4 . ¨Ubung zur Zahlentheorie

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan, L. Lauerbach
12.05.2016
4 . Übung zur Zahlentheorie
Abgabe: Bis 19.05.2016, 10.14 Uhr, in der Vorlesung.
4.1 Es sei n < m und 2n + 1 und 2m + 1 jeweils Fermat Primzahlen. Zeigen Sie, dass
zwischen diesen Zahlen n − 1 weitere Primzahlen liegen.
Lösungshinweise: Nach Lemma 2.2 sind n und m Zweierpotenzen. Ist also n = 2k so ist
m mindestens 2k+1 . Wegen
2
k
22
2k+1
+1
2
≥
= 2n−1 ,
22k + 1
2 · 22k
k
k
folgt aus dem Bertrandschen Postulat, dass zwischen (22 + 1) + 1 und 2(22 + 1); zwischen
k
k
k
k
2(22 + 1) + 1 und 22 (22 + 1) . . . und zwischen (N − 1)(22 + 1) + 1 und 2n−1 (22 + 1)
jeweils eine Primzahl liegt.
4.2 Auf wievielen Nullen endet die Zahl 666! ? Hinweis: Das Lemma von Legendre hilft.
Lösungshinweis: 666! endet mit N Nullen, wenn 666! durch 10N nicht aber durch 10N +1
teilbar ist. Da in der Primfaktorzerlegung von 666! mehr Zweien als Fünfen vorkommen,
entspricht die Anzahl der Fünfen genau der gesuchten Anzahl von Nullen. Mit dem Lemma
von Legendre folgt
X 666 666 666 666 666 N=
=
+
+
+
== 133 + 26 + 5 + 1 = 165
5m
5
25
125
625
m∈N
4.3 Es sei φ die Eulersche φ-Funktion. Zeigen Sie:
a) Bestimmen Sie φ(n), φ(n + 1) und φ(n + 2) für n = 5186.
d) Es sei p eine Mersenne Primzahl. Zeigen Sie φ(φ(p)) = φ(φ(p + 1) − 1).
c) Es gibt unendlich viele n ∈ N, so dass φ(n) eine Quadratzahl ist.
d) Ist p eine Primzahl, aber keine Germain Primzahl, so hat φ(n) = 2p keine
Lösung.
Lösungshinweise: a) Es gilt φ(5186) = φ(5187) = φ(5188) = 2592.
b) Nach Lemma 2.2 ist p = 2q − 1 mit q ∈ P. Also gilt
φ(φ(p)) = φ(2(2q−1 − 1)) = φ(2)φ(2q−1 − 1) = φ(φ(2q ) − 1) = φ(φ(p)) − 1)
c) Zum Beispiel für alle ak = 22k+1 gilt φ(ak ) = (2k )2 .
d) Ist pα1 1 . . . pαk k die Primfaktorzerlegung von n ∈ N so folgt aus
2p = φ(n) = pα1 1 −1 (p1 − 1) . . . pαk k −1 (pk − 1)
k ≤ 2, denn alle Faktoren p1 − 1, . . . , pk − 1 sind gerade oder – im Fall p1 = 2 – eins.
Im Fall k = 1 folgt aus 2p = pα1 1 −1 (p1 − 1) entweder α1 = 1 und damit 2p = p1 − 1
oder α1 = 2 und damit p1 − 1 = 2 also p = 3. In beiden Fällen ist p aber eine Germain
Primzahl.
Im Fall k = 2 ist p1 = 2 und aus 2p = 2α1 −1 pα2 −1 (p2 − 1) folgt α1 = 1 und wir erhalten
analog zum Fall k = 1, dass p eine Germain Primzahl ist.