Lineare Algebra I

TU Ilmenau
Institut für Mathematik, Diskrete Mathematik
Prof. Matthias Kriesell, Dr. Anja Pruchnewski
Wintersemester 2014/2015
Lineare Algebra I
1. Übungsserie
Aufgabe 1: Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N gilt:
a) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ist durch 9 teilbar.
n ( )
n
∑
∑
√
n
1
√ ≥ n
b)
= 2n
c)
k
i
i=1
k=0
Aufgabe 2: Beweisen Sie, dass folgende Aussagen Tautologien sind:
a) A ∧ B −→ A
b) (A ∧ (A −→ B)) −→ B
Aufgabe 3: Beweisen Sie folgende logische Gleichheiten:
a) ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
b) A −→ B ≡ ¬A ∨ B
c) A −→ B ≡ ¬B −→ ¬A
Aufgabe 4: Beweisen Sie folgende Schlussregeln:
a) Gilt A ⇒ B und B ⇒ C, so gilt A ⇒ C.
b) Gilt A1 ⇒ A2 und A2 ⇒ A3 und ... und An−1 ⇒ An , so gilt A1 ⇒ An .
Aufgabe 5: Zeigen Sie durch indirekten Beweis:
a) Für jede Primzahl p gilt:
√
p ist eine irrationale Zahl.
b) Für reelle Zahlen a, b mit 0 < a < b gilt die Ungleichung
√
√
√
b − a < b − a.
Aufgabe 6: “ Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens?“ wurde ein 100-jähriger
gefragt. “ Ich halte mich streng an die Diätregeln:
A: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch.
B: Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme.
C: Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an.“
Vereinfachen Sie diesen Ratschlag!
Aufgabe 7: Es sei N die Menge der natürlichen Zahlen. Bilden Sie für die folgenden
Aussagen A jeweils die Negation ¬A und entscheiden Sie, welche der beiden Aussagen
wahr ist.
a) A: ∀x ∈ N ∀y ∈ N ∃z ∈ N : x + y = z,
b) A: ∃z ∈ N ∀x ∈ N ∀y ∈ N : x + y = z,
c) A: ∀x ∈ N : 3 teilt x ⇒ 6 teilt x.