Logische Schaltungen und Funktionen

Logische Schaltungen und Funktionen
Logische Funktionen basieren auf der sogenannten Boole'schen Logik, die wiederum auf
Binärzahlen basiert. Für Binärzahlen gibt es eine einfache Logik, bei der es nur zwei Möglichkeiten
gibt: 1 oder 0 bzw. WAHR oder FALSCH. Diese Werte werden Wahrheitswerte genannt.
Daraus ergeben sich nur drei logische Grundformen: UND, ODER, NICHT
Info:
In modernen Computern hat sich die binäre Verarbeitung von
Daten durchgesetzt. Das geschieht mit elektronischen
Schaltkreisen (Transistoren), die nur die physikalischen
Zustände „Strom aus“ bzw. 0 oder „Strom an“ bzw. 1 erzeugen
und speichern können.
Alles, was im Computer gespeichert ist, besteht aus Nullen und
Einsen. Auf der Basis dieser zwei Zustände zaubert der
Computer Bilder, Filme, Texte und Tabellen auf den Monitor,
erzeugt Töne, druckt Dokumente und vieles mehr. Dass man
mit Nullen und Einsen Berechnungen durchführen kann, hat
schon der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibnitz Anfang
des 18. Jahrhunderts entdeckt.
Der britische Mathematiker George Boole entwickelte daraus
die Boole'sche Algebra. Er bezeichnete 1 und 0 als „wahr“ und
„unwahr“. Mittels der Boole'schen Algebra lassen sich selbst
die kompliziertesten logischen Operationen in die Sprache des
Computers übersetzen.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia
/commons/6/6c/George_Boole.jpg (21.11.11)
Computer müssen mit Dualzahlen rechnen und müssen auch Entscheidungen treffen. Dazu
brauchen sie eine Logik, nämlich die Boole'sche Logik. Der Vorteil dieser Logik ist, dass nur zwei
Möglichkeiten bestehen, eine Entscheidung zu treffen: 1 oder 0. Derartige Logikfunktionen werden
natürlich auch in Tabellenkalkulationsprogrammen verwendet.
Unter Logik versteht man die Lehre vom ordnungsgemäßen Denken, vom richtigen Schlussfolgern.
Ein kleines Beispiel für Logik: Du spielst an eurem gemeinsamen Computer ein Computerspiel.
Deshalb kann deine Schwester ihre Hausaufgaben an diesem Rechner nicht zur gleichen Zeit
machen. Ist logisch. Die richtige Schlussfolgerung aus der Tatsache, dass du am Rechner sitzt, ist,
dass deine Schwester nicht gleichzeitig damit arbeiten kann.
Wie die binäre Logik funktioniert, lässt sich anhand einfacher elektrischer Schaltungen
demonstrieren:
Identitätsschaltung
Nimmt man eine Glühbirne, verbindet diese über zwei Kabel
mit einer Batterie und versieht ein Kabel mit einem Schalter,
hat man ein Beispiel für eine Identitätsschaltung.
Ist der Schalter geöffnet, fließt kein Strom und die Glühbirne
ist aus. Wird der Schalter nach unten umgelegt, fließt Strom
und die Glühbirne leuchtet. Logisch!
Der Schalter, der das bewirkt, wird als Eingangssignal (E)
bezeichnet. Das Leuchten der Glühbirne, das durch den
Schalter an- und abgestellt wird, wird als Ausgangssignal (A)
bezeichnet.
Durch die Schalterstellung AN wird die Glühbirne
angeschaltet. Durch die Schalterstellung AUS wird die
Glühbirne ausgeschaltet.
Das Ausgangssignal ist gleich dem Eingangssignal: A = E. Daher wird diese Schaltung
Identitätsschaltung genannt. AN und AUS werden binär mit 1 (AN) und 0 (AUS) beschrieben.
Diese binären Zustände lassen sich übersichtlich in Wertetabellen darstellen. Die Tabelle zeigt den
Wert von A in Abhängigkeit des oder der Werte von E. Für obiges Beispiel gilt die Wertetabelle:
E
A
0
0
1
1
Aus der Wertetabelle ergibt sich:
 E = 0 (Schalter AUS) → A = 0 (Glühbirne AUS)
 E = 1 (Schalter AN) → A = 1 (Glühbirne AN)
Die Gleichung der Schaltung lautet: A = E
Um solche elektrischen Schaltungen für jeden verständlich darzustellen, gibt es genormte
Schaltbilder.
Wenden wir obige Schaltung auf einen Bereich unseres Lebens an: Wenn morgen die Sonne
scheint, gehen wir ins Freibad. Wenn sie nicht scheint, gehen wir nicht ins Freibad. In der
Wertetabelle sieht das so aus:
Sonne
Freibad
ja
ja
nein
nein
oder
E
A
1
1
0
0
Für eine logische Identitätsschaltung gibt es folgendes genormtes Symbol.
NOT-Schaltung (Nichtschaltung, Negation)
Viele Maschinen haben sogenannte NOT-Schalter. Durch Anschalten dieses Schalters wird die
Maschine abgeschaltet. Die NOT-Schaltung funktioniert nach dem logischen Prinzip: Schalter an =
Maschine aus. Es wird anders als bei der Identitätsschaltung das Gegenteil des Eingangssignals
erzeugt. Wenn E = 0, dann A = 1.


E = 0 (Schalter AUS)
E = 1 (Schalter AN)
→
→
A = 1 (Maschine AN)
A = 0 (Maschine AUS)
Drücken wir diesen Zusammenhang mit unserer Glühbirnenschaltung und Wertetabelle bzw. dem
genormten Symbol aus:
E
A
1
0
0
1
Im
ersten
Moment
erscheint das unlogisch.
Doch genauso funktioniert
z. B. das Licht eines
Kühlschranks.
Durch Drücken des Schalters durch die schließende Tür geht das Licht aus. Auf das Freibadbeispiel
angewendet: Wenn es regnet, gehen wir nicht ins Freibad. Wenn es nicht regnet, gehen wir ins
Freibad.
Regen
ja
Freibad
nein
nein
ja
oder
E
1
A
0
0
1
Die Gleichung der Schaltung lautet: A = E;¯
(Der Strich über dem E bedeutet negiert, ins Gegenteil gesetzt).
OR-Schaltung (Oder-Schaltung, Disjunktion)
Eine Alarmanlage im Haus sichert sowohl die Fenster als auch die Haustür. Wird entweder ein
Fenster oder die Tür oder beides geöffnet, wird der Alarm ausgelöst. Hier bestehen schon mehrere
logische Möglichkeiten:
Tür
geöffnet?
Fenster geöffnet?
Alarm?
E1
E2
A
1
nein
nein
nein
0
0
0
2
nein
ja
ja
0
1
1
3
ja
nein
ja
1
0
1
4
ja
ja
ja
1
1
1
Das liegt daran, dass nun zwei Eingangssignale vorliegen. Es steht aber nur ein Ausgangssignal zur
Verfügung. Am Ausgang liegt der Zustand 1 an, wenn an einem oder mehreren Eingängen 1 liegt.
Am Ausgang liegt der Zustand 0 an, wenn an allen Eingängen der Zustand 0 anliegt. Wenn also alle
Fenster und die Tür geschlossen sind, wird kein Alarm ausgelöst.
In dem elektrischen Schaltplan sind nun zwei Stromschalter und somit mehrere Möglichkeiten, den
Strom fließen und die Glühbirne leuchten zu lassen. Entweder einer der beiden Schalter steht auf
AN oder beide Schalter. Nur wenn beide Schalter auf AUS stehen, bleibt die Glühbirne aus. Es gibt
insgesamt vier verschiedene Möglichkeiten an Schalterstellungen (= 2 * 2). Wenn in der gleichen
Weise ein weiterer Schalter eingebaut wird, gibt es acht verschiedene Möglichkeiten
(= 2 * 2 * 2 = 23).
Die Gleichung der Schaltung lautet: A = E1 v E2
(v steht für „oder“.)
In der Elektronik ist eine OR-Schaltung eine Parallelschaltung.
AND-Schaltung (UND-Schaltung, Konjunktion)
Beispiel: Wir gehen nur am Freitag ins Freibad und nur, wenn die Sonne scheint.
1
Freitag?
nein
Sonnenschein?
nein
Freibad?
nein
E1
0
E2
0
A
0
2
nein
ja
nein
0
1
0
3
ja
nein
nein
1
0
0
4
ja
ja
ja
1
1
1
Das Ausgangssignal nimmt nur den Wert 1 an, wenn beide Eingangssignale den Wert 1 haben.
Die Gleichung der Schaltung lautet: A = E1 ^ E2
(^ steht für „und“).
In der Elektronik ist eine AND-Schaltung eine Reihenschaltung.
Technisches Beispiel für eine AND-Schaltung:
Elektrische Heckenscheren haben zwei Schalter, die jeweils mit einer Hand festgehalten werden
müssen, damit die Heckenschere eingeschaltet wird und bleibt. Das soll verhindern, dass sich der
Benutzer selbst in die Hand schneidet. Schalter 1 und Schalter 2 müssen gedrückt gehalten werden,
damit die Schnittmesser sich bewegen (Ausgangssignal = 1).
Identitätsschaltung, NOT-Schaltung, OR-Schaltung und AND-Schaltung werden auch
Grundschaltungen genannt. Die Grundschaltungen können auch hintereinander geschaltet werden.