Aufgabenstellungen zu Kapitel 2. Kennenlernen

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Aufgabenstellungen zu Kapitel
2. Kennenlernen und Nutzen von Technologie
Aufgabe 2.1: Strukturerkennung bei der Eingabe (Kapitel 2.1.2.A, Seite 17)
1
Gib folgenden Term in den Rechner ein:
7.( x  2)
x 2  4 .  3  30 
 x  5 x 2  25 
6


x2
Aufgabe 2.2: Erweitern/Faktorisieren (Kapitel 2.1.2.A, Seite 18)
b
Bei der Berechnung des Integrals
2
 x dx ist das erwartete Ergebnis
a
Die Berechnung als Grenzwert von Produktsummen ergibt dagegen
b
2
 x dx 
a
b 3 a3
.

3
3

 a  b   a2  a  b  b 2
3
.
Kann das stimmen?
Aufgabe 2.3: Lösen von Gleichungen (Kapitel 2.1.2.A, Seite 19)
a) Lösen einer Gleichung nach verschiedenen Variablen
u
u
Eine Formel in der Elektrizitätslehre lautet 2 
. Berechne r1 und r2 und mache die Probe.
r2 r1  r2
b) Löse die folgenden Gleichungen nach verschiedenen Gesichtspunkten:
 Lösen durch Faktorisieren
 Exakt beziehungsweise näherungsweise lösen
 Lösen in verschiedenen Grundmengen wie z.B. oder
3x 2  7x  6  0
2x 2  4x  1  0
x 2  2x  5  0
c) Lösen eines Anwendungsproblems exakt oder näherungsweise?
In einem kugelförmigen Öltank mit Fassungsvermögen 10 000 Liter soll ein Kontakt angebracht
werden, der ein Warnsignal als Aufforderung für das Nachfüllen auslöst, wenn nur mehr 1 000
Liter Öl im Tank sind.
In welcher Höhe h muss dieser Kontakt angebracht werden?
2
Die Lösung dieses Problems führt zur Gleichung: 1,047  h  h  4,01  1
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Aufgabe 2.4: Lösen von Gleichungssystemen (Kapitel 2.1.2.A, Seite 20)
a) Lösen von Gleichungssystemen mit „solve“-Operatoren
Löse das Gleichungssystem
(I)  3x  4y  18
(II) 4x  3y  1
mit Hilfe des „solve“-Befehls auf zwei Arten.
b) Lösen von Gleichungssystemen mit mehreren Variablen – Arbeiten mit den Namen der Funktionen
Eine Polynomfunktion 3. Grades hat im Punkt (3|-2) einen Tiefpunkt und im Punkt (2|2) einen
Wendepunkt. Wie lautet der Funktionsterm?
c) Lösen von nichtlinearen Gleichungssystemen
(I) r  s  t  27
Löse das Gleichungssystem (II) s  3r  6
mit Hilfe des „solve“-Befehls.
(III) 9t 2  4s2  16965
d) Diskussion der Lösungsfälle
Gegeben sind zwei Gleichungssysteme mit jeweils drei linearen Gleichungen mit drei Variablen:
(I)
x  y  z  1
(I)  2x  3y  z  1
System 1: (II)
2x  2y  z  4
System 2: (II)
6x  9y  3z  3
(III)  4x  6y  2z  2
(III)  2x  2y  5z  8
Löse die Gleichungssysteme mit Hilfe des „solve“-Befehls und interpretiere die vom Werkzeug
angebotenen Lösungen. Versuche auch eine geometrische Deutung der Lösungen.
Aufgabe 2.5: Umkreismittelpunkt (Kapitel 2.1.2.B, Seite 22)
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A(-3|5), B(3|-1), C(5|5).
Berechne den Umkreismittelpunkt des Dreiecks auf zwei Arten und zwar
a) mit Hilfe von Geraden in Parameterform.
b) mit Hilfe von Geraden in Normalvektorform.
Aufgabe 2.6: mittlere Geschwindigkeit – Momentangeschwindigkeit (Kapitel 2.1.2.C, Seite 24)
Für den Bremsweg sb eines Fahrzeuges, das sich mit konstanter Geschwindigkeit v0 bewegt, gilt
a
die Formel sb (t)  v 0  t   t 2 .
2
Dabei ist a die vom Fahrbahnzustand abhängige Bremsverzögerung.
Ermittle eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit vm und die Momentangeschwindikeit v.
Aufgabe 2.7: Radioaktiver Zerfall: Mutter-Tochter Zerfall (Kapitel 2.1.2.C, Seite 24)
Bei einem Mutter-Tochter Zerfall ist das Zerfallsprodukt der ersten radioaktiven Substanz („Muttersubstanz“) wieder radioaktiv. Der Zerfall der zweiten Substanz („Tochtersubstanz“) wird be-


schrieben durch die Funktion g(t)  200  eat  1  eat mit t  0 und a= -0,25.
Die Zeit t wird in Stunden (h) gemessen, die Masse g in mg.
a) Wann erreicht die Tochtersubstanz ihren Maximalwert?
b) Berechne die existierende Durchschnittsmenge der Tochtersubstanz für die ersten 12 Stunden nach dem Beginn des Experiments.
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Aufgabe 2.8: Graphen zeichnen und analysieren (Kapitel 2.1.3, Seite 25)
4
20 3
x  10x 2  24x; Df 
Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x)   x 5  5x 4 
5
3
Zeichne den Graphen der Funktion f in einem geeigneten Koordinatensystem und analysiere den
Graphen (Nullstellen, Extrema, usw.) Wähle geeignete Parameter für das Graphikfenster und beschrifte die Zeichnung. Nutze die speziellen Werkzeugfunktionen der verwendeten Technologie.
Aufgabe 2.9: Verwenden von Schiebereglern (Kapitel 2.1.3; Seite 26)
Gegeben ist die Schar von Polynomfunktionen f mit
4
20 3
f(x)   x 5  5x 4 
x  10x 2  24x  d; Df 
5
3
Definiere einen Schieberegler für d und gib Werte für d an, bei denen die Funktion eine, zwei drei,
vier oder fünf Nullstellen hat.
Aufgabe 2.10: Kurvenscharen (Kapitel 2.1.3, Seite 27)
Graphen in Abhängigkeit von den Parametern a, b, c.
Aufgabe 2.11: Kredite – relatives Kopieren von Formeln (Kapitel 2.1.4, Seite 28)
Ein Kredit K von € 100.000 soll bei einem Jahreszinssatz von p = 5% in Jahresraten r von € 7.000
zurückgezahlt werden.
a) Nach wie viel Jahren ist der Kredit getilgt? Zeichne auch den Graphen von K.
b) Verändere bei diesem Kredit bei gleichbleibender Jahresrate den Jahreszinssatz auf p 1 = 6%.
c) Verändere bei diesem Kredit beim ursprünglichen Zinssatz p = 5% die Rate r auf € 4.000.
Aufgabe 2.12: Regressionsfunktionen zu Datenmengen (Kapitel 2.1.4, Seite 29)
Die Daten des Kostenverlaufs der Produktion eines Betriebes
können aus der nebenstehenden Tabelle entnommen werden.
Die Anzahl der produzierten Stück x wird in Mengeneinheiten
(ME) angegeben, die Kosten k in Geldeinheiten (GE).
a) Zeichne den Punktgraphen der Kosten k in Abhängigkeit
von der Stückzahl x in einem geeigneten Koordinatensystem und schließe aus dem Graphen auf eine mögliche
Regressionsfunktion.
b) Ermittle mit Hilfe des Werkzeugs die dazu passende Regressionsfunktion "kost".
c) Interpretiere den Graphen kontextbezogen.
Stückzahl x
in ME
0
2
3
5
6
8
10
12
15
18
Kosten k(x)
in GE
1.000
1.600
1.770
2.000
2.100
2.400
3.000
4.070
7.000
12.090
Aufgabe 2.13: Bahnen von bewegten Dreieckseckpunkten bei konstantem Flächeninhalt und
konstantem Umfang (Kapitel 2.1.5, Seite 30)
Zeichne im Geometriefenster ein beliebiges Dreieck ABC.
a) Halte die Eckpunkte A und B fest und bewege den Punkt C unter der Bedingung, dass der
Flächeninhalt gleich bleibt.
b) Halte die Eckpunkte A und B fest und bewege den Punkt C unter der Bedingung, dass der
Umfang gleich bleibt.
Welche Bahnen beschreiben die bewegten Eckpunkte, welche Eigenschaft haben die erhaltenen
Ortslinien?
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Aufgabe 2.14: Einkommensverhältnisse (Kapitel 2.1.6, Seite 32)
Quelle: Lehrbuch „Thema Mathematik 6“, S. 194 – S. 203. Veritas Verlag, 2010
Ein Lokalblatt möchte über die Einkommensverhältnisse der Menschen einer Stadt berichten, die
zwischen 40 und 50 Jahre alt sind. Es werden 30 berufstätige Personen zufällig ausgesucht und
nach Geschlecht, Alter, Bruttoeinkommen und Ausbildungsniveau befragt.
Daraus ergeben sich folgende Vorgaben:
 Grundgesamtheit: Menge aller Berufstätigen dieser Stadt zwischen 40 und 50 Jahren
 Stichprobe: Menge der befragten Personen
 Stichprobenumfang: 30
 Erhobene Merkmale:
 Geschlecht g: m, w
 Alter a (in Jahren): 40  a  50, a 
 Bruttoeinkommen e (in € pro Monat): e 
 Bildung b: b = 1  Pflichtschulabschluss
b = 2  Lehrabschluss
b = 3  Matura
b = 4  Hochschulabschluss
Folgende Daten wurden erhoben (Urliste):
g
a
e
b
G
A
e
b
G
a
e
b
w
44
2.190
4
M
42
1.830
2
W
42
2.220
2
w
42
2.050
4
W
46
850
2
W
40
1.770
2
m
41
400
1
M
42
3.410
4
W
44
1.440
3
m
50
1.520
2
M
48
3.040
2
W
49
1.410
3
w
42
1.300
1
W
43
1.900
2
W
45
2.020
4
w
41
2.140
3
W
48
1.850
3
M
48
1.730
3
w
50
1.190
2
M
44
1.950
1
w
48
1.880
3
m
44
3.890
2
M
45
2.110
2
m
44
1.240
3
m
44
1.080
2
W
41
2.100
3
w
40
1.580
3
m
46
940
3
M
41
1.650
3
m
44
1.320
3
Aufgabenstellung:
a) Ermittle aus der Urliste die absoluten und relativen Häufigkeiten (in Prozenten) der Anzahl der
Personen bezüglich des Merkmals "Bildung". Fertige ein Säulendiagramm und ein Kreisdiagramm an.
b) Ermittle für das Merkmal "Einkommen" den Median, den Mittelwert, die Standardabweichung
und die Spannweite.
c) Berechne für das Merkmal Einkommen der befragten Personen den Mittelwert und die Standardabweichung getrennt nach Geschlecht und zeichne pro Geschlecht einen Boxplot. Ermittle
aus den Boxplots die Quartilen q1, q2 und q3 sowie den Quartilsabstand q3 – q1.
d) Interpretiere die Ergebnisse.
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Aufgabe 2.15: Berührung von Kurven (Kapitel 2.2, Seite 36)
Quelle: Materialien für TI-Nspire CAS: Märki Robert: "Differential- und Integralrechnung" (Aufgabe 18 aus
Kapitel 3, S.41)
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)  2  x3 und die Funktionenschar gk mit gk (x)  k  x 2  1 .
a) Experimentiere mit einem Schieberegler für k und suche k so, dass die Graphen der beiden Funktionen einander berühren.
b) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die beiden Graphen einander in einem Punkt
P(u|v) berühren? Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Berührpunktes, sowie die Gleichung der gemeinsamen Tangente in diesem Punkt.
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