Aufgabe 1 Sei a1 ∈ R beliebig. Dann konvergiert die rekursiv durch

Aufgabe 1
Sei a1 ∈ R beliebig. Dann konvergiert die rekursiv durch an+1 := (−1)n ·
wahr
definierte Folge.
an
2
definierte Folge.
falsch
Sei a1 ∈ R beliebig. Dann konvergiert die rekursiv durch an+1 := (−1)n ·
wahr
an
3
falsch
Sei a1 ∈ R beliebig. Dann konvergiert die rekursiv durch an+1 := (−1)n · 2an definierte Folge.
wahr
falsch
Sei a1 ∈ R beliebig. Dann konvergiert die rekursiv durch an+1 := (−1)n · an definierte Folge.
wahr
falsch
Aufgabe 2
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen
reeller Zahlen, die alle von 0 verschieden sind. Beide Folgen konvergieren
gegen 0.
gegen 0. Dann konvergiert abnn
n∈N
wahr
falsch
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgenreeller
Zahlen, die alle von 0 verschieden sind. Die Folge (an )n∈N konveran
giere gegen 0. Dann konvergiert bn
gegen 0.
n∈N
wahr
falsch
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N
reeller Zahlen, die alle von 0 verschieden sind. Die Folge (bn )n∈N konver Folgen
an
giere gegen 0. Dann ist bn
unbeschränkt.
n∈N
wahr
falsch
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N
Folgen reeller Zahlen, die alle von 0 verschieden sind. Die Folgen konvergieren
an
gegen a bzw. b und bn
konvergiert gegen 1. Dann gilt a = b.
n∈N
wahr
falsch
Aufgabe 3
Sei (an )n∈N eine gegen a ∈ R konvergente Folge reeller Zahlen. Dann konvergiert die durch bn := an − a
definierte Folge gegen 0.
wahr
falsch
Sei (an )n∈N eine gegen a ∈ R konvergente Folge reeller Zahlen. Dann konvergiert die durch bn :=
definierte Folge gegen 0.
wahr
n(an −a)
n+1
falsch
Sei (an )n∈N eine gegen a ∈ R konvergente Folge reeller Zahlen. Dann konvergiert die durch bn := n(an − a)
definierte Folge gegen 0.
wahr
falsch
Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Die durch bn := an − a definierte Folge konvergiere gegen 0. Dann
konvergiert die Folge (an )n∈N .
wahr
falsch
Aufgabe 4
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen reeller Zahlen. Sei cn := max{an , bn }. Dann konvergiert die
Folge (cn )n∈N .
wahr
falsch
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen reeller Zahlen. Sei cn := min{an , bn }. Dann konvergiert die
Folge (cn )n∈N .
wahr
falsch
Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen, die gegen a konvergiert. Dann konvergiert auch die durch bn :=
max{am | m ≤ n} definierte Folge.
wahr
falsch
Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen, die gegen a konvergiert. Sei bn := min{am | m ≤ n}. Dann konvergiert
auch die Folge (bn )n∈N gegen a.
wahr
falsch
Aufgabe 5
Sei an :=
2n
.
n!
Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen (und nur diese) an:
2 ist eine obere Schranke der Folge (an )n∈N .
3 ist eine obere Schranke der Folge (an )n∈N .
Die Folge (an ) ist nach oben unbeschränkt.
1 ist eine untere Schranke der Folge (an )n∈N .
Sei an :=
n!
.
2n
Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen (und nur diese) an:
2 ist eine obere Schranke der Folge (an )n∈N .
3 ist eine obere Schranke der Folge (an )n∈N .
Die Folge (an ) ist nach oben unbeschränkt.
1 ist eine untere Schranke der Folge (an )n∈N .
Sei an :=
nn
.
n!
Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen (und nur diese) an:
2 ist eine obere Schranke der Folge (an )n∈N .
3 ist eine obere Schranke der Folge (an )n∈N .
Die Folge (an ) ist nach oben unbeschränkt.
1 ist eine untere Schranke der Folge (an )n∈N .
Sei an :=
n!
.
nn
Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen (und nur diese) an:
2 ist eine obere Schranke der Folge (an )n∈N .
3 ist eine obere Schranke der Folge (an )n∈N .
Die Folge (an ) ist nach oben unbeschränkt.
1 ist eine untere Schranke der Folge (an )n∈N .
Aufgabe 6
Die reelle Zahlenfolge (an )n∈N mit an =
wahr
ist monoton wachsend.
n+1
2n
ist monoton fallend.
n−1
2n
ist monoton fallend.
falsch
Die reelle Zahlenfolge (an )n∈N mit an =
wahr
n+1
2n
falsch
Die reelle Zahlenfolge (an )n∈N mit an =
wahr
ist monoton wachsend.
falsch
Die reelle Zahlenfolge (an )n∈N mit an =
wahr
n−1
n
falsch
Aufgabe 7
Die komplexe Zahlenfolge (an )n∈N mit an = ( 5n+7
)in hat keine Häufungspunkte.
n
wahr
falsch
)in hat genau zwei Häufungspunkte.
Die komplexe Zahlenfolge (an )n∈N mit an = ( 5n+7
n
wahr
falsch
)in hat genau vier Häufungspunkte.
Die komplexe Zahlenfolge (an )n∈N mit an = ( 5n+7
n
wahr
falsch
)in hat unendlich viele verschiedene Häufungspunkte.
Die komplexe Zahlenfolge (an )n∈N mit an = ( 5n+7
n
wahr
falsch
Aufgabe 8
Sei (an )n∈N eine reelle Zahlenfolge mit Häufungspunkt a und sei (bn )n∈N eine reelle Zahlenfolge mit
Häufungspunkt b. Dann hat die Folge (an · bn )n∈N mindestens einen Häufungspunkt in R.
wahr
falsch
Sei (an )n∈N eine reelle Zahlenfolge mit Häufungspunkt a und sei (bn )n∈N eine reelle Zahlenfolge mit
Häufungspunkt b. Dann hat die Folge (an · bn )n∈N den Häufungspunkt a · b.
wahr
falsch
Sei (an )n∈N eine reelle Zahlenfolge mit Häufungspunkt a und sei (bn )n∈N eine reelle Zahlenfolge mit
Häufungspunkt b. Dann hat die Folge (an · bn )n∈N im Allgemeinen keine Häufungspunkte.
wahr
falsch
Aufgabe 9
Die Reihe
ja
ist konvergent.
P∞
n n n
n=1 (−1) ( n+1 )
ist divergent.
nein
Die Reihe
ja
n n n
n=1 (−1) ( n+1 )
nein
Die Reihe
ja
P∞
P∞
n n n
n=1 (−1) ( n+1 )
ist absolut konvergent.
nein
Aufgabe 10
P
Sei nj=1 aj eine bedingt konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann konvergiert auch jede Umordnung dieser
Reihe.
ja
nein
P
Sei nj=1 aj eine absolut konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann konvergiert auch jede Umordnung dieser
Reihe.
ja
nein
P
Sei nj=1 aj eine absolut konvergente Reihe reeller Zahlen mit Grenzwert x. Dann konvergiert auch jede
Umordnung dieser Reihe gegen x.
ja
nein
P
Sei nj=1 aj eine bedingt konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann existiert eine Umordnung dieser Reihe,
die gegen 0 konvergiert.
ja
nein