¨Ubungen zur Vorlesung Algebra/Geometrie WS 2001/2002 6. Serie

Übungen zur Vorlesung Algebra/Geometrie WS 2001/2002
6. Serie
Aufgabe 1: Man gebe für n = 1, . . . , 10 jeweils eine zur zyklischen Gruppe Cn isomorphe
Permutationsgruppe P ≤ Sm an mit minimalem m ∈ N.
Aufgabe 2:
Man zeige, daß für Permutationen π ∈ Sn gilt: Die Gruppe hπi wirkt
genau dann transitiv auf Nn = {1, . . . , n}, wenn π ein n-Zyklus ist.
Aufgabe 3:
a)
GX 0
Für eine Menge X 6= ∅ sei X 0 ⊆ X und G ≤ SX . Man prüfe, ob die Mengen
n
o
V
:= g ∈ G :
g(x) = x
und
x∈X 0
b)
G{X 0 }
n
o
0
0
:= g ∈ G : g(X ) = X
Untergruppen von G bilden.
c)
Gilt stets GX 0 = G{X 0 } ?
Definition:
Eine Folge (an )∞
n=1 , an ∈ Q heißt
a) Fundamentalfolge (Cauchyfolge)
^ _
:⇐⇒
^
|an − am | < ε
ε>0 n0 ∈N n,m≥n0
b) konvergent in Q
:⇐⇒
_^ _ ^
|an − a| < ε
a∈Q ε>0 n0 ∈N n≥n0
c) Nullfolge
:⇐⇒
^ _ ^
|an | < ε
ε>0 n0 ∈N n≥n0
Bemerkung: Diese Definition läßt sich natürlich auf beliebige metrische bzw. normierte
Räume übertragen. Für unsere Zwecke der Konstruktion der reellen Zahlen genügt es
jedoch, Folgen rationaler Zahlen zu betrachten.
Aufgabe 4:
Es sei F die Menge aller Fundamentalfolgen über Q. Zusammen mit der
komponentenweise definierten Addition und Multiplikation bilden diese eine algebraische
Struktur.
a)
Geben Sie eine Fundamentalfolge über Q an, die nicht in Q konvergiert.
b)
Untersuchen Sie, ob die algebraische Struktur (F, +, ·) ein Ring oder ein Körper ist.
Aufgabe 5:
f
Für zwei Fundamentalfolgen a, b ∈ F sei die Relation = wie folgt definiert:
f
a=b
:⇐⇒
a − b ∈ N,
wobei N die Menge aller Nullfolgen bezeichne.
f
Zeigen Sie, daß = eine Kongruenzrelation auf (F, +, ·) ist.
Abgabe am 03.12.2001, 10 Uhr