Aufgabenstellungen zu Kapitel 6. Technologie
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ONLINE Material zu Mathematikunterricht mit Technologie Aufgabenstellungen zu Kapitel 6. Technologie bei der zentralen Reifeprüfung und auf dem Weg zur Prüfung Aufgabe 6.1: Monotonie (Aufgabe 2 der Probeklausur 2013) (Kapitel 6.1.1, Seite 121) Gegeben ist die reelle Funktion f mit f(x) = x2 – 2x + 3 Aufgabenstellung: Kreuzen sie je eine der gegebenen Möglichkeiten so an, dass eine korrekte Aussage entsteht! Die Funktion f ist im Intervall [2; 3] _____1____ , weil ____2______ . 1 2 streng monoton fallend für alle x [2; 3] f‘‘(x) > 0 gilt konstant für alle x [2; 3] f‘(x) > 0 gilt streng monoton steigend es ein x [2; 3] f‘(x) = 0 gibt Aufgabe 6.2: Halbwertszeit (Aufgabe 3 der Probeklausur 2013) (Kapitel 6.1.1, Seite 122) Halbwertszeit von Felbamat Zur Behandlung von Epilepsie wird oft der Arzneistoff Felbamat eingesetzt. Nach der Einnahme einer Ausgangsdosis D0 nimmt die Konzentration D von Felbamat im Körper näherungsweise exponentiell mit der Zeit ab. Für D gilt folgender funktionaler Zusammenhang: D(t) D0 0,9659t . Dabei wird die Zeit t in Stunden gemessen. Aufgabe 6.3: Lagebeziehung zweier Geraden (Aufgabe 4 der Probeklausur 2013) (Kapitel 6.1.1, Seite 123) 1 1 Gegeben sind die Geraden g: X s und h: x 2 y 1 1 2 Aufgabenstellung: Ergänze die folgende Aussage so, dass sie die Lagebeziehung der beiden Geraden g und h korrekt begründet! Die Geraden g und h _____1____ , weil ____2______ . 1 2 sind parallel sind ident stehen normal aufeinander © VERITAS-Verlag, Linz http://mathe-mit-technologie.veritas.at der Richtungsvektor von g zum Normalvektor von h parallel ist die Richtungsvektoren der beiden Geraden g und h parallel sind der Punkt P = (1|1) auf beiden Geraden g und h liegt Helmut Heugl 1 ONLINE Material zu Mathematikunterricht mit Technologie Aufgabe 6.4: Wirkstoffe im Körper(Kapitel 6.1.1, Seite 124) (Quelle: Typ-1- und Typ-2-Übungsaufgaben (Jänner 2013) https://www.bifie.at/node/2048 ) Ein Patient, der an Bluthochdruck leidet, muss auf ärztliche Empfehlung ab sofort täglich am Morgen eine Tablette mit Wirkstoffgehalt 100 mg zur Therapie einnehmen. Der Körper scheidet im Laufe eines Tages 80% des Wirkstoffs wieder aus. Die Wirkstoffmenge Wn im Körper des Patienten nach n Tagen kann daher (rekursiv) aus der Menge des Vortags Wn-1 nach folgender Beziehung bestimmt werden: Wn 0,2 Wn1 100, W0 100 (Wi in mg) In welcher Weise wird sich die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten langfristig entwickeln? Aufgabenstellung: Die beiden Textfelder sind so zu ergänzen, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Kreuzen Sie dazu in der ersten und der zweiten Spalte jeweils die passende Aussage an! Die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten wird langfristig _____1____ , weil ____2______ . 1 2 unbeschränkt wachsen der Körper des Patienten mit steigendem Wirkstoffgehalt im Körper absolut immer mehr abbaut, und damit der Abbau letztlich die Zufuhr übersteigt beschränkt wachsen dem Körper täglich zusätzlicher Wirkstoff zugeführt wird, der nur zu 80 % abgebaut werden kann, und somit die Zufuhr im Vergleich zum Abbau überwiegt wieder sinken der Körper des Patienten mit steigendem Wirkstoffgehalt im Körper absolut immer mehr davon abbaut, auch wenn der Prozentsatz gleich bleibt Unterrichtsaufgabe zur Aufgabe 6.4: Wirkstoffe im Körper (Kapitel 6.1.1, Seite 125) Ein Patient, der an Bluthochdruck leidet, muss auf ärztliche Empfehlung ab sofort täglich am Morgen eine Tablette mit Wirkstoffgehalt 100 mg zur Therapie einnehmen. Der Körper scheidet im Laufe eines Tages 80 % des Wirkstoffs wieder aus. In welcher Weise wird sich die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten langfristig entwickeln? Aufgabenstellung: Entwickeln Sie ein mathematisches Modell und simulieren Sie diesen dynamischen Prozess mit Hilfe von Technologie. Geben Sie eine kontextbezogene Interpretation des Ergebnisses. © VERITAS-Verlag, Linz http://mathe-mit-technologie.veritas.at Helmut Heugl 2 ONLINE Material zu Mathematikunterricht mit Technologie Aufgabe 6.5: Funktion und Stammfunktion (Typ-1-Übungsaufgabe BIFIE) (Kapitel 6.1.1, Seite 126) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f. Aufgabenstellung: Zeichnen Sie den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f in die Abbildung ein! Unterrichtsaufgabe zur Aufgabe 6.5: Funktion und Stammfunktion (Kapitel 6.1.1, Seite 127) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f mit Grad 2. Aufgabenstellung: Ermittle eine zum Graphen passende Funktionsgleichung sowie die Gleichung einer Stammfunktion. Zeichne den Graphen einer Stammfunktion in die Abbildung ein und beschreibe die Beziehung zwischen den Graphen von Funktion und Stammfunktion. Aufgabe 6.6: Charakteristische Eigenschaften einer linearen Funktion (Kapitel 6.1.1, Seite 128) (Quelle: Typ-1- und Typ-2-Übungsaufgaben (Jänner 2013) https://www.bifie.at/node/2048 ) Gegeben ist eine reelle Funktion f mit f(x) = 3x + 2. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden Eigenschaften an, die auf die Funktion f zutreffen! f(x + 1) = f(x) + 3 f(x + 1) = f(x) + 2 f(x + 1) = 3 f(x) f(x + 1) = 2 f(x) f(x2) - f(x1) = f‘(x) (x2 – x1) für x1, x2 und x1 x2 © VERITAS-Verlag, Linz http://mathe-mit-technologie.veritas.at Helmut Heugl 3 ONLINE Material zu Mathematikunterricht mit Technologie Unterrichtsaufgabe zur Aufgabe 6.7: Wiener U-Bahn (Kapitel 6.1.2, Seite 130) Die Wiener U-Bahn-Linie U2 verkehrt zwischen den Stationen Karlsplatz und Aspernstraße. Die Gesamtstrecke der U2 beträgt 12,531 km (Stand 2012). Quelle: http://www.wienerlinien.at/media/download/2012/Linie_U2_68801.pdf Zwischen den beiden Stationen Donaumarina und Donaustadtbrücke fährt die U-Bahn nahezu geradlinig und benötigt für diese Strecke ca. eine Minute. Betrachtet man die Geschwindigkeit eines Zuges zwischen diesen beiden Stationen, so lässt sie sich näherungsweise durch drei Funktionen beschreiben. Die Zeit t ist in Sekunden, die Geschwindigkeit v in m/s angegeben. v1(t) 0,08 t 2 [0;15] v 2 (t) 18 [15;50] v3 (t) 0,14 (t 50)2 18 [50;61,4] Aufgabenstellung: a) Stellen Sie die Geschwindigkeitsfunktion im Intervall [0; 61,4] graphisch dar. Beschreiben Sie die Art der Bewegung in den drei Teilintervallen. b) Berechnen Sie die Länge desjenigen Weges, den die U-Bahn im Zeitintervall [0; 61,4] zurücklegt. In welchem Teilintervall findet der Bremsvorgang statt? Ermitteln Sie für dieses Intervall die Bremsverzögerung in Abhängigkeit von der Zeit. Erläutern Sie, in welcher Weise eine Veränderung des Parameters von –0,14 auf –0,2 den Bremsvorgang beeinflusst! c) Geben Sie eine Formel für die Beschleunigung des Zuges vom Anfahren bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit an! Wie groß ist die mittlere Beschleunigung in diesem Zeitintervall? Unterrichtsaufgabe zur Aufgabe 6.8: Grippeepidemie (Kapitel 6.1.2, Seite 134) Betrachtet man den Verlauf einer Grippewelle in einer Stadt mit 5 000 Einwohnern, so lässt sich die Anzahl an Erkrankten E in Abhängigkeit von der Zeit t (in Tagen) annähernd durch eine Polynomfunktion 3. Grades mit der Gleichung E(t) = at3 + bt2 + ct + d beschreiben. Folgende Informationen liegen vor: 1. 2. 3. 4. Zu Beginn der Beobachtungen sind 10 Personen mit dem Grippevirus infiziert. Nach einem Tag sind bereits 100 Personen an Grippe erkrankt. Am 3. Tag nimmt die Anzahl an Erkrankten am stärksten zu. Am 10. Tag erreicht die Grippewelle (d. h. die Anzahl an Erkrankten) ihr Maximum. Aufgabenstellung: a) Ermitteln sie die Funktionsgleichung der Funktion E aus den verfügbaren Informationen und zeichnen Sie den Graphen. b) Berechnen sie die mittlere Änderungsrate für die ersten 8 Tage und die momentane Änderungsrate am 8. Tag. Interpretieren sie die mittlere und die momentane Änderungsrate kontextbezogen. c) An welchem Tag geht die progressive Zunahme der Anzahl an Erkrankten (das heißt: der Zuwachs an Erkrankten wird von Tag zu Tag größer) in eine degressive Zunahme (das heißt: der Zuwachs an Erkrankten nimmt pro Tag wieder ab) über? © VERITAS-Verlag, Linz http://mathe-mit-technologie.veritas.at Helmut Heugl 4 ONLINE Material zu Mathematikunterricht mit Technologie Aufgabe 6.9: Ortsumfahrung (Kapitel 6.2.1, Seite 136) [Quelle: Teil-A-Aufgabe; http://aufgabenpool.bifi e.at/bhs/index.php?action=14&crnd=3] Eine große Ortschaft P = (2|2) liegt auf einer geraden Straße zwischen den Dörfern W = (0|4) und S = (4|0). Es soll um die Ortschaft P eine Umfahrungsstraße gebaut werden, die über den Punkt D = (2|1) führt und bei W bzw. S wieder in die gerade Straße einmündet. Die Koordinatenwerte sind in Kilometern angegeben. Aufgabenstellung: a) Eine Umfahrungsstraße, die durch die Funktion f(x) = –0,0625x4 + 0,5x3 – x2 – x + 4 beschrieben werden kann, hat den Vorteil, dass sie in den Punkten S und W tangential in die ursprüngliche Straße einmündet. Zeigen Sie durch Berechnung, dass die Gerade durch die Punkte S und W in diesen beiden Punkten eine Tangente an die Funktion f ist. b) Eine Umfahrungsvariante soll im Definitionsbereich 0 ≤ x ≤ 4 durch eine quadratische Funktion beschrieben werden. Stellen Sie die Funktion 2. Grades auf, die die Punkte W, D und S enthält. Unterrichtsaufgabe zur Aufgabe 6.9: Ortsumfahrung (Kapitel 6.2.1, Seite 138) Eine große Ortschaft P = (2|2) liegt auf einer geraden Straße zwischen den Dörfern W = (0|4) und S = (4|0). Es soll um die Ortschaft P eine Umfahrungsstraße gebaut werden, die über den Punkt D = (2|1) führt und bei W bzw. S wieder in die gerade Straße tangential einmündet. Die Koordinatenwerte sind in Kilometern angegeben. Aufgabenstellung: Ermittle die Funktionsgleichung der Umfahrungsstraße unter Verwendung der gegebenen Informationen und zeichne den Graphen der Umfahrungsfunktion sowie der geraden Straße (x:y = 1:1). © VERITAS-Verlag, Linz http://mathe-mit-technologie.veritas.at Helmut Heugl 5 ONLINE Material zu Mathematikunterricht mit Technologie Aufgabe 6.10: Wasserkanal (Teil-A-Aufgabe BHS) (Kapitel 6.2.1, Seite 139) Quelle: Teil-A-Aufgabe; http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/index.php?action=14&crnd=3] Die Querschnittsfläche eines Kanals ist unten von einer Randkurve begrenzt, die mit der Funktion f beschrieben werden kann, wobei der Wasserspiegel genau entlang der x-Achse verläuft (Abb. 1). f(x) = 0,015x4 – 3 x …... horizontale Koordinate in Metern (m) f (x) ...vertikale Koordinate eines Punktes auf der Randkurve an der Stelle x in Metern (m) Abb. 1 Aufgabenstellung: a) Das Wasser fließt mit einer Geschwindigkeit von 1,2 Metern pro Sekunde (m/s) durch den Kanal. Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Wasser pro Sekunde durch den Kanalquerschnitt fließen. b) Erklären Sie, wie man mithilfe der Differentialrechnung den Winkel der Seitenwände stimmen kann, den sie jeweils mit der x-Achse einschließen. be- c) Die Kanalhöhe wird durch Verlagerung der Randkurve bis zu einer Höhe von 2 m über dem Wasserspiegel vergrößert (Abb. 2). Finden Sie eine geometrische Figur, die die zusätzliche Querschnittsfläche näherungsweise beschreibt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Figur. Abb. 2 © VERITAS-Verlag, Linz http://mathe-mit-technologie.veritas.at Helmut Heugl 6 ONLINE Material zu Mathematikunterricht mit Technologie Unterrichtsaufgabe zur Aufgabe 6.10: Wasserkanal (Kapitel 6.2.1, Seite 140) Die Querschnittsfläche eines Kanals ist unten von einer Randkurve begrenzt, die mit der Funktion f beschrieben werden kann, wobei der Wasserspiegel genau entlang der x-Achse verläuft (Abb. 1). f(x) = 0,015x4 – 3 x …... horizontale Koordinate in Metern (m) f (x) ...vertikale Koordinate eines Punktes auf der Randkurve an der Stelle x in Metern (m) Abb. 1 Aufgabenstellung: d) Das Wasser fließt mit einer Geschwindigkeit von 1,2 Metern pro Sekunde (m/s) durch den Kanal. Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Wasser pro Sekunde durch den Kanalquerschnitt fließen. e) Erklären Sie, wie man mithilfe der Differentialrechnung den Winkel der Seitenwände stimmen kann, den sie jeweils mit der x-Achse einschließen. be- f) Die Kanalhöhe wird durch Verlagerung der Randkurve bis zu einer Höhe von 2 m über dem Wasserspiegel vergrößert (Abb. 2). Wie groß ist die dadurch erhaltene zusätzliche Querschnittfläche? Abb. 2 © VERITAS-Verlag, Linz http://mathe-mit-technologie.veritas.at Helmut Heugl 7 ONLINE Material zu Mathematikunterricht mit Technologie Aufgabe 6.11: Federpendel (Kapitel 6.2.2, Seite 141) [Quelle: Teil-B-Aufgabe, Cluster 3; http://aufgabenpool.bifi e.at/bhs/index.php?action=14&crnd=3] Federpendel Die Bewegung der Masse eines gedämpften Feder-Massesystems kann durch eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden. a) – Erklären Sie für die Differentialgleichung y(t) p y(t) q y(t) 0 die Bedeutungen von y und y in Bezug auf die Bewegung des Massestücks. b) Die Differenzialgleichung y(t) 5 y(t) 4 y(t) 0 ist gegeben. Zum Zeitpunkt t = 0 s gelten folgende Bedingungen: Auslenkung x0 = – 0,3 m, Geschwindigkeit v0 = 1,5 m/s. – Stellen Sie die Anfangsbedingungen der Differentialgleichung auf. – Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. – Berechnen Sie mithilfe der Anfangsbedingungen die spezielle Lösung der Differentialgleichung. c) Die Dämpfung p des Feder-Massesystems y(t) p y(t) 4 y(t) 0 soll so gewählt werden, dass ein Schwingfall entsteht. – Ermitteln Sie mithilfe der charakteristischen Gleichung einen möglichen Wert für die Dämpfung b, damit ein Schwingfall entsteht. d) Das nachstehende Diagramm stellt die Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit eines gedämpften Feder-Massesystems dar. Lesen Sie aus der Grafik den Zeitpunkt und den Wert der maximalen Auslenkung ab. Man möchte diejenigen Zeitpunkte berechnen, in denen die Geschwindigkeit des Pendels maximal ist. Beschreiben Sie den Lösungsweg zur Bestimmung der Zeitpunkte maximaler Geschwindigkeit, wenn der Weg-Zeit-Zusammenhang durch die Funktion x gegeben ist. © VERITAS-Verlag, Linz http://mathe-mit-technologie.veritas.at Helmut Heugl 8 ONLINE Material zu Mathematikunterricht mit Technologie Unterrichtsaufgabe zur Aufgabe 6.11: Federpendel (Kapitel 6.2.2, Seite 143) Die Bewegung der Masse eines gedämpften Feder-Massesystems kann durch eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden. a) – Erklären Sie für die Differentialgleichung y(t) p y(t) q y(t) 0 die Bedeutungen von y und y in Bezug auf die Bewegung des Massestücks. b) Die Differentialgleichung y(t) 5 y(t) 4 y(t) 0 ist gegeben. Zum Zeitpunkt t = 0 s gelten folgende Bedingungen: Auslenkung x0 = – 0,3 m, Geschwindigkeit v0 = 1,5 m/s. Stellen Sie die Anfangsbedingungen der Differentialgleichung auf. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Berechnen Sie mithilfe der Anfangsbedingungen die spezielle Lösung der Differentialgleichung. c) Die Dämpfung p des Feder-Massesystems y(t) p y(t) 4 y(t) 0 soll so gewählt werden, dass ein Schwingfall entsteht. – – Ermitteln Sie mithilfe der charakteristischen Gleichung einen möglichen Wert für die Dämpfung b, damit ein Schwingfall entsteht. Berechnen Sie mithilfe der Anfangsbedingungen die spezielle Lösung der Differentialgleichung für diesen Schwingungsfall. © VERITAS-Verlag, Linz http://mathe-mit-technologie.veritas.at Helmut Heugl 9
