Rechnen mit Variablen

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Rechnen mit Variablen
In diesem Abschnitt werden die Themen angesprochen, die man
früher mit dem Begriff „Algebra“, d. h. das Rechnen mit Variablen, bezeichnet hat.
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Äquivalenzumformungen von Termen
Eine wichtige Vorübung, besonders für die Infinitesimalrechnung und für das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen,
stellen die Äquivalenzumformungen von Termen dar, mit deren
Hilfe Terme auf eine gewünschte Form gebracht werden können.
Term
Ein Term ist eine sinnvolle Zusammenstellung von Zahlen,
Variablen, Rechenzeichen, Klammern usw. Terme ohne
Variable stellen einen bestimmten Zahlenwert dar.
Enthält ein Term eine Variable, so erhält er erst dann einen
Wert, wenn für diese Variable Zahlen aus einer Grundmenge G
eingesetzt werden.
Treten in einem Term mehrere verschiedene Variablen auf, so
müssen so viele Grundmengen angegeben sein wie unterschiedliche Variablen. Tritt eine Variable mehrmals auf, so muss für
sie immer dieselbe Zahl eingesetzt werden.
T(x | y) = x · (y – 1) – x2; G1 = {2, 3, 4}, G2 = {–1; 1}
T(4 | –1) = 4 · (–1 – 1) – 42 = 4 · (–2) – 42 = – 8 – 16 = –24
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Äquivalente Terme
Zwei Terme T1 und T2 heißen äquivalent, wenn sie bei jeder
Belegung ihrer Variablen jeweils den gleichen Wert besitzen.
Man schreibt: T1 = T2.
T2(x) = (x – 1)2
G1 = G2 = {–3, 1, 4}
T1(x) = x2 – 2x + 1
T1(–3) = 9 + 6 + 1 = 16 T2(–3) = (–3 – 1)2 = (– 4)2 = 16
T2(1) = (1 – 1)2 = 0
T1(1) = 1 – 2 + 1 = 0
T1(4) = 16 – 8 + 1 = 9 T2(4) = (4 – 1)2 = 32 = 9
⇒ T1 und T2 sind äquivalent, d. h. T1(x) = T2(x).
Es gilt folgende Regel: Formt man einen Term mithilfe der gültigen Rechengesetze um, so geht er in einen äquivalenten Term
über. Durch Äquivalenzumformung kann man einen Term im
Allgemeinen vereinfachen.
Vereinfachung von Summen und Produkten
• Umformungen mithilfe der Klammerregeln, des Kommutativ-, des Assoziativ- und des Distributivgesetzes sind
Äquivalenzumformungen.
• Summen kann man vereinfachen, wenn man gleichartige
Summanden zusammenfasst. Produkte kann man vereinfachen, wenn man Potenzen mit gleicher Basis zusammenfasst.
• Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die
Klammer weggelassen werden. Steht vor einer Klammer
ein Minuszeichen, so müssen die Vorzeichen aller Glieder in der Klammer umgedreht werden.