SATZ: Zu jeder nat urlichen Zahl k gibt es genau eine Folge positiver

SATZ:
Zu jeder naturlichen Zahl k gibt es genau eine Folge positiver ganzer
Zahlen n, n + 1, . . . , n + 2k , die der Gleichung
n2 + (n + 1)2 + · · · + (n + k)2 = (n + k + 1)2 + · · · + (n + 2k)2
(1)
genugen. Hierbei gilt n = 2k2 + k . Die Aussage kann in gewisser Weise als
Verallgemeinerung des Satzes von Pythogoras aufgefat werden.
BEWEIS:
Es ist klar, da in (1) eine quadratische Gleichung in n vorliegt, deren
allgemeine Form die Gestalt an2 + bn + c = 0 hat. Formt man (1) zu
n2 + (n + 1)2 + · · · + (n + k)2 − (n + k + 1)2 − · · · − (n + 2k)2 = 0
(2)
um, so ist unschwer zu erkennen, da a = 1 ist und die Koezienten b und c beide
negativ sind. Man hat also eine quadratische Gleichung der Form n2 − pn − q = 0 mit
positiven ganzzahligen Koezienten p und q vorliegen. Ihre beiden Losungen lauten
n1,2 =
p
2
±
q
p 2
2
+q.
(3)
Die beiden Koenzienten p und q lassen sich wegen der ubersichtlichen Bauart der
quadratischen Gleichung (2) muhelos bestimmen. Wegen (n + i)2 = n2 + 2i + i2 ndet
man
!
!
p = 2
2k
X
i−
k
X
i=1
i=k+1
i
k
k
X
X
= 2
i
(k + i) −
i=1
= 2
i=1
k
X
k = 2k 2
(4)
i=1
und genauso einfach
q =
2k
X
i2 −
i=k+1
k
X
i2 =
i=1
k
k
k
k
X
X
X
X
i2 =
k 2 + 2k
i = k 2 (1 + 2k) . (5)
(k + i)2 −
i=1
i=1
i=1
i=1
Das ergibt
n1,2
p
4k 4 + 4k 2 (1 + 2k) = k 2 ± k(k + 1) =
= k ±
2
1
2
2k 2 + k ,
− k.
(6)
Hiervon ist fur uns nur die positive Losung n = 2k2 + k von Belang. Sie besagt, da die
Zahlen 2k2 + k fur jedes naturliche k eine Folge von Zahlen n, n + 1, · · · , n + 2k
einlauten, die der Gleichung (1) genugen. Fur die ersten funfzehn k erhalt man fur
die Folgen n, n + 1, · · · , n + 2k die Anfangswerte
3, 10, 21, 36, 55, 78, 105, 136, 171, 210, 253, 300, 351, 406, 465 .
(7)
Bemerkenswerterweise ist hier der erste Wert 3 genau der Wert, den man kennenlernt, wenn man dem Satz des Pythagoras fur das einfachste rechtwinklige Dreieck mit
ganzzahligen Seiten begegnet.