Serie 3
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D-INFK Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Lineare Algebra HS 2017 Serie 3 1. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem ax1 ax1 ax2 + x3 + b = 0 + bx3 + 1 = 0 + ax2 + 2x3 + 2 = 0. Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus die Bedingungen für a und b, so dass das System a) Lösungen mit zwei freien Parametern hat, b) Lösungen mit einem freien Parameter hat, c) eindeutig lösbar ist, d) keine Lösung hat. 2. (Korrektur durch Assistenten) Gegeben seien die folgenden Einträgen: 1 i 1+i 4 2 , B= i A= 4 0 2+i 3+i 3 1 + 2i −4 C = 1 − 2i 4 − 3i 2i drei Matrizen mit komplexen −2 + i −3 + i , 3 4 + 3i −2i . 7 a) Bilden Sie zu jeder dieser drei Matrizen die Hermitesch-transponierte Matrix. b) Welche dieser Matrizen sind Hermitesch? c) Für reelle Zahlen α, β, γ sei nun 2 1 + αi 4 − βi 0 γ − 3i . D = 1 + αi 4 + 2i β + 3i −1 Für welche Werte von α, β, γ ist D Hermitesch? Bitte wenden! 3. Gegeben sei der Oktaeder mit den Eckpunkten: 1 0 −1 A = 0 , B = 1 , C = 0 , 0 0 0 0 0 0 D = −1 , E = 0 und F = 0 . 0 2 −2 a) Wir betrachten die beiden Vektoren v1 , v2 von A nach E beziehungsweise von A nach D: −1 −1 0 v1 = E − A = v2 = D − A = −1 . 2 0 Der Winkel ]EAD ist dann definiert als der Winkel zwischen v1 und v2 . Bestimmen Sie ]EAD. Bestimmen Sie in analoger Vorgehensweise den Winkel ]EAC. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P auf der Kante zwischen A und E, so dass der Winkel ]APD = 90◦ ist. 4. M ATLAB-Aufgabe Die Matrix-Potenz Ak kann man durch I 2 k A = Ak/2 A · Ak−1 falls k = 0 falls k gerade ist sonst berechnen, wobei I die Identitätsmatrix bezeichnet. a) Schreiben Sie eine Funktion function B = hoch(A, k), die für eine n×n Matrix A die Potenz Ak berechnet und zurückgibt. Sie dürfen nicht die Potenz-Operatoren ˆ oder power benutzen, sondern nur das Matrix-Produkt *. 0 1 b) Für A = gilt 1 1 Ak = fk−1 fk fk fk+1 für k ≥ 1, wobei fk die Fibonacci-Reihe bezeichnet. Finden Sie f35 mit Ihrer Funktion hoch. Siehe nächstes Blatt! 5. Lösen Sie die Multiple-Choice-Aufgaben. 1. Seien A, B und C n × n-Matrizen. Kann man ABC − CBA = 0 schliessen? (a) Ja (b) Nein 2. Welche der Aussagen stimmen über die folgenden Vektoren? 10 5 1 2 1 −4 0 3 u= −1 , v = 2 , w = −2 , z = 23 0 1 3 0 (a) u ist zu allen anderen Vektoren orthogonal. (b) w ist zu z orthogonal. (c) w ist zu allen anderen Vektoren orthogonal. (d) Kein Vektor ist orthogonal zu einem anderen. Abgabe: Do/Fr 19./20. Oktober 2017 http://igl.ethz.ch/teaching/linear-algebra/la2017/
