dem
geometrischen und dem arithmetischen Mittel:
1
a
2
+
1
b
≤
√
ab ≤
a+b
.
2
Bemerkung. Man kann und sollte die beiden Ungleichungen zunächst so umschreiben, dass die
bisher nicht diskutierte Wurzelfunktion gar nicht auftritt.
H8. (Eine spezielle Intervallschachtelung)
Es seien b0 > a0 > 0 gegebene reelle Zahlen. Für alle n ∈ N0 wird rekursiv definiert
an+1 =
2an bn
an + bn
und bn+1 =
an + bn
.
2
Zeigen Sie der Reihe nach
a) an < an+1 ,
1
2n
bn+1 < bn , an < bn für alle
b0 − a0
für alle n ∈ N0 .
n ∈ N0 .
b) bn − an ≤
√
c) an <
a0 b0 < bn für alle n ∈ N0 unter Benutzung der Quadratwurzelfunktion für
positive Argumente. (Tipp: an bn = a0 b0 .)
H9. Zur gegebenen reellen Folge an n≥1 wird die Folge ihrer arithmetischen Mittel erklärt durch
bn =
a1 + a2 + . . . + an
,
n
n ∈ N.
a) Zeigen Sie, dass (bn ) beschränkt ist, sobald (an ) beschränkt ist und dass (bn ) eine Nullfolge
ist, sobald (an ) eine Nullfolge ist.
b) Geben Sie eine Nichtnullfolge an n≥1 an, deren Folge bn n≥1 arithmetischer Mittel eine
Nullfolge ist.
Hinweise zu den Hausaufgaben: Die Hausaufgaben dürfen und sollen in Gruppen bis zu drei
Personen abgegeben werden. Letztmöglicher Abgabetermin ist 8:30 Uhr am Montag nach der Woche zur Bearbeitung des Übungsblattes. Die Abgabe erfolgt durch Einwurf in einen der entsprechend
gekennzeichneten Briefkästen im Keller des Gebäudes für Mathematik und Informatik (hinter den
Schließfächern). Auf den Hausaufgaben sind die Namen und Matrikelnummern der Bearbeiter anzugeben, ferner die Nummer der Tutorgruppe deutlich lesbar auf der ersten Seite. Mehrblättrige Lösungen
bitte zusammenheften.
Für jede Hausaufgabe werden maximal 10 Punkte vergeben. Beachten Sie, dass zu einer vollständigen
Lösung unter anderem die Erläuterung (wenigstens in Stichworten) und nachvollziehbare Darstellung
des Lösungsweges gehören. Rechnungen allein sind nicht ausreichend.
Voraussetzung für den Erwerb eines Übungsscheines ist das Bestehen der Semestralklausur.
Die Zulassung zur Semestralklausur erhält, wer mindestens 40 % der Punkte aus den Hausaufgaben
erreicht und mindestens einmal in seiner/ihrer Tutorgruppe vorgerechnet hat.