A 3-7 Lineare Gleichungssysteme

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Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7:
LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN
Thema
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Sehr oft treten in der Mathematik und im Alltag Situationen auf, wo nicht nur
eine Bedingung, sondern zwei, drei oder noch mehr Bedingungen gleichzeitig
erfüllt werden müssen. Als Beispiel sei hier folgende leichte Aufgabe gegeben:
geg
Beispiel: Die Summe zweier Zahlen sei 9, deren Differenz 1. Wie lauten die beibe
den Zahlen?
Lösungsansatz:
Wir legen zunächst die Variablen fest:
1.Zahl..........x
2.Zahl..........y
Die erste Bedingung lautet,
lautet, dass die Summe der beiden Zahlen 9 sein
soll. Wir erhalten die Gleichung x + y = 9
Die zweite Bedingung lautet, dass die Differenz der beiden Zahlen 1 sein
soll. Wir erhalten x - y = 1
Mathematisch schreiben wir dies derart an:
I:
x+y=9
II:
x-y=1
Was wir also suchen, ist ein Zahlenpaar (x/y), so dass beide GleichunGleichu
gen erfüllt werden.
Wie man hier die Lösung berechnet, damit wollen wir uns nun beschäftigen.
Wir lernen dazu drei verschiedene Verfahren:
A) GLEICHSETZUNGSVERFAHREN
Beispiel:l: Löse mittels des Gleichsetzungsverfahren für G = R × R folgendes Gleichungssystem:
I : 4 x + 2y = 24
II : − 7 x + y = −33
Lösung:
Die Angabe der Grundmenge: G = R × R bedeutet: Das erste R bezieht
sich auf die Variable x (x darf also irgendeine
irgendeine reelle Zahl sein), das zweizwe
1
te R bezieht sich auf die Variable y (y darf also irgendeine reelle Zahl
sein).
1. Schritt: Forme jede Gleichung für sich nach einer Variablen um. Es sollen also beide Gleichungen in die Form „x=“ oder „y=“ umgeformt werden.
Wir formen die erste Gleichung nach y um:
I :4 x + 2y = 24 / − 4 x
2y = 24 − 4 x /:2
y = 12 − 2 x
Nun formen wir die zweite Gleichung nach y um:
II : − 7 x + y = −33 / + 7 x
y = 7 x − 33
Wir erhalten also folgendes Zwischenergebnis für unsere beiden Gleichungen:
I : y = 12 − 2 x
II : y = 7 x − 33
2. Schritt: Setze die beiden rechten Seiten gleich.
Die erste Gleichung sagt ja aus, dass y dasselbe wie 12 - 2x ist. Andererseits sagt die zweite Gleichung, dass y auch dasselbe wie 7x - 33 ist.
Folglich muss 12-2x dasselbe wie 7x-33 sein. Wir erhalten also:
12 − 2 x = 7 x − 33
Nun haben wir eine Gleichung mit einer Variablen, die wir lösen können.
3. Schritt: Löse die Gleichung:
12 − 2 x = 7 x − 33 / − 7 x
12 − 9 x = −33 / − 12
− 9 x = −45 /:(−9)
x=5
4. Schritt: Setze die berechnete Variable in eine beliebige Gleichung
oberhalb und berechne die zweite Variable.
Ich nehme die erste Gleichung, welche lautet: y = 12 − 2 x
Wir setzen für x=5 ein und berechnen y: y = 12 − 2 ⋅ 5 = 2
5. Schritt: Lösungsmenge angeben in der Form L = {(x / y )}.
Bei uns lautet die Lösungsmenge: L = {(5 / 2)}
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B) EINSETZUNGSVERFAHREN
Beispiel: Wir lösen dieselbe Aufgabe nun nach diesem Verfahren. Das Gleichungssystem lautet:
I : 4 x + 2y = 24
II : − 7 x + y = −33
Lösung:
1. Schritt: Forme eine der beiden Gleichungen nach x oder y um.
Wir formen die zweite Gleichung nach y um:
II : − 7 x + y = −33 / + 7 x
y = 7 x − 33
2. Schritt: Ersetze in der in Schritt 1 nicht verwendeten Gleichung die explizit ausgedrückte Variable durch den erhaltenen Term.
Wir haben die Gleichung II zum Umformen nach y verwendet, also ersetzen wir nun in der Gleichung I das y durch 7x - 33.
Die Gleichung I lautet: 4 x + 2y = 24
Nun ersetzen wir y durch 7x - 33
4 x + 2(7 x − 33 ) = 24
3. Schritt: Löse die Gleichung:
4 x + 2(7 x − 33 ) = 24 / Klammer ausmultiplizieren
4 x + 14 x − 66 = 24 / LinkeSeite zusammenfa ssen
18 x − 66 = 24 / + 66
18 x = 90 /:18
x =5
4. Schritt: Setze die berechnete Variable in eine beliebige Gleichung
oberhalb und berechne die zweite Variable.
Ich setze in die zweite Gleichung ein, welche umgeformt lautet:
y = 7 x − 33
Wir setzen für x ein und berechnen y: y = 7 ⋅ 5 − 33 = 2
5. Schritt: Lösungsmenge angeben in der Form L = {(x / y )}.
Bei uns lautet die Lösungsmenge: L = {(5 / 2)}
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C)ELIMINATIONSVERFAHREN
Beispiel: Wir lösen dieselbe Aufgabe nun nach diesem Verfahren. Das Gleichungssystem lautet:
I : 4 x + 2y = 24
II : − 7 x + y = −33
Lösung:
1. Schritt: Multipliziere die Gleichungen so, dass eine der beiden Variablen in den beiden Gleichungen mit Koeffizienten mit gleichem Betrag
aber umgekehrten Vorzeichen vorkommt.
Wir wollen dies bei unserem Gleichungssystem mit der Variable y verwirklichen. In der ersten Gleichung hat y den Koeffizienten +2, in der
Zweiten +1. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 1 und 2 ist 2. Wir
müssen also die Gleichungen so multiplizieren, dass bei beiden Gleichungen vor dem y 2 steht. Nun müssen wir noch dafür sorgen, dass die
beiden Koeffizienten ein umgekehrtes Vorzeichen haben. Das heißt wir
multiplizieren die 2. Gleichung mit -2, die 1. Gleichung bleibt.
Wir erhalten:
I : 4 x + 2y = 24
II : − 7 x + y = −33 /⋅ (− 2)
I : 4 x + 2y = 24
II : 14 x − 2y = 66
2. Schritt: Nun addieren wir die beiden Zeilen:
I : 4 x + 2y = 24
II : 14 x − 2y = 66
18 x = 90
+
3. Schritt: Die erhaltene Gleichung lösen:
18 x = 90 /:18
x =5
4. Schritt: Setze die berechnete Variable in eine beliebige Gleichung
oberhalb und berechne die zweite Variable.
Ich nehme die erste Gleichung her, welche lautet: 4 x + 2y = 24
Wir setzen für x=5 ein und berechnen y:
20 + 2y = 24 / − 20
2y = 4 /:2
y =2
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5. Schritt: Lösungsmenge angeben in der Form L = {(x / y )}.
Bei uns lautet die Lösungsmenge: L = {(5 / 2)}
Damit das Ganze klar wird noch ein Beispiel:
Beispiel:
I : 3 x + 2y = 7
II : 2 x + 5 y = 12
Lösung:
Wir lösen wieder mit dem Eliminationsverfahren. Ich will bei x dieselben
Koeffizienten mit umgekehrten Vorzeichen haben. Folglich multipliziere
ich die erste Gleichung mit 2, die zweite Gleichung mit -3.
I : 3 x + 2 y = 7 /⋅ 2
II : 2 x + 5 y = 12 /⋅ (− 3 )
I : 6 x + 4 y = 14
Wir addieren die beiden Zeilen
II : − 6 x − 15 y = −36
− 11y = −22
y =2
Wir lösen die Gleichung /: (− 11)
Zum Berechnen von x setze ich den bekannten y-Wert in die 1. Gleichung ein:
3x + 4 = 7 / − 4
3 x = 3 /: 3
x =1
Die Lösung lautet also: L = {(1/ 2)}
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D)Graphische Lösung
Wir lösen nochmals das Beispiel:
I : 3 x + 2y = 7
II : 2 x + 5 y = 12
Wir geben beide Gleichungen nacheinander in GeoGebra ein, schneiden
die beiden Geraden und erhalten den Schnittpunkt A
Dieses Verfahren ist bei allen Gelchungssystemen anwendbar, nicht nur bei
linearen Funktionen.
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SPEZIALFÄLLE
Auch beim Lösen von Gleichungssystemen können wieder spezielle Lösungen
auftreten. Sehen wir uns die beiden Fälle an einem Beispiel an:
Beispiel: Löse für G = R × R :
I : 4 x + 2y = 3
II :2 x + y = 1,5
Lösung:
Ich löse nach dem Eliminationsverfahren:
I : 4 x + 2y = 3
II : 2 x + y = 1,5 /⋅ (− 2)
I : 4 x + 2y = 3
II : −4 x − 2y = −3
+
0 =0
Dies ist eine wahre Aussage, folglich ist die gesamte Grundmenge auch
Lösungsmenge: L = G . Dies bedeutet, dass es zu jedem x ein y gibt, so
dass die beiden Werte beide Gleichungen erfüllen.
Beispiel: Löse für G = R × R
I : 4 x + 2y = 3
II : 2 x + y = 2
Lösung:
Ich löse wieder nach dem Eliminationsverfahren:
I : 4 x + 2y = 3
II : 2 x + y = 2 /⋅ (− 2)
I : 4 x + 2y = 3
II : − 4 x − 2y = −4
0 = −1
+
Dies ist eine falsche Aussage, folglich gibt es kein Zahlenpaar (x/y), welches beide Gleichungen erfüllt. Die Lösungsmenge ist daher eine leere
Menge: L = { }
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