Aufgaben zu Inhalten der 6. Klasse Universität Klagenfurt, Institut für

Aufgaben
zu Inhalten der 6. Klasse
Universität Klagenfurt,
Institut für Didaktik der Mathematik (AECC-M)
November 2010
Aufgaben vom Typ 1
Potenzen und Wurzeln
Die folgende Tabelle enthält in jeder Zeile jeweils dieselbe Zahl in zwei verschiedenen
Darstellungen.
Aufgabenstellung:
Vervollständigen Sie die Tabelle!
Darstellung in
Potenzschreibweise
Darstellung in
Wurzelschreibweise
1
3
32
3
2
a5
 1
b 4
6
Ungleichung
Gegeben ist die Ungleichung x – 1 < 2x + 2.
Aufgabenstellung:
Lösen Sie die Ungleichung und stellen Sie die Lösungsmenge auf einer Zahlengeraden dar!
Umformen
Die Anzahl N bestimmter Bakterien entwickelt sich im Laufe der Zeit t gemäß der Formel:
Aufgabenstellung:
Drücken Sie die Variable t aus der gegebenen Gleichung aus!
t=
Logarithmus
Gegeben ist die Gleichung
0.
Aufgabenstellung:
Für welches x ist die Gleichung erfüllt?
x=
Normalvektor
Gegeben sind die Punkte P(2/1/4) und Q(3/0/2).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die fehlende Koordinate des Vektors
dass
ein Normalvektor von
ist!
so,
Geraden
Gegeben sind die Punkte A(2/1/1), B(4/3/0) und C(8/y/z).
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten des Punktes C so, dass alle drei Punkte A, B und C
auf einer Geraden liegen!
y=
z=
Rollende Kugel
Eine Kugel mit dem Radius r = 2 cm rollt (auf der xy-Ebene) längs einer Geraden, die durch die
beiden Punkte A(5/1/0) und B(1/13/0) bestimmt ist (Längeneinheiten in cm).
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Gleichung jener Geraden an, längs der sich der Mittelpunkt der Kugel bewegt!
Normalvektor und Gerade
Gegeben ist ein Vektor im
R3 :
 1 
 
 4 
  3
 
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, auf die dieser Vektor normal steht!
Punkte auf einer Geraden
Gegeben sind die drei Punkte A (1 | 0 | 2), B(5 | –2 | 4) und C(7 | –3 | 5).
Aufgabenstellung:
Überprüfen Sie, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen!
Dreieck
Gegeben ist das Dreieck ABC.
A (4|–1|3), B (2|3|0), C (5|6|2)
Aufgabenstellungen:
Weisen Sie einen rechten Winkel nach!
Berechnen Sie die Länge einer Seite!
Monotonie und Extrema
Gegeben ist der Graph einer Funktion:
f(x)
5
4
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
Aufgabenstellungen:
Beschreiben Sie das Monotonieverhalten im dargestellten Bereich!
Geben Sie alle lokalen und globalen Extrema im Intervall [–8; 8] an!
6
7 x
Eigenschaften einer Funktion
Gegeben sind verschiedene Eigenschaften E1, E2, E3 und E4 für eine Funktion f.
Aufgabenstellung:
Für welchen Funktionstyp gelten welche Eigenschaften? Kreuzen Sie Zutreffendes an!
Lineare Funktion
f ( x)  a  x  b
a, b  R
Exponentialfunktion
f ( x)  a  b x
a  R, b  R 
weder
noch
E1:
f ( x  1)  f ( x)  a
○
○
○
E2:
f ( x  1)  a  f ( x)
○
○
○
E3:
f ( x  1)  f ( x)  b
○
○
○
E4:
f ( x  1)  b  f ( x)
○
○
○
Holzbestand
Ein Waldbesitzer entnimmt seinen Aufzeichnungen, dass der Holzbestand in seiner Waldparzelle
innerhalb der letzten 10 Jahre von ursprünglich 200.000 fm auf 250.000 fm zugenommen hat.
Die Forstbehörde nimmt eine lineare Zunahme für die nächsten 10 Jahre an. Er selbst meint, dass
eine exponentielle Modellierung angemessener wäre.
Hinweis : fm („Festmeter“) ist die in der Forstwirtschaft gebräuchliche
Bezeichnung für m³.
Aufgabenstellungen:
Berechnen Sie, um wie viel sich die beiden Prognosewerte unterscheiden!
Welche Modellierung würden Sie wählen? – Begründen Sie Ihre Entscheidung!
Funktion: Graph und Term
Gegeben ist der Graph einer Funktion f vom Typ f ( x)  a  x 2  b mit den Parametern a, b  R .
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Parameter a und b!
a=
b=
Funktionstyp
Gegeben ist der Graph einer Funktion f.
Aufgabenstellung:
Welcher Funktionstyp liegt vor? Kreuzen Sie an!
f ( x)  a  x 3  b
○
f ( x)  a  x 2  b
○
f ( x)  a  x 1  b
○
f ( x)  a  x 2  b
○
f ( x)  a  x 3  b
○
Eine passt nicht
Im Folgenden sehen Sie verschiedene Beschreibungen derselben Funktion – doch eine davon passt
nicht zu den übrigen.
1
x
3
2
1
0
1
2
3
f(x)
0,11111
0,25
1
undef.
1
0,25
0,11111
2
3
x
 100
 10
1
0
1
10
100
f(x)
 0,0001
 0,01
1
undef.
1
0,01
0,0001
4
5
f (x)  1
x2
6
Jeder reellen Zahl x wird
der Kehrwert ihres Quadrats
zugeordnet.
Aufgabenstellung:
Welche Beschreibung passt nicht zu den übrigen?
Jeder reellen Zahl x wird
das Quadrat ihres Kehrwerts
zugeordnet.
Zerfall
Von einer radioaktiven Substanz zerfallen 1% dieser Substanz pro Zeiteinheit.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Halbwertszeit der Substanz!
Hinweis: Die „Halbwertszeit“ gibt an, wie lange es dauert, bis nur mehr die Hälfte
der Ausgangssubstanz vorhanden ist.
Temperatur
In einem Labor wird zwischen 8:00 Uhr und 14:00 Uhr ein Experiment durchgeführt. Im Zuge
dieses Experiments wird die Temperatur beginnend bei 10° Celsius so erhöht, dass sie pro Stunde
um 4% steigt.
(t) gibt die Temperatur zum Zeitpunkt t an, wobei die Zeit in Stunden (gerechnet ab 8:00 Uhr)
angegeben wird.
Aufgabenstellungen:
a) Stellen Sie die Funktion  im gegebenen Zeitintervall in der Form (t) = a∙bt dar!
(t) =
b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion im gegebenen Zeitintervall!
(t)
t
Bakterienwachstum
Unter optimalen Bedingungen verdoppelt sich die Anzahl der Kolibakterien (Escherichia coli) alle
zwanzig Minuten. Zu Beginn eines Experimentes werden in einer Bakterienkultur 100 Bakterien
gezählt.
Aufgabenstellung:
Wie viele Bakterien gibt es unter optimalen Bedingungen nach einer bzw. nach zwei Stunden?
Kontext-Info: Bakterien können tatsächlich einzeln ausgezählt werden. Die Anmerkung „unter
optimalen Bedingungen“ ist notwendig, da die Bakterienkultur nur in der so genannten „logPhase“ exponentiell wächst.
[Quelle http://www.mallig.eduvinet.de/bio/Repetito/Bbgenet.html#7]
Winkelfunktion – Graph?
Gegeben ist die Funktion f: ℝ  ℝ:
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion im dargestellten Koordinatensystem ein!
y
2
1
0
-1
-2
-3

6

x
Finden einer Funktionsgleichung
Gegeben ist der Graph einer Funktion.
y
1
0
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
7
-1
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie an, welche der gegebenen Funktionsgleichungen zum skizzierten Funktionsgraphen
passt!
○
f(x) = – sin(x)
○
f(x) = – sin(x–1)
○
f(x) = sin(x+1)
○
f(x) = cos(x)
Winkelfunktion – Parameter?
Im Folgenden sehen Sie den Graphen einer Sinusfunktion mit f(x) = a  sin (b  x + c).
Sie hat eine Nullstelle bei x =   .
4
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Werte der Parameter a, b und c für die dargestellte Funktion an!
a=
b=
c=
Differenzenquotient
Gegeben sei eine reelle Funktion f, die im Intervall [a; b] nicht monoton ist.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie einen entsprechenden Graphen für a = – 4 und b = 8,
in dem der Differenzenquotient
negativ ist!
f(x)
x
Geschwindigkeit
v(t) gibt die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t an.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffenden Interpretationen des Ausdrucks
an!
trifft
zu
Der Ausdruck gibt an, um wie viel sich die Geschwindigkeit im
Intervall [t1; t2] ändert.
Der Ausdruck gibt die durchschnittliche Beschleunigung zwischen
den Zeitpunkten t1 und t2 an.
Der Ausdruck gibt an, um wie viel sich die Geschwindigkeit im
Mittel im Intervall [t1; t2] ändert.
trifft
nicht zu
Test
Sieben Schüler absolvieren einen Test. Das arithmetische Mittel, über alle von den Schülern
erreichten Punktwerte, ist 11. Ein achter Schüler, welcher während der ersten Testung krank war,
schreibt den Test nach. Nimmt man den von ihm erreichten Punktwert dazu, erhöht sich das
arithmetische Mittel über alle acht Punktwerte auf 12.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, wie viele Punkte der neue Schüler im Test erreicht hat!
Erdölprodukte
In den beiden Liniendiagrammen ist der selbe Datensatz
dargestellt, die optische Wirkung ist aber sehr
unterschiedlich.
Verbrauch an Erdölprodukten in
Österreich
13
Verbrauch an Erdölprodukten in Österreich
12
12
8
6
Mill. t
Mill. t
10
4
2
0
1980
1985
1990
1995
2000
2005
11
2010
10
9
1980
1990
2000
2010
Aufgabenstellung:
Welche Merkmale der linken Grafik wurden wie verändert, um die rechte Grafik zu erzeugen?
Aufgaben vom Typ 2
(Wahlaufgaben)
(Wahlaufgabe)
Druck
Im Laufe eines 8-minütigen Experiments verändert sich der Druck in einem mit Gas gefüllten
Behälter. Die Funktion f mit p = f(t) ordnet der seit Beginn des Experiments vergangenen Zeit t (in
Minuten) den im Behälter gegebenen Druck p (in bar) zu.
Man weiß: Am Beginn beträgt der Druck 2 bar, innerhalb der ersten beiden Minuten beträgt die
mittlere Änderungsrate des Drucks 3 bar. Der Änderungsfaktor1 des Drucks bezogen auf das
Zeitintervall [2; 3] ist 0,5. Der Zeitpunkt t = 5 ist eine lokale Maximumstelle der Funktion f. Im
Zeitraum zwischen dem Beginn der vierten und dem Ende der siebten Minute ist die Funktion f
weder durchgehend monoton steigend, noch monoton fallend. Am Ende des Experiments beträgt
der Druck 4 bar.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie im abgebildeten Koordinatensystem den möglichen Verlauf des Grafen der
Funktion f ! Nehmen Sie insbesondere eine angemessene Beschriftung der Achsen vor!
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Der Änderungsfaktor gibt an, mit welchen Wert f(x) multipliziert werden muss, um f(x+1) zu erhalten.
(Wahlaufgabe)
Fremdenverkehrs-Nächtigungen
Die Grafik zeigt die Entwicklung der Nächtigungen in Österreichs Fremdenverkehr in den Jahren
1995 bis 2008:
Fremdenverkehr Österreichs
130
Nächtigungen in Millionen
125
120
y = 0,9011x - 1687
115
110
105
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
2008
Aufgabenstellungen:
a) Der Trend der Entwicklung wird von einer Funktion (Graph und Gleichung im Diagramm)
beschrieben. Mit welcher Funktion wird hier modelliert? – Welche Annahme liegt dieser
Modellierung zugrunde?
b) Das Softwareprogramm EXCEL verwendet alle Daten zur Berechnung des Trends. Das
Ergebnis passt optisch nicht besonders gut, weil die ersten beiden „Ausreißer“-Punkte die
Gerade links „hinaufziehen“.
Wenn man nur die Daten ab 1997 verwendet, müsste die Trendgerade steiler ausfallen.
Zeichnen Sie eine Gerade „nach Gefühl“ ein, die den Trend der Entwicklung ab 1997 zeigt!
Ermitteln Sie für diese Trendgerade nach Gefühl den Anstieg!
c) Berechnen Sie für beide Trendfunktionen jeweils den Prognosewert für das Jahr 2015!
(Wahlaufgabe)
Trainingslager
Ein Sportler absolviert einen Trainingslehrgang. Vor bzw. nach dem Lehrgang führt er je 8-mal
einen bestimmten Schnelligkeitstest durch. Die Testergebnisse liegen in Form von Punkten vor, je
höher die Punktezahl, desto besser ist die erbrachte Leistung einzuschätzen.
Ergebnisse der Leistungsfeststellungen vor dem Lehrgang
Ergebnisse der Leistungsfeststellungen nach dem Lehrgang
65
80
73
92
70
54
62
64
78
74
79
73
74
70
77
75
Aufgabenstellungen:
a) Inwieweit unterscheiden sich die vor bzw. nach dem Trainingslehrgang gemessenen
Leistungen des Sportlers im Schnelligkeitstest? Argumentieren Sie auf Basis statistischer
Kennzahlen, wie z.B. Mittelwert, Streuungsmaße, Median oder Perzentile!
b) Kann aufgrund des vorliegenden Datenmaterials gefolgert werden, dass der Trainingslehrgang einen Einfluss auf die Leistung des Sportlers im betreffenden Schnelligkeitstest
hatte? Begründen Sie Ihre Antwort!