Einführung in die Diskrete Mathematik

Einführung in die Diskrete Mathematik
Sommersemester 2014
PD Dr. Nils Rosehr
Inhaltsverzeichnis
I
II
Einleitung
Kombinatorik
1 Grundlagen der Kombinatorik
5
5
6
1.1
Standardbezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Endliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.8
Schubfachprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.9
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.10
Prinzip der doppelten Abzählung . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.11
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2 Binomialkoeffizienten
10
2.1
Permutationen und Fakultät . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3
Stirling-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.6
Näherung von Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.8
Ungeordnete Summationen und Multimengen . . . . . . . . .
13
2.9
Wege im Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.10
Vandermonde-Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.11
Polynommethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2
2.13
Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.14
Binomische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.15
Multinomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3 Abbildungen und Auswahlen
18
3.6
Auswahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.8
Abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . .
19
3.10
Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4 Inklusion und Exklusion
22
4.1
Siebformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2
Bonferroni-Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.3
Fixpunktfreie Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.4
Surjektive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.5
Partitionen und Stirling-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.6
Einschub: Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.8
Irreduzible Polynome über endlichen Körpern . . . . . . . . .
24
VI
Übungsaufgaben
Index
26
29
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 08.04.2014
I
5
Einleitung
Die diskrete Mathematik ist keine Geheimwissenschaft, sondern vielmehr ist
diskret hier als Abgrenzung zu kontinuierlich zu verstehen. Dabei wird der
Begriff unterschiedlich allgemein gefasst. Häufig geht es um mathematische
Probleme oder Theorien die mit endlichen oder abzählbaren Strukturen zu
tun haben. Am besten wird dies vielleicht an einigen Beispielen deutlich.
Beispiel 1. Nehmen wir an, wir wollen eine Treppe mit 11 Stufen besteigen
und können mit einem Schritt entweder eine oder zwei Stufen nehmen. Für
die ersten drei Stufen haben wir drei Möglichkeiten: 3 = 1 + 1 + 1 = 1 +
2 = 2 + 1. Für die gesamte Treppe von 11 Stufen gibt es 144 Möglichkeiten.
Natürlich ist man in der diskreten Mathematik nicht an der Lösung dieses
speziellen Problems interessiert, sondern fragt sich: Gibt es eine Formel für
die Anzahl der Möglichkeiten in Abhängigkeit der Anzahl der Stufen? Kann
man auch ähnliche Probleme lösen, etwa, wenn man es schafft 3 Stufen (oder
alle) auf einmal zu nehmen? Gibt es ein allgemeines Verfahren, zu solchen
Lösungsformeln zu kommen?
Beispiel 2. Wir wollen ein Schachbrett aus 8 mal 8 Feldern mit 8 Farben
so einfärben, dass in keiner Horizontalen oder Vertikalen eine Farbe doppelt
auftritt. Dies ist auf vielerlei Weisen möglich und hängt auch gar nicht von
der Zahl 8 ab. Solche Einfärbungen werden lateinische Quadrate genannt. Nun
stellen wir die Frage, ob es zwei solche Einfärbungen gibt (sogenannte orthogonale lateinische Quadrate), so dass die von entsprechenden Feldern gebildeten
Farbpaare alle 8 · 8 = 64 Farbkombinationen durchlaufen. Eine einfache (bejahende) Antwort lässt sich mit der algebraischen Struktur des endlichen Körpers
mit 8 Elementen geben. Schon 1780 hat Euler die Frage gestellt, ob es auch
orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung 6 gibt. Er konnte diese Frage
nicht beantworten und vermutete, dass dies für alle Ordnungen der Form 4k+2
nicht möglich sei. Heute weiß man, dass Euler nur für k = 1 Recht hatte.
Beispiel 3. Viele kennen seit den Kindertagen das Haus vom Nikolaus. Dabei
geht es darum in einem bestimmten Graphen einen Weg zu finden, der alle
oder
. Solch ein Weg heißt übrigens
Kanten genau einmal durchläuft:
Euler-Tour, nach Euler, der sich mit dem ähnlichen Königsberger Brückenproblem beschäftigt hat. Diese Touren haben durchaus eine praktische Relevanz,
denn z.B. für die Müllabfuhr stellt solch eine Tour einen günstigen Weg dar.
Hier ergeben sich viele Fragen: Ist eine solche Tour auch für andere Graphen
möglich? Wenn nicht, gibt es ein Kriterium? Kann man die Touren auch mit
gleichem Anfangs- und Endpunkt wählen?
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 10.04.2014
II
1
6
Kombinatorik
Grundlagen der Kombinatorik
1.1 Standardbezeichnungen. Für die natürlichen Zahlen (ohne Null)
schreiben wir N = {1, 2, 3, . . . }, N0 = {0}∪N und {1, . . . , n} = {k ∈ N : k ≤ n}
für n ∈ N0 . Weiter benutzen wir Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C. Für die Potenzmenge einer Menge X (also die Menge aller Teilmengen von X) schreiben wir
P(X) oder 2X . Wir benutzen die Gaußklammern zum Auf- und Abrunden:
bxc := max{z ∈ Z : z ≤ x} und dxe := min{z ∈ Z : z ≥ x} für x ∈ R.
1.2 Endliche Mengen. Eine Menge A ist endlich, wenn es ein n ∈ N0 und
eine Abzählung, d.h. eine Bijektion f : {1, . . . , n} → A gibt. Die Zahl n ist
eindeutig bestimmt (siehe Übungsaufgabe 1.1) und heißt die Größe, Länge
oder Mächtigkeit von A; wir schreiben |A| für die Mächtigkeit von A und
nennen A eine n-Menge. Falls A nicht endlich ist, setzen wir |A| := ∞ (siehe
Bemerkung nach Satz 1.4) und benutzen ∞ ± x = ±x + ∞ = ∞ + ∞ = ∞
sowie x < ∞ für x ∈ R.
1.3 Lemma. Seien A und B Mengen.
(a) Es gilt |A| = 0 genau dann, wenn A = ∅.
(b) Es ist A ∪ B genau dann endlich, wenn A und B endlich sind.
(c) Es gilt |A ∪ B| + |A ∩ B| = |A| + |B|.
(d) Aus B ( A folgt |B| < |A|, falls A (oder B) endlich ist.
(e) Für eine Abbildung f : A → B gilt |f (A)| ≤ |A|.
Beweis. (a) Die „leere Abbildung“ ∅ → A ist genau dann surjektiv, wenn A
leer ist.
(∗) Seien nun zunächst A und B endlich und disjunkt. Wir zeigen |A ∪ B| =
|A| + |B| per Induktion über |A|: Den Induktionsanfang liefert (a). Für |A| > 0
können wir wieder nach (a) ein a ∈ A wählen. Es folgt |A \ {a}| = |A| − 1, denn
ist f : {1, . . . , |A|} → A ein Abzählung, so ist g : {1, . . . , |A| − 1} → A \ {a}
mit g(x) = f (x) für x 6= f −1 (a) und g(f −1 (a)) = f (|A|), falls f −1 (a) 6= |A|,
eine Abzählung [vertausche a und f (|A|)]. Es folgt |(A \ {a}) ∪ B| = |(A ∪ B) \
{a}| = |A ∪ B| − 1 ebenso, da A und B disjunkt sind, und Induktion liefert die
Behauptung.
(d) In obigem Induktionsbeweis haben wir |A\{a}| = |A|−1 gezeigt für a ∈ A;
daraus folgt die Behauptung per Induktion, wenn wir a ∈ A \ B wählen. [(∗)
lässt sich nicht anwenden, da wir (noch nicht) wissen, dass B und A\B endlich
sind.]
(b) Sind A und B endlich, so folgt aus (∗), dass A ∪ B endlich ist. Aus (d) folgt
die andere Implikation, weil A und B Teilmengen von A ∪ B sind.
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Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 10.04.2014
7
(c) Wegen (b) müssen wir nur noch den endlichen Fall zeigen: |A ∪ B| =
|A \ (A ∩ B)| + |B| = |A| − |A ∩ B| + |B|.
(e) Für unendliches A ist nichts zu zeigen. Wähle sonst eine Teilmenge A0 ⊆ A,
so dass für jedes b ∈ f (A) die Faser f −1 (b) genau ein Element von A0 enthält
[A0 ist also ein Repräsentantensystem für die Fasern von f .] Da f |A0 injektiv
ist, folgt |f (A)| = |f (A0 )| = |A0 | ≤ |A| nach (d).
2
1.4 Satz. Für endliche Mengen A und B gilt |A| = |B| genau dann, wenn es
eine Bijektion A → B gibt.
Gilt dies, so ist eine Abbildung h : A → B genau dann bijektiv, wenn sie
injektiv oder surjektiv ist.
Beweis. Gilt n := |A| = |B|, so gibt es Bijektionen f : {1, . . . , n} → A und
g : {1, . . . , n} → B, und wir können als Bijektion g ◦f −1 wählen. Ist umgekehrt
eine Bijektion h : A → B gegeben, dann lässt sich diese mit einer Bijektion
f : {1, . . . , |A|} → A verketten zu einer Bijektion h ◦ f : {1, . . . , |A|} → B. Es
folgt |B| = |A|.
Ist h injektiv, so ist h : A → h(A) bijektiv und nach dem schon gezeigten folgt
|h(A)| = |A| = |B| und somit h(A) = B nach 1.3(d). Also ist h surjektiv.
Ist h nicht injektiv, so gibt es ein a ∈ A mit h(A \ {a}) = h(A) und es folgt
|h(A)| = |h(A \ {a})| ≤ |A \ {a}| < |A| = |B| nach 1.3. Also ist h nicht
surjektiv.
2
Die erste Aussage des Satzes ist falsch für unendliche Mengen [die zweite sowieso]. Das liegt daran, dass es verschiedene unendliche Mächtigkeiten gibt,
etwa |N| = ∞ = |R|, aber es gibt keine Bijektion N → R (Cantors zweites
Diagonalargument).
Die Forderung der Existenz einer Bijektion zwischen zwei Mengen macht aber
auch für unendliche Menge Sinn und wir nennen daher zwei Mengen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt wie im Satz.
Die Endlichkeit von Mengen lässt sich auch noch auf andere Art definieren:
Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn es eine Injektion von ihr in eine
echte Teilmenge gibt. Für eine weitere Möglichkeit siehe Übungsaufgabe 1.4.
1.5 Satz (Potenzmenge). Für eine endliche Menge M gilt |2M | = 2|M | .
Beweis. Wir führen Beweis per Induktion nach |M |. Für |M | = 0 haben wir
M = ∅ und daher 2M = {∅}, also |2M | = 1. Sei nun |M | > 0. Wir können also
m ∈ M wählen und setzen
A := {X ⊆ M : m 6∈ X}
und
B := {X ⊆ M : m ∈ X}.
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8
Dann gilt 2M = A ∪ B und A ∩ B = ∅. Es folgt |2M | = |A| + |B|. Ferner ist
A = 2M \{m} also |A| = 2|M |−1 per Induktion. Die Abbildung A → B, X 7→
X ∪ {m} ist eine Bijektion mit der Inversen Y 7→ Y \ {m}. Es folgt |A| = |B|
und daher |2M | = 2|A| = 2|M | .
2
1.6 Partitionen. Eine Partition einer Menge M ist eine Menge von paarweise disjunkten Teilmengen von M , deren Vereinigung M ist.
Für eine endliche Partition P einer Menge M gilt
X
|M | =
|X|.
X∈P
Häufige Anwendung:
|M | =
P
b∈B
|f −1 (b)| für eine Abbildung f : M → B.
Beweis. Für |P | = 0, 1 ist die Aussage trivial und für |P | = 2 ist die Aussage
ein Spezialfall von 1.3(c). Die Behauptung folgt damit per Induktion über
|P |.
2
1.7 Korollar. Für endliche Mengen A und B gilt |A × B| = |A| · |B| und
|An | = |A|n für n ∈ N0 (mit 00 = 1).
Beweis. Dies folgt aus 1.6, weil A × B die Partition P := {A × {b} : b ∈ B}
hat und |A × {b}| = |A| sowie |P | = |B| gilt. Die zweite Behauptung folgt dann
per Induktion über n.
2
1.8 Schubfachprinzip. Wenn n Objekte auf weniger als n Fächer verteilt
werden, so finden sich in einem Fach mindestens zwei Objekte. Oder: Wenn
n Objekte mit k < n Farben eingefärbt werden, so haben mindestens zwei
Objekte die gleiche Farbe.
Formal: Sind A und B endliche Mengen mit |B| < |A|, so ist jede Abbildung
f : A → B nicht injektiv, d.h. es existiert ein b ∈ B mit |f −1 (b)| ≥ 2.
Allgemeiner: Für f : A → B mit |B| < ∞ existiert ein b ∈ B mit
|f −1 (b)| ≥
Beweis. Mit 1.6 folgt |A| =
P
b∈B
|A|
.
|B|
|f −1 (b)| ≤ |B| maxb∈B |f −1 (b)|.
2
1.9 Anwendungen. Wir werden im Laufe der Vorlesung viele Anwendungen sehen; hier sind ein paar Beispiele dieser wichtigen Beweismethode:
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Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 15.04.2014
9
(a) Unter 15 Personen, sind immer mindestens 2 im gleichen Monat geboren,
oder mindestens 3 am gleichen Wochentag. [Es existieren 70.000 Menschen mit
exakt gleichvielen Haaren auf dem Kopf: ca. 7 · 109 Menschen, ca. 105 Haare]
2
(b) Unter 5 Punkten
√ im Einheitsquadrat [0, 1] gibt es immer zwei mit Ab1
stand höchstens 2 2:
Zwei der 5 Punkte liegen in einem der 4 Teilquadrate mit
√
Seitenlänge 1/2 wie im Bild und haben daher Abstand ≤ 12 2
(für Punkte auf den Trennlinien wählen wir willkürlich).
(c) Sind a1 , . . . , an+1 ∈ {1, . . . , 2n}, so gibt es Indices i 6= j, so dass ai ein
Teiler von aj ist:
Wir schreiben ai = 2ei ui mit ei ∈ N0 und ui ∈ N ungerade. Wegen 1 ≤ ui ≤ 2n
gibt es n Möglichkeiten für ui und das Schubfachprinzip liefert i 6= j mit
ui = uj und etwa ei ≤ ej . Es folgt ai = ei ui | ej ui = aj .
Für die n Zahlen n + 1, . . . , 2n ist die Folgerung falsch.
(d) Sei n ∈ N und a1 , . . . , an2 +1 eine Folge von n2 + 1 verschiedenen reellen
Zahlen. Dann gibt es eine monoton fallende oder monoton steigende Teilfolge
der Länge n + 1:
Wir definieren [Erdös und Szekeres folgend] zwei Abbildungen f, g : {1, . . . , n2 +
1} → N. Dabei sei f (i) (bzw. g(i)) die Länge der längsten steigenden (bzw.
fallenden) Teilfolge, die bei ai endet (bzw. beginnt). Wir führen einen Widerspruchsbeweis, und nehmen daher (f (i), g(i)) ∈ {1, . . . , n}2 für alle i an. Das
Schubfachprinzip liefert uns i < j mit (f (i), g(i)) = (f (j), g(j)). Damit können
wir eine der beiden Folgen verlängern, nämlich, falls ai < aj , am Ende um aj ,
also f (j) > f (i), oder, falls ai > aj , am Anfang um ai , also g(i) > g(j). Beides
ist ein Widerspruch zu (f (i), g(i)) = (f (j), g(j)).
Die y-Koordinaten der 17 Punkte im Bild, sortiert von links
nach rechts, enthalten monotone Folgen der Länge 5 (wie
viele?), aber ohne den zentralen Ausnahmepunkt ist dies
falsch.
(e) Approximationssatz von Dirichlet: Für α ∈ R und n ∈ N existieren
k, l ∈ Z mit 0 < k ≤ n und |kα − l| < 1/n.
[(αZ + Z)/Z liegt dicht in R/Z]
[Das Schubfachprinzip wird auch oft als Dirichlet-Prinzip bezeichnet.] Aus
dem Approximationssatz folgt, dass es für irrationale α unendlich viele Brüche
l/k gibt mit 0 < |α − l/k| < 1/k 2 ; für rationale α ist dies falsch.
Beweis. Wir betrachten die n + 1 „Rundungsreste“ ai := iα − biαc ∈ [0, 1[
für i = 0, . . . , n. Nach dem Schubfachprinzip 1.8 liegen also in einem der n
halboffenen Intervalle [r/n, (r + 1)/n[ für r = 0, . . . , n − 1 zwei Reste ai und
aj mit i < j. Es folgt 1/n > |aj − ai | = |(j − i)α − (bjαc − biαc)| = |kα − l|
mit k := j − i und l := bjαc − biαc.
2
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Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 24.04.2014
10
1.10 Prinzip der doppelten Abzählung. Sei M eine endliche Menge,
und seien P und Q Partitionen von M . Dann liefert 1.6 folgenden Zusammenhang:
X
X
|X| = |M | =
|Y |.
X∈P
Y ∈Q
Häufig besteht M aus Paaren, also M ⊆ A × B. Dann hat man
X
X
|M ∩ ({a} × B)| = |M | =
|M ∩ (A × {b})|.
a∈A
b∈B
1.11 Beispiel. Bei einem Treffen ist die Anzahl der Personen, die einer ungeraden Anzahl von Leuten die Hände schütteln, gerade:
Für die Menge A der Personen betrachten wir die Menge M der Paare (a, b) ∈
A2 von Personen die Hände miteinander schütteln. Wir zählen M auf zwei
Weisen. Einerseits gilt für (a, b) ∈ M auch (b, a) ∈ M und a 6= b, also ist |M | =
2h gerade,
P wobei h die Anzahl der „Händeschüttelungen“ ist. Andererseits folgt
|M | = a∈A na , wobei na := |M ∩ ({a} × A)| die Anzahl der Leute ist, die mit
a die Hände schütteln. Also muss die Anzahl der ungeraden na gerade sein.
2
Binomialkoeffizienten
2.1 Permutationen und Fakultät. Für eine Menge M bezeichnet Sym M
die Menge aller Bijektionen von M nach M , die sogenannte symmetrische
Gruppe auf M . Ihre Elemente werden Permutationen genannt. Für uns ist
die endliche symmetrische Gruppe Sn := Sym{1, . . . , n} auf n ∈ N0 Ziffern
interessant. Ihre Mächtigkeit |Sn | wird als Fakultät von n, in Zeichen n!,
bezeichnet. Man überlegt sich leicht, dass die Rekursionsgleichung n! = n ·
(n − 1)! gilt für n ∈ N und zeigt per Induktion n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1 =
Qn−1
i=0 (n − i); beachte 0! = 1. Für ein Element x eines kommutativen Rings
Qk−1
Qk−1
und k ∈ N definieren wir xk := i=0 (x − i) und xk := i=0 (x + i) sowie
x0 := x0 := 1 (steigende und fallende Faktorielle). Die Produkte xk und
xk bestehen also aus k um 1 absteigende bzw. aufsteigende Faktoren beginnend
mit x. Mit dieser Notation gilt n! = nn und nk = n!/(n − k)! .
Erstaunlicherweise lässt sich die Fakultätsfunktion auf R≥0
R ∞fortsetzen [sogar
noch weiter und holomorph] durch die Definition F (x) := 0 tx e−t dt. Es gilt
F (0) = F (1) = 1 und F (x) = xF (x − 1) (partielle Integration). Durch Γ(x) :=
F (x − 1) wird die Gammafunktion definiert.
√
Das Wachstumsverhalten von n! entspricht n( ne )n mit annähernd konstantem
relativen Fehler. Genauer hat man die folgende Abschätzung, die wir ohne
Beweis (mit Gammafunktion) angeben.
√
1
2.2 Satz. Für n ∈ N und an := 2πn( ne )n gilt an ≤ n! ≤ an e 12n .
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11
Die schwächere Abschätzung e( ne )n ≤ n! ≤ en( ne )n lässt sich leicht per Induktion unter Benutzung von 1 + x ≤ ex für x ∈ R zeigen.
2.3 Korollar (Stirling-Formel). Es gilt lim √
n→∞
n!
= 1.
2πn( ne )n
2.4 Definition. Für eine Menge M und k ∈ Z bezeichnen wir mit
M
:= {X ⊆ M : |X| = k}
k
die Menge aller k-Teilmengen von M . Ist |M | = n ∈ N0 , so definieren wir den
Binomialkoeffizient zu n und k durch
M n
.
:= k k
Der Binomialkoeffizient nk hängt nicht von M , sondern nur von n = |M |
ab. Er gibt also
die Anzahl der k-Teilmengen jeder n-Menge an. Daher gilt
n
n
=
1
=
für
n ∈ N0 und nk = 0 für k < 0 und k > n.
0
n
Wir notieren grundlegende Eigenschaften von Binomialkoeffizienten:
2.5 Lemma. Für k, l, n ∈ N0 gilt
n+1
n
n
(a)
k+1 = k + k+1 ,
n
n
(b)
k = n−k ,
Pn
n
n
(c)
k=0 k = 2 ,
P
n
(d)
(x+y)n = k=0 nk xk y n−k für Elemente x, y eines kommutativen Rings
(binomischer Lehrsatz),
n k
n n−l
(e)
k
l = l
k−l für l ≤ n,
n(n−1)···(n−k+1)
k
n
n!
(f)
= nk! = k!(n−k)!
für k ≤ n.
k =
k(k−1)···1
M
Beweis. (a) Sei M eine (n + 1)-Menge und m ∈ M . Dann ist k+1
eine
M \{m}
M
disjunkte Vereinigung von A :=
und B := {X ∈ k+1 : m ∈ X}.
k+1
M \{m}
Weil B →
, X 7→ X \ {m} eine Bijektion ist, folgt
k
M n+1
n
n
=
= |A| + |B| =
+
.
k+1
k+1 k+1
k
(b) Sei nun |M | = n. Die Komplementbildung X 7→ M \ X ist eine Bijektion
M
von M
k auf n−k .
(c) folgt aus 1.5 und 1.6, denn M
k : k ∈ {0, . . . , n} ist eine Partition der
Potenzmenge 2M .
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12
(d) folgt per Induktion aus (a) [oder direkt über die Definition von Binomialkoeffizienten durch Ausmultiplizieren des n-fachen Produktes].
(e) Wir zählen X := {(A, B) ∈ Ml × M
: A ⊆ B} auf zwei Weisen gek
n k
mäß 1.10: nl n−l
=
|X|
=
(einerseits
wird
zuerst A gewählt und dann
k−l
k
l
durch eine (k − l)-Teilmenge von M \ A zu B ergänzt, und andererseits wird
zuerst B gewählt und darin eine l-Teilmenge gewählt).
n n−1
n
(f) Für l = 1 gilt nach (e) die Gleichung nk k = n n−1
k−1 , also k = k k−1 für
k ∈ N; die Gleichung folgt hieraus per Induktion.
2
Die Rekursionsformel 2.5(a) ist das Bildungsgesetz für das Pascal-Dreieck;
dabei ist jeder Zahl die Summe der beiden Zahlen links und rechts darüber:
1
1
1
1
1
1
3
4
5
1
2
1
3
6
1
4
1
10
1
10 5
1
6
15 20 15
6
1
1
7
21 35 35 21
7
1
1
8
28 56 70 56 28
8
1
1
9
36 84 126 126 84 36
9
1
1
10 45 120 210 252 210 120 45 10
1
..
..
.
.
Lemma 2.5(b) drückt die Spiegel-Symmetrie des Dreiecks aus. Mit 2.5(f) kann
man leicht zeigen, dass die Koeffizienten bis zur Mitte ansteigen (und dann
fallen).
Die Summe der Zahlen in einer Diagonalen (siehe fett gedruckte Zahlen im
Pk
Pk
Bild) ist wieder ein Binomialkoeffizient, genauer gilt l=0 n+l
= l=0 n+l
=
n
l
n+k+1
;
dies
zeigt
man
leicht
per
Induktion.
k
Vermutung von Singmaster: Jede Zahl ab 2 tritt im Pascal-Dreieck höchstens
10 Mal auf.
Singmaster hat 1975 bewiesen, dass unendlich viele Zahlen mindestens 6 Mal
auftreten. Die Zahl
3003
78
15
14
3003 =
=
=
=
1
2
5
6
tritt 8 Mal auf; häufigeres Auftreten ist nicht bekannt.
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 29.04.2014
2.6
13
Näherung von Binomialkoeffizienten. Für m ∈ N gilt
22m
2m
22m
√ <
<√ .
m
2 m
2m
√
√
2m
1
Beweis. Wir betrachten P := 22m
2 zeigen.
m und müssen 1 < 2 mP <
Es gilt
1 · 3 · 5 · · · · · (2m − 1)
(2m)!
=
P = m
,
2
(2 m!)
2 · 4 · 6 · · · · · 2m
und daher
2(2m)P 2 =
32
52
(2m − 1)2
·
···
>1
2·4 4·6
(2m − 2)(2m)
|
{z
}
(2m−1)2
= (2m−1)2 −1 >1
sowie
(2m)P 2 < (2m + 1)P 2 =
1·3 3·5
(2m − 1)(2m + 1)
· 2 ···
<1
2
2
4
(2m)2
{z
}
|
=
(2m)2 −1
<1
(2m)2
2
Die Stirling-Formel liefert etwas genauer
√
m
1
2m
lim
· 2m = √ ,
m→∞
2
m
π
√
√
was zu 2 < π < 2 passt.
Außerdem lässt sich mit Hilfe der Stirling-Formel zeigen, dass
2m
m−t
/
2m
m
2
durch e−t /m approximiert wird, d.h. die normierten Binomialkoeffizienten verhalten sich wie die Gaußsche Glockenkurve.
2.7 Lemma (Erdös-Szekeres 1978). Je zwei Zahlen 6= 1 in einer Zeile des
Pascal-Dreiecks haben einen gemeinsamen Teiler (> 1).
Beweis. Für 0 < l < k < n gilt nk
ist nl ein Teiler von nk kl . Wegen
gemeinsamen Teiler.
k
n n−l
und daher
l = l
k−l nach 2.5(e),
k
n
n
n
<
haben
also
und
l
l
l
k einen
2
2.8 Ungeordnete Summationen und Multimengen. Auf wie viele Arten kann man 24 gleiche Stücke Schokolade an 5 Kinder verteilen? Allgemeiner
ist dies die Frage nach der Mächtigkeit von
Xn,k := {(s1 , s2 , . . . , sk ) ∈ Nk0 : s1 + s2 + · · · + sk = n}
15.05.2014–15:31
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14
für k, n ∈ N0 . Wir notieren solche Summen durch Zeichenketten gebildet aus
den Symbolen und (für Schokolade und Trenner). Die Summe 1 + 2 + 3 = 6
wird etwa durch
und die Summe 0 + 2 + 1 + 0 + 4 = 7 durch
dargestellt. Die Elemente aus Xn,k entsprechen eindeutig den Zeichenfolgen der Länge n+k−1 bestehend aus n Einheiten und k−1 Trennsym
bolen . Das bedeutet aber, sie entsprechen den Teilmengen in {1,...,n+k−1}
;
k−1
dabei gibt eine Teilmenge an, an welchen
Stellen
in
der
Zeichenkette
das
Sym
bol steht. Also gilt |Xn,k | = n+k−1
k−1 . Für die Ausgangsfrage gibt es also
24+4
= 28·27·26·25
= 7 · 9 · 13 · 25 = 20475 Möglichkeiten.
4
4·3·2·1
Wir geben noch eine andere Interpretation von Xn,k . Sei A eine Menge. Dann
heißt eine Abbildung M : A → N0 Multimenge über P
A, die Werte M (a)
heißen Häufigkeiten oder Gewichte von a, und |M | := a∈A M (a) wird als
Gesamtgewicht oder Mächtigkeit von M bezeichnet. Dann gibt |Xn,k | =
n+k−1
= n+k−1
die Anzahl der Multimengen über einer k-Menge mit Gek−1
n
samtgewicht n an.
[In unserem Beispiel haben wir also eine Multimenge von Kindern, und die
Häufigkeit jedes Kindes gibt an, wie viel Stücke Schokolade es erhält.]
Jetzt wollen wir etwas gerechter sein und jedem Kind mindestens ein Stück
Schokolade zukommen lassen, wir suchen also |{(s1 , s2 , . . . , sk ) ∈ Nk : s1 + s2 +
· · ·+sk = n}|. Dies führt zu Zeichenketten, die nicht enthalten und bei denen
nicht am Anfang oder Ende steht, d.h. hinter jedem der ersten n − 1 Symbole
kann jeweils höchstens einer der k − 1 Trenner stehen; dies bedeutet das
Doppelzeichen muss (k−1)-mal auf n−1
verteilt werden. Als Anzahl
Stellen
23
23·22·21·20
ergibt sich n−1
und
für
das
Beispiel
=
= 23 · 11 · 7 · 5 = 8855.
k−1
4
4·3·2·1
2.9 Wege im Gitter. Viele Formeln für Binomialkoeffizienten lassen sich
auch über Wege in Gittern beweisen. Ein kürzester Weg in einem Gitter der
Größe m × n von (0, 0) nach (m, n) besteht aus m + n Schritten, nämlich m
Schritten nach rechts und n Schritten nach oben.
(m, n)
(0, 0)
Jeder Weg ist eindeutig festgelegt durch die Schritte
nach oben (oder durch
m+n
die Schritte nach rechts). Daher gilt m+n
=
, siehe 2.5(b). Jeder dieser
m
n
Wege läuft
entweder
durch
den
Punkt
(m,
n
−
1)
oder
durch (m − 1, n). Daher
n+m−1
n+m−1
gilt n+m
=
+
für
die
Anzahl
solcher
Wege, siehe 2.5(a).
n
n−1
n
2.10 Satz (Vandermonde-Identität). Für n, m, k ∈ N0 gilt
X
X
k n 2
n+m
n
m
2n
n
=
und insbesondere
=
.
k
l
k−l
n
l
l=0
l=0
1. Beweis. Seien N und M disjunkte Mengen mit |N | = n und |M | = m.
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Die Mengen Sl := {A ∪ B : A ∈
Partition von N ∪M
. Also folgt
k
und 1.7.
N
M
l , B ∈ k−l
Pk
n+m
= l=0
k
15
} für l = 0, . . . , k bilden eine
m
Pk
|Sl | = l=0 nl k−l
nach 1.6
2
2. Beweis. Nach 2.9 ist n+m
die Anzahl der kürzesten Wege im Gitter von
k
(0, 0) nach (n + m − k, k). Jeder der Wege verläuft durch genau einen der
Punkte (n − l, l) mit 0 ≤ l ≤ k wie im Bild [auch für l > n].
(n − k, k)
(n + m − k, k)
(0, 0)
(n, 0)
Es gibt genau nl kürzeste Wege von (0, 0) nach (n − l, l), und von (n − l, l)
m
nach (n + m − k, k) genau (n+m−k)−(n−l)+k−l
= k−l
.
2
k−l
2.11 Polynommethode. Häufig lassen sich für natürliche Zahlen definierte
Funktionen auf allgemeinere Zahlbereiche ausdehnen. Für ein Element z eines
kommutativen Ringes, der Q enthält (also etwa Q, R, C oder C[x]), definieren
wir in Verallgemeinerung von 2.5(f)
z(z − 1) · · · (z − k + 1)
z
zk
=
:=
k!
k!
k
für k ∈ N0 . Insbesondere ist xk z.B. ein Polynom in Q[x]. Für alle k ∈ N0 gilt
die Identität
z+1
z
z
=
+
k+1
k
k+1
x
x
z.B. für alle komplexen Zahlen z, denn f := x+1
k+1 − k − k+1 ist ein Polynom
vom Grad höchstens k + 1 in Q[x] mit den unendlich vielen Nullstellen n ∈ N
wegen 2.5(a); und daher folgt f = 0, weil ein solches Polynom sonst höchstens
k +1 Nullstellen hätte. Entsprechend gilt z.B. auch die Vandermonde-Identität
für komplexe Zahlen. Direkt aus der Definition folgt
−z
k z+k−1
= (−1)
.
k
k
Jedes Polynom xk ∈ Q[x] hat an jeder Stelle x = n ∈ Z einen ganzzahligen
Wert (Definition 2.4 und Formel für −n
k ). Hier ist eine Umkehrung:
2.12 Satz (Pólya). Erfüllt ein Polynom f ∈ Q[x] die Bedingung
f (N0 ) ⊆ Z,
so ist f eine ganzzahlige Linearkombination von Polynomen xk mit k ∈ N0 .
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16
Beweis.
Die Polynome xk bilden eine Basis des Q-Vektorraums Q[x]
wegen
Pm
grad xk = k. Daher existieren ak ∈ Q und m ∈ N mit f = k=0 ak xk . Wegen
0
k = 0 für k ∈ N gilt a0 = f (0) ∈ Z. Wir führen Induktion über n und nehmen
an a0 , a1 , . . . , an ∈ Z. Dann folgt
m
X
n+1
n+1
n+1
+ an+1
+
,
Z 3 f (n + 1) =
ak
ak
n+1
k
k
k=n+2
k=0
|
{z
}
{z
}
|
{z
}
|
=1
=0
n
X
∈Z
2
also an+1 ∈ Z.
2.13 Differenzieren. Aus Polynomidentitäten wie oben lassen sich durch
(formales) Differenzieren neue Identitäten
Z.B. erhält man aus 2.5(d)
Pn gewinnen:
n k
n
für y = 1 die Gleichung
(1
+
x)
=
x
.
Differenzieren
liefert
n(1 +
k=0 k
Pn
Pn
n k−2
x)n−1 = k=1 k nk xk−1 und n(n − 1)(1 + x)n−2 = k=2 k(k
−
1)
x
usw.
k
Pn
n
n−1
Durch Einsetzen von x = 1 erhält man n2
= k=1 k k usw.
2.14
Binomische Reihe. Für r ∈ R und x ∈ C mit |x| < 1 gilt
r
(1 + x) =
∞ X
r
k=0
k
xk .
Beweisidee. Man differenziert die rechte Seite R(x) und stellt fest, dass sie
der Differentialgleichung rR(x) = (1 + x)R0 (x) genügt; siehe Köhler, Analysis,
Heldermann-Verlag 2006, Satz 16.3.
2
Wir notieren einige Spezialfälle:
(1 − x)−n =
(1 − x)−1 =
√
1+x=
∞ X
−n
k=0
∞
X
k
(−x)k =
xk
k=0
∞ 1
X
2 xk
k=0
k
∞ X
n+k−1
k=0
k
xk
(geometrische Reihe)
= 1 + 12 x − 81 x2 · · ·
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Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 06.05.2014
17
Für n ∈ N0 erhalten wir
1 1
1
11
1
2
·
−1
− 2 ···
−n
=
(n + 1)! 2 2
2
2
n+1
(−1)n
= n+1
· 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2
(n + 1)!
(−1)n
(2n)!
= n+1
· n
2
(n + 1)! 2 n!
1
(−1)n
2n
= 2n+1 ·
2
n+1 n
Dabei besteht der letzte Faktor aus den sogenannten Catalan-Zahlen
2n
2n
2n
1
=
−
∈ N0 ,
Cn :=
n+1 n
n
n+1
die uns später noch wieder begegnen werden. Man kann zeigen, dass Cn die
Anzahl der Zeichenketten der Länge 2n gebildet aus den Klammerzeichen ‘(’
und ‘)’ mit korrekter Klammerung ist, siehe Übungsaufgabe 4.3.
2.15 Multinomialkoeffizienten. Sei t ∈ N0 und M eine n-Menge, und
seien k1 , k2 , . . . , kt ∈ Z. Wir setzen
M
{A1 , A2 , . . . , At } ist Partition von M
:= (A1 , A2 , . . . , At ) :
und für i = 1, 2, . . . , t gilt |Ai | = ki
k1 , k2 , . . . , kt
und nennen die Mächtigkeiten
n
M
:= k1 , k2 , . . . , kt
k1 , k2 , . . . , kt Multinomialkoeffizienten [Achtung: Es werden „geordnete“ Partitionen gezählt, und die Partitionen dürfen ∅ enthalten].
Jede Teilmenge A von M definiert die Partition {A, M \ A}, also k1n,k2 =
n
n
n
k1 ,n−k1 = k1 = n−k1 für k1 + k2 = n. Allgemeiner gilt
n
n
n − k1
n − k1 − k2
kt
=
...
k1 , k2 , . . . , kt
k1
k2
k3
kt
n!
=
,
k1 !k2 ! · · · kt !
falls k1 , k2 , . . . , kt ∈ N0 mit k1 + k2 + · · · + kt = n, und sonst k1 ,k2n,...,kt = 0.
Per Induktion zeigt man aus dem Binomischen Lehrsatz den multinomischen
Lehrsatz: In kommutativen Ringen gilt
X
n
n
(x1 + x2 + · · · + xt ) =
xk1 xk2 · · · xkt t .
k1 , k2 , . . . , kt 1 2
k1 ,k2 ,...,kt ∈N0
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18
Die Multinomialkoeffizienten k1 ,k2n,...,kt geben auch die Anzahl der Wege in
einem t-dimensionalen Gitter von (0, 0, . . . , 0) nach (k1 , k2 , . . . , kt ) an, sowie
die Anzahl der Zeichenfolgen mit t Buchstaben, die jeweils genau ki -mal für
i = 1, . . . , t vorkommen; vergleiche 2.9 und 2.8.
Wie viele verschiedene Wörter kann man aus dem Wort MISSISSIPPI durch
Umordnen der Buchstaben bilden? Antwort:
11
11!
=
= 11 · 10 · 9 · 7 · 5 = 34 650
1, 4, 4, 2
1! · 4! · 4! · 2!
3
Abbildungen und Auswahlen
3.1 Definition. Für Mengen A und B sei
B A = {f | f : A → B} = {(ba )a∈A : ba ∈ B}
die Menge aller Abbildungen von A nach B. Wir haben B ∅ = {∅} und B N ist
die Menge aller Folgen in B.
3.2 Satz. Für endliche Mengen A und B gilt B A = |B||A| .
Beweis. Falls a ∈ A existiert, haben wir die Bijektion
B A → B A\{a} × B : f 7→ (f |A\{a} , f (a)).
Daher folgt für |A| < ∞ die Behauptung per Induktion wegen
A A\{a} · |B| = |B||A|−1 · |B| = |B||A| .
B = B
2
Aus Abschnitt 1 wiederholen wir:
3.3 Satz. Seien A und B endliche Mengen und f : A → B eine Abbildung.
(a) Ist f injektiv, so gilt |A| ≤ |B| und |A| = |B| ⇐⇒ f bijektiv.
(b) Ist f surjektiv, so gilt |A| ≥ |B| und |A| = |B| ⇐⇒ f bijektiv.
(c) Ist |A| = |B| und f injektiv oder surjektiv, so ist f bijektiv.
Anwendung:
3.4 Satz. Für die Anzahl π(n) aller Primzahlen in {1, . . . , n} gilt
π(n) ≥
ln n
ln 4
für alle n ∈ N, insbesondere gibt es unendlich viele Primzahlen.
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 08.05.2014
19
Beweis (Erdös). Jedes a ∈ {1, . . . , n} lässt sich eindeutig in der Form a =
b2 c schreiben mit b,√
c ∈ N und c ein Produkt von verschiedenen Primzahlen. Für
b gibt es höchstens n Möglichkeiten, und für c höchstens 2π(n) Möglichkeiten.
Weil√
die Abbildung a 7→ (b, c) injektiv ist, liefern 1.7 und 3.3(a) die Ungleichung
2
n ≤ n · 2π(n) , also n ≤ 4π(n) , also ln n ≤ π(n) ln 4.
3.5 Satz. Sind A und B endliche Mengen, dann gibt es genau
|B|
|A|
|B| = |B|(|B| − 1) · · · (|B| − |A| + 1) = |A|!
|A|
injektive Abbildungen von A in B. Insbesondere gilt | Sym A| = |A||A| = |A|!,
und dies ist auch die Anzahl der linearen Ordnungsrelationen auf der Menge
A.
Beweis. Das zweite Gleichheitszeichen folgt aus 2.5(f), und die Behauptung
ist trivial für |B| < |A|. Andernfalls gibt es zu jeder |A|-Teilmenge X von B
eine Bijektion f0 : A → X und alle Bijektionen von A nach X erhält man
eindeutig als g ◦ f0 für g ∈ Sym X. Wegen | Sym X| = |X|! = |A|! folgt die
Behauptung.
2
3.6 Auswahlen. Auf wie viele Arten kann man k Elemente aus einer n-Menge auswählen? Man muss präzisieren, ob die Reihenfolge berücksichtigt wird,
und ob wiederholte Auswahlen erlaubt sind, d.h. ob sogenanntes Ziehen mit
Zurücklegen vorliegt.
Anzahl Auswahlen k aus n
mathematisches Objekt
Reihenfolge wichtig
Reihenfolge egal
ohne Zurücklegen
nk
injektive Abbildungen
n
k
mit Zurücklegen
nk
Abbildungen
k-Teilmengen
= −n
k
Multimengen
2-Zeichenfolgen
n+k−1
k
3.7 Beispiel. Wir zählen normierte Polynome vom Grad d = k über einem
endlichen Körper K mit q = n Elementen, die in Linearfaktoren zerfallen.
Die Linearfaktoren sind von der Form x − a für a ∈ K. Wir müssen also d
Linearfaktoren aus q möglichen mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge (Kommutativität von K) auswählen. Es geht also um Multimengen über einer q-Menge mit Gesamtgewicht d, also gibt es q+d−1
solche
d
q
Polynome und daher q 2 − q+1
=
>
0
viele
normierte
irreduzible
Polynome
2
2
vom Grad 2.
3.8 Abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume. Ein abzählbarer Wahrscheinlichkeitsraum ist eine abzählbare nichtleere Menge S zusammen mit
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 08.05.2014
20
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P : 2S → R≥0 definiert auf der Potenzmenge 2S von S mit
[
X
P (S) = 1 und P
An =
P (An )
n∈N
n∈N
für jede Folge (An ) paarweise disjunkter Teilmengen von S [beachte absolute
Konvergenz und Vertauschbarkeit]. Die Teilmengen von S heißen Ereignisse
und die Elemente von S Elementarereignisse.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P istSbestimmt durch
P ihre Werte auf den Elementarereignissen, denn P (A) = P ( a∈A {a}) =
a∈A P ({a}) für A ⊆ S.
Man überlegt sich leicht, dass 0 ≤ P (A) ≤ 1 und P (S \ A) = 1 − P (A) für alle
A ⊆ S gilt, und damit P (∅) = 1 − P (S) = 0.
Gilt P ({s}) = P ({t}) für alle s, t ∈ S, so heißt P P
Gleichverteilung oder
Laplace-Verteilung
auf
S.
Für
s
∈
S
folgt
dann
1
=
t∈S P ({t}) = |S|P ({s})
P
und somit P (A) = a∈A P ({a}) = |A|/|S|; insbesondere ist S endlich.
3.9 Beispiele. (a) Durch den Wahrscheinlichkeitsraum S = {1, . . . , 6} mit
der Gleichverteilung wird das Würfeln eines Spielwürfels modelliert. Die Ereignisse Z = {2, 4, 6} (eine durch zwei teilbare Zahl zu würfeln) und D = {3, 6}
(eine durch drei teilbare Zahl zu würfeln) sind unabhängig, denn P (Z ∩ D) =
P ({6}) = 16 = 12 · 13 = P (Z)P (D).
(b) Zweimaliges Würfeln modelliert man durch S = {1, . . . , 6}2 und das Ereignis „Augensumme ist 4“ wird durch A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} beschrieben;
3
1
seine Wahrscheinlichkeit ist |A|
|S| = 36 = 12 .
(c) Beim Lotto „6 aus 49“ ist S = {1,...,49}
, und es liegt Gleichverteilung
6
vor mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu |S| = 49
= 13 983 816.
6
Das Ereignis „j ist eine der 6 gezogenen Zahlen“ ist gegeben durch Aj = {j} ∪ B :
(48
|A |
5)
6
= 49
≈
B ∈ {1,...,49}\{j}
und hat daher die Wahrscheinlichkeit |S|j = 49
5
(6)
0,1224.
(d) Das n-fache Werfen einer gezinkten Münze wird beschrieben durch
PnS =
{0, 1}n und P ({s}) = pe (1 − p)n−e für festes p ∈ [0, 1], wobei e := i=1 si
die Anzahl der 1-en in s = (s1 , s2 , . . . , sn ) ist. Hier liegt nur für p = 1/2
Gleichverteilung, also eine ungezinkte Münze, vor. Wenn Sie der Münze Ihres
Gegenspielers misstrauen, lassen Sie ihn zweimal werfen, und werten Sie (0, 1)
als Kopf und (1, 0) als Zahl, und bei den Ausgängen (0, 0) oder (1, 1) lassen
Sie die zwei Würfe wiederholen. Es liegt dann eine Gleichverteilung vor, denn
P ({(0, 1)}) = p(1 − p) = P ({(1, 0)}). [Dieser Trick wird zur Verbesserung von
physikalischen Zufallszahlengeneratoren benutzt.]
3.10 Erwartungswert und Varianz. Sei (S, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum [für S abzählbar unendlich müssten wir unten immer die Existenz
der Reihen voraussetzen]. Eine Abbildung X : S → R heißt Zufallsvariable.
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 13.05.2014
21
Wir bezeichnen mit
E(X) :=
X
X(s)P ({w})
s∈S
den Erwartungswert (oder Durchschnitt) von X und mit
V (X) := E((X − E(X))2 )
die Varianz (oder Streuung) von X. Die Abbildung E ist R-linear, daher gilt
V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 ,
denn V (X) = E(X 2 − 2XE(X) + E(X 2 )) = E(X 2 ) − 2E(X)2 + E(X)2 .
3.11 Beispiele. (a) Sei X die Augenzahl beim Würfeln. Dann gilt E(X) =
P6
P6
2(25+9+1)
3·7
7
1
7 2
1
= 35
i=1 i = 6 = 2 und V (X) = 6
i=1 (i − 2 ) =
6
6·4
12 ≈ 2,92.
(b) Sei S := Sn = Sym({1, . . . , n}) für n ∈ N und X(s) die Anzahl der
Fixpunkte von s ∈ S. Zur Berechnung von E(X) und V (X) betrachten wir die
Zufallsvariablen Xi : S → {0, 1} mit
(
0 falls s(i) 6= i
Xi (s) =
1 falls s(i) = i
für s ∈ S und i = 1, . . . , n. Es gilt E(Xi ) =
(n−1)!
n!
=
1
n
und daher
n
n
X
X
1
E(X) = E(
Xi ) =
E(Xi ) = n · = 1.
n
i=1
i=1
Weiter gilt
E(X 2 ) = E
X
n
2 Xi
i=1
=
n
X
E(Xi Xj ) =
i,j=1
und Xi2 = Xi , also E(Xi2 ) = E(Xi ) =
E(Xi Xj ) =
n
X
E(Xi2 ) + 2
i=1
1
n.
X
E(Xi Xj )
i<j
Für i 6= j ist
(n − 2)!
1 1
{s ∈ S : s(i) = i und s(j) = j} =
=
n!
n!
n(n − 1)
und zusammen für n ≥ 2
1
n
1
E(X ) = n · + 2
= 1 + 1 = 2,
n
2 n(n − 1)
2
also
V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 2 − 1 = 1.
Permutationen haben also im Durchschnitt einen Fixpunkt, oder man sagt
auch 1 ± 1 viele Fixpunkte.
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4
22
Inklusion und Exklusion
In diesem kurzen Abschnitt wollen wir ein weiteres Prinzip der Kombinatorik
behandeln:
4.1 Satz (Siebformel). Für endliche Mengen A1 , A2 , . . . , An gilt
n
X
\ [ |I|−1 (−1)
Ai .
Ai =
i=1
i∈I
∅6=I⊆{1,...,n}
Alternative Formulierung für endliches M ⊇ Ai mit Abkürzung
n
X
[
\ |I| M \
Ai .
(−1) Ai =
i=1
T
i∈∅
Ai := M :
i∈I
I⊆{1,...,n}
Beweis. Für n = 1 ist die Aussage klar. Wir führen Induktion über n und
nutzen die Induktionsvoraussetzung für A2 , . . . , An und A1 ∩ A2 , . . . , A1 ∩ An :
[
[
n
[
n
n
1.3(c)
|A1 ∪
Ai | = |A1 | + Ai − (A1 ∩ Ai )
i=2
i=2
\ i=2
\
X
X
= |A1 | +
(−1)|I|−1 Ai −
(−1)|I|−1 Ai .
i∈I
∅6=I⊆{2,...,n}
∅6=I⊆{2,...,n}
i∈{1}∪I
2
4.2 Bemerkung (Bonferroni-Ungleichungen).
Für endliche Mengen
A1 , A2 , . . . , An , ungerades u ∈ N und gerades g ∈ N gilt
n
m
X
X
[ \ Ai ≤ βu
mit
βm :=
(−1)k−1
A
βg ≤ i .
i=1
I∈({1,...,n}
) i∈I
k
k=1
Für u, g ≥ n gilt Gleichheit wegen 4.1. Man erhält z.B.
[
X
n
n
X
X
n
|Ai | −
|Ai ∩ Aj | ≤ Ai ≤
|Ai |.
i=1
i<j
i=1
i=1
4.3 Fixpunktfreie Permutationen. Wir wollen die Anzahl dn der Permutationen aus Sn ohne Fixpunkte (derangements)
bestimmen. Für Ai :=
T
{σ ∈ Sn : σ(i) = i} haben wir AI := i∈I Ai ∼
= Sym({1, . . . , n} \ I) für
I ⊆ {1, . . . , n}, also |AI | = (n − |I|)! nach 2.1. Mit Satz 4.1 folgt
n
[
X
dn = Sn \
Ai =
(−1)|I| (n − |I|)!
i=1
=
n
X
k=0
I⊆{1,...,n}
n
X
n
(−1)k
(−1)k
(n − k)! = n!
k
k!
k=0
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 13.05.2014
23
Für die Wahrscheinlichkeit dn /n! der Fixpunktfreiheit in Sn gilt demnach
∞
X (−1)k
dn
lim
=
= e−1 ≈ 0,37.
n→∞ n!
k!
k=0
Ferner haben wir mit der Restgliedabschätzung des Leibnizkriteriums
∞
X (−1)k Leibniz (−1)n+1 1
1
< n!
|dn − n!e−1 | = n!
(n + 1)! = n + 1 ≤ 2 ,
k! k=n+1
also ist dn die nächste bei n!/e liegende ganze Zahl.
4.4 Surjektive Abbildungen. Die Anzahl der surjektiven
Abbildungen
ei
Pk
l k
n
ner n-Menge auf eine k-Menge ist gegeben durch
(−1)
(k
−
l)
=
l=0 l
Pk
Pn
k−l k n
l n
n
(−1)
l . Insbesondere gilt n! =
l=0 (−1) l (n − l) und 0 =
l
Pkl=0
l k
n
(−1)
(k
−
l)
für
n
<
k;
siehe
3.3(b).
l=0
l
Beweis. Sei M = {1, . . . , k}{1,...,n} , also |M | = k n nach 3.2. Für l ∈ {1, . . . , k}
sei Al = {f ∈ M : lT6∈ im f } = ({1, . . . , k} \ {l}){1,...,n} . Wieder folgt |Al | =
(k−1)n und ebenso | l∈I Al | = (k−|I|)n für I ⊆ {1, . . . , k}. Die Siebformel 4.1
Sk
P
Pk
liefert |M \ l=1 Al | = I⊆{1,...,k} (−1)|I| (k − |I|)n = l=0 (−1)l kl (k − l)n
für die Menge der surjektiven Abbildungen.
2
4.5 Partitionen und Stirling-Zahlen. Für n, k ∈ N0 sei Sn,k die Anzahl
der Partitionen einer n-Menge, die aus k nichtleeren Teilmengen bestehen, also
Sn,k := |{X ⊆ 2{1,...,n} \ {∅} : X ist Partition von {1, . . . , n}, |X| = k}|.
Beachte S0,0 = 1 und S0,k := 0 für k ∈ N. Diese Zahlen heißen StirlingZahlen 2. Art (die Stirling-Zahlen 1. Art sind die Anzahlen sn,k der Permutationen aus Sn mit genau k Zyklen einschließlich der Länge 1).
Ist f : {1, . . . , n} → {1, . . . , k} surjektiv, so ist {f −1 (l) : l ∈ {1, . . . , k}} eine
Partition von {1, . . . , n} mit genau k nichtleeren Komponenten. Umgekehrt
bestimmt jede solche Partition genau k! solche surjektiven Abbildungen, denn
wir betrachten ungeordnete Partitionen.
Pk
Pk
Nach 4.4 gilt also k!Sn,k = l=0 (−1)l kl (k − l)n = l=0 (−1)k−l kl ln .
4.6 Einschub: Endliche Körper. Sei n eine natürliche Zahl, und für z ∈ Z
sei rn (z) ∈ {0, 1, . . . , n − 1} der eindeutig bestimmte Rest bei Division von z
durch n. Damit definieren wir eine Addition und Multiplikation auf Zn =
{0, 1, . . . , n − 1} durch a ⊕ b := rn (a + b) und a b := rn (a · b) und (Zn , ⊕, )
wird damit zu einem kommutativen Ring, dem Restklassenring modulo n. Es
ist Zn genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist; siehe Algebra WS11,
Satz 10.7.
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 15.05.2014
24
Sei nun K ein beliebiger Körper, z.B. der Restklassenkörper Zp für p ∈ P
wie oben, und sei f ∈ K[x] ein Polynom über K mit grad f ≥ 1. Analog
zur obigen Definition sei rf (g) der eindeutig bestimmte Rest bei Division von
g durch f mit grad rf (g) < grad f . Ganz analog zu Zn definieren wir auf
K[x]f := {g ∈ K[x] : grad g < grad f } eine Addition und Multiplikation durch
a⊕b := rf (a+b) = a+b und ab := rf (a·b) und erhalten einen kommutativen
Ring (K[x]f , ⊕, ), der genau dann ein Körper ist, wenn f ein irreduzibles
Polynom ist, d.h. aus f = gh mit g, h ∈ K[x] folgt grad g = 0 oder grad h = 0,
siehe Algebra WS11, Satz 10.4.
Ist K ein endlicher Körper, so gilt |K[x]f | = |K|grad f .
[Wie immer schreiben wir für ⊕ und meisten einfach + bzw. · .]
Beispiele. Es gilt R[x]x2 +1 ∼
= C, denn (ax + b) (cx + d) = rx2 +1 (ac(x2 + 1) +
(ad + bc)x + bd − ac) = (ad + bc)x + bd − ac. Der Ring Z4 ist kein Körper, denn
2 2 = 0, aber Z2 [x]x2 +x+1 = {0, 1, x, x + 1} mit x2 = x + 1 ist ein Körper
mit 4 Elementen.
4.7 Satz. (a) Für jeden endlichen Körper K ist die Ordnung |K| eine Primzahlpotenz, und umgekehrt gibt es zu jeder Primzahlpotenz ab 2 einen Körper
mit dieser Ordnung; zwei endliche Körper von gleicher Ordnung q sind isomorph. Man bezeichnet solch einen Körper mit Fq oder GF(q) von „GaloisFeld“.
(b) Genau dann hat Fpa mit p ∈ P einen Teilkörper der Ordnung q, wenn
q = pb und b | a; in dem Fall gibt es genau einen solchen Teilkörper.
(c) Die multiplikative Gruppe K ∗ = K \ {0} eines endlichen Körpers K ist
∗
∗
zyklisch, d.h. es gibt ein a ∈ K ∗ mit K ∗ = {a1 , a2 , . . . , a|K | } mit a|K | = 1.
Beweis. Zitate aus Algebra WS11: Satz 17.2, Satz 17.3., Satz 9.5.
2
Beispiele: Es gibt Körper der Ordnungen 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, . . . aber nicht
6 oder 10. Der Körper F128 = F27 hat nur die Teilkörper F2 , F128 wegen 7 ∈ P
und F256 = F28 hat genau die Teilkörper F2 , F4 F16 , F256 .
4.8 Irreduzible Polynome über endlichen Körpern. Sei K ein endlicher Körper mit q = |K| und IK (n) die Menge der irreduziblen normierten
Polynome in K[x] vom Grad n ∈ N und Iq (n) := |IK (n)|. Seien p1 , . . . , pr die
sämtlichen Primteiler von n. Dann gilt
Iq (n) =
1
n
X
I⊆{1,...,r}
(−1)|I| q nI
mit nI := Q
n
i∈I
pi
.
Beweis. Nach 4.7(b) hat L := Fqn einen zu Fq ∼
= K isomorphen Teilkörper,
und wir können daher K ⊆ L annehmen. Weil L∗ = L \ {0} eine Gruppe
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 15.05.2014
25
n
mit q n − 1 Elementen ist (oder mit 4.7(c)), gilt aq −1 = 1 für alle a ∈ L∗
n
und daher aq = a für alle a ∈ L. Also sind alle Elementen von L Nullstellen
n
des Polynoms g := xq −
Q x, und daher zerfällt g in paarweise verschiedene
Linearfaktoren, also g = a∈L x − a.
Wir betrachten die Menge
E := {a ∈ L : L ist einziger Teilkörper X mit K ∪ {a} ⊆ X ⊆ L}.
Gewöhnlich schreibt man K(a) = {h(a) : h ∈ K[x]} für den kleinsten Teilkörper von L, der K ∪ {a} enthält, es gilt also a ∈ E ⇐⇒ K(a) = L. Ist f ∈ K[x]
das Minimalpolynom von a ∈ E, so folgt f | g wegen g(a) = 0. Also zerfällt mit
g auch f über L in paarweise verschiedene Linearfaktoren. Da f irreduzibel ist,
folgt, dass f das Minimalpolynom all dieser Nullstellen ist. Ferner überlegt man
sich, dass K(a) ∼
= K[x]f gilt mit Isomorphismus h ∈ K[x]f 7→ h(a) ∈ K(a)
(siehe Algebra WS11, Satz 13.6). Es folgt grad f = n wegen |L| = |K|n , also
f ∈ IK (n).
Ist umgekehrt f ∈ IK (n), so ist x ∈ L0 := K[x]f eine Nullstelle von f im
Körper L0 . Wegen |L0 | = q n erhalten wir wie oben f | g, und daher zerfällt f
auch über L in Linearfaktoren der Form x − a. Zu all diesen Nullstellen a ∈ L
ist f Minimalpolynom, und wegen K(a) ∼
= L0 folgt a ∈ E.
Wir haben gezeigt, dass E partitioniert wird in n-Mengen, die aus Nullstellen
zu Polynomen f ∈ IK (n) bestehen, also gilt n · Iq (n) = |E|. Wir bestimmen
|E|: Die Elemente von L \ E liegen in maximalen echten Teilkörpern von L.
Nach 4.7(b) sind dies genau die Teilkörper
|Ai | = q n/pi = q n{i} für
T Ai von L mit
nI
i = 1, . . . , r. Für T
I ⊆ {1, . . . , r} folgt | i∈I Ai | = q wegen ggTi∈I n/pi = nI
mit 4.7(b), denn i∈I Ai ist der größte gemeinsame Teilkörper der Ai für i ∈ I,
und daher
X
|E| =
(−1)|I| q nI .
I⊆{1,...,r}
2
Beispiele. Es gilt I2 (2) = 21 (22 − 21 ) = 1 mit x2 + x + 1 ∈ IF2 (2), I2 (6) =
54
1 8
240
1 6
3
2
1
4
6 (2 − 2 − 2 + 2 ) = 6 = 9 und I2 (8) = 8 (2 − 2 ) = 8 = 30. Die
einfachste Abschätzung nach Bonferroni [oder |E| ≤ |L| in obigem Beweis]
liefert Iq (n) ≤ n1 q n , und für große n ist diese Abschätzung recht gut. Da es
genau q n normierte Polynome vom Grad n gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für
Irreduzibilität also etwa 1/n.
4.9 Bemerkung. Es gilt die Rekursionsformel
X
qn =
dIq (d),
d|n
denn das Produkt der normierten irreduziblen Polynome über Fq vom Grad
n
d | n ist genau g = xq − x (Algebra WS11, Übungsaufgabe 12.2). [Man kann
Sie auch rein analytisch mit erzeugenden Funktionen beweisen; siehe Cameron,
Combinatorics, Abschnitt 4.7.]
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 15.05.2014
VI
26
Übungsaufgaben
1.1 Aufgabe. Beweisen Sie die folgende Aussage: Für n, m ∈ N0 existiert
genau dann eine Bijektion f : {1, . . . , n} → {1, . . . , m}, wenn n = m gilt.
1.2 Aufgabe. Die folgende Figur ist aus zwei Quadraten und vier gleichseiten
Dreiecken mit gleicher Seitenlänge zusammengesetzt. Finden Sie eine Zerlegung in 7 kongruente Teile (das sind bis auf Verschiebungen, Drehungen oder
Spiegelungen gleiche Teile).
1.3 Aufgabe. Zwei Spieler spielen folgendes Spiel. Als Vorbereitung werden
sechs Punkte auf ein Blatt Papier gezeichnet, so dass keine drei auf einer Geraden liegen. Jeder Spieler hat eine Farbe, und die Spieler zeichnen abwechselnd
eine Strecke mit ihrer Farbe zwischen zwei noch nicht verbundene Punkte. Verloren hat, wer zuerst ein Dreieck komplett in seiner Farbe fertig stellen muss.
Zeigen Sie, dass ein Unentschieden nicht möglich ist.
1.4 Aufgabe. Zeigen Sie, dass eine Menge M genau dann endlich ist, wenn
es eine Abbildung f : M → M gibt, so dass für jede Teilmenge X ⊆ M die
Inklusion f (X) ⊆ X nur für die offensichtlichen Fälle X = ∅ oder X = M gilt.
2.1 Aufgabe. Zeigen Sie, dass eine endliche nichtleere Menge genauso viele
Teilmengen gerader wie ungerader Länge hat.
2.2 Aufgabe. Endlich viele Personen begrüßen sich mit einem Handschlag.
Zeigen Sie, dass es zu jedem Zeitpunkt zwei Personen gibt, die der gleichen
Anzahl von Leuten die Hände geschüttelt haben.
2.3 Aufgabe. Sei n ∈ N, und seien a1 , a2 , . . . , an ∈ Z. ZeigenP
Sie, dass es eine
nichtleere Teilmenge I ⊆ {1, . . . , n} gibt, so dass die Summe i∈I ai durch n
teilbar ist.
2.4 Aufgabe. In der Ebene sei ein regelmäßiges n-Eck gegeben, n ≥ 3. Dabei
seien R viele Ecken rot und B viele Ecken blau, so dass R + B = n gilt. Eine
Kante sei rot, wenn sie zwischen zwei roten Punkten liegt und blau, wenn
sie zwischen zwei blauen Punkten liegt. Kanten, die zwischen zwei Punkten
verschiedener Farbe liegen, seien farblos. Sei r die Anzahl der roten und b die
Anzahl der blauen Kanten. Zeigen Sie, dass R − B = r − b gilt.
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 15.05.2014
27
3.1 Aufgabe. Das Letzte Lexikon zählt in alphabetischer (lexikographischer)
Reihenfolge alle Wörter auf, welche jeden der 26 Grossbuchstaben genau einmal
enthalten; es beginnt demnach mit dem Wort ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
und es endet mit dem Wort ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA.
(a) Wie lautet das letzte Wort der ersten Hälfte des Letzten Lexikons?
(b) Welches Wort folgt unmittelbar auf den Eintrag
JMZORTXLBPSYWVINGDUEQKHFCA?
3.2 Aufgabe. Erklären Sie wie folgender Trick mathematisch funktioniert:
Die Zauberin benutzt ein französisches Blatt mit 52 Karten (also mit 13 Kartenwerten in jeweils 4 Farben) und fordert eine beliebige Person im Publikum
auf, aus dem Blatt 5 Karten zufällig zu entnehmen und sie verdeckt ihrem
Assistenten zu geben. Dieser wählt nach Inspektion eine Karte aus und gibt
sie verdeckt ins Publikum zurück. Die übrigen 4 Karten deckt er nacheinander
auf und die Zauberin nennt daraufhin Farbe und Kartenwert der Karte, die ins
Publikum zurück ging. Dabei tauschen die Zauberin und ihr Assistent keine
weiteren Informationen aus.
Tipp: Es ist hilfreich, an das Schubfachprinzip und Permutationen von drei
Elementen zu denken.
3.3 Aufgabe. Zeigen Sie, dass das Produkt von n aufeinander folgenden ganzen Zahlen durch n! teilbar ist.
3.4 Aufgabe. Bestimmen Sie für k, n ∈ N die Anzahl alle k-Teilmengen von
{1, . . . , n}, deren verschiedene Elemente mindestens den Abstand 3 haben.
4.1 Aufgabe. Zeigen Sie, dass eine natürliche Zahl n ∈ N genau dann eine
Primzahl ist, wenn alle Binomialkoeffizienten nk mit 1 ≤ k ≤ n − 1 durch n
teilbar sind.
4.2 Aufgabe. Sei M eine endliche n-Menge. Finden Sie einen möglichst einfachen Ausdruck (ohne Summenzeichen) für
(a) die Anzahl der Paare (A, B) ∈ 2M × 2M mit A ∩ B = ∅;
(b) die Anzahl der Teilmengen A von M mit |A| ≡ 0 mod 4.
(Tipp: Setzen Sie in der binomischen Formel (x + 1)n = . . . für x geeignete
komplexe Zahlen ein.)
4.3 Aufgabe. Für n ∈ N0 definieren wir die n-te Catalan-Zahl durch
1
2n
2n
2n
Cn :=
=
−
.
n+1 n
n
n+1
(a) Zeigen Sie, dass Cn die Anzahl der Zeichenketten der Länge 2n bestehend
aus den Zeichen „(“ und „)“ mit korrekter Klammerung ist; diese Zeichenketten haben also n öffnende und n schließende Klammern, und jedes
Anfangsstück enthält höchstens so viele schließende wie öffnende Klammern.
15.05.2014–15:31
Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik — 15.05.2014
(b) Leiten Sie die Rekursionsgleichung Cn+1 =
n
P
28
Ck Cn−k für n ∈ N0 her.
k=0
4.4 Aufgabe. Sieben Geometer und fünf Algebraiker sollen auf einer Konferenz in einer Reihe mit zwölf Plätzen sitzen. Wie viele Möglichkeiten gibt
es, die Sitzplätze so zu verteilen, dass kein Algebraiker neben einem anderen
Algebraiker sitzt? Wie viele Möglichkeiten der Sitzverteilung gibt es, so dass
kein Geometer neben einem anderen Geometer sitzt?
5.1 Aufgabe. Sei e =
∞
P
k=0
1
k!
die eulersche Zahl und für n ∈ N sei fn die
Anzahl der Folgen der Länge 0 bis n von verschiedenen Zahlen aus {1, 2, . . . , n}.
Zeigen Sie fn = be · n!c.
5.2 Aufgabe. Sei k ∈ N.
(a) Zeigen Sie, dass jedes n ∈ N0 eine eindeutige Darstellung der Form
xk
xk−1
x2
x1
n=
+
+ ··· +
+
k
k−1
2
1
mit xi ∈ N0 und xk > xk−1 > · · · > x2 > x1 für i = 1, . . . , k besitzt.
(b) Beweisen Sie nun, dass Nk0 eine abzählbare Menge ist.
5.3 Aufgabe. Eine Warenlieferung enthält 50 intakte und 10 defekte Stücke.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Stichprobe vom Umfang
10
(a) genau zwei defekte Stücke enthält?
(b) mindestens zwei defekte Stücke enthält?
5.4 Aufgabe. Angenommen Sie spielen Lotto »6 aus 49« und ein Bekannter
schlägt vor, dass er Ihnen zwei Euro gibt, falls keine der gezogenen sechs Zahlen
mit keiner der sechs getippten Zahlen übereinstimmt; andernfalls geben Sie ihm
einen Euro. Würden Sie diesen Deal eingehen?
15.05.2014–15:31
29
Index
Abbildungen
Laplace-Verteilung, 20
injektive, 19
Lehrsatz
abzählbarer Wahrscheinlichkeitsraum,
binomischer, 11
19
multinomischer, 17
Abzählung, 6
Mächtigkeit, 6, 14
Approximationssatz von Dirichlet, 9
n-Menge, 6
Binomialkoeffizient, 11
Multimenge, 14, 19
binomischer Lehrsatz, 11
Multinomialkoeffizienten, 17
Bonferroni-Ungleichungen, 22
multinomischer Lehrsatz, 17
Catalan-Zahlen, 17
Dirichlet-Prinzip, 9
doppelte Abzählung, 10
Elementarereignisse, 20
endlich, 6
Ereignisse, 20
unabhängig, 20
Erwartungswert, 21
Exklusion, 22
Faktorielle
fallende, 10
steigende, 10
Fakultät, 10
fallende Faktorielle, 10
Gammafunktion, 10
geometrische Reihe, 16
Gesamtgewicht, 14
Gewicht, 14
gleichmächtig, 7
Gleichverteilung, 20
Größe, 6
Häufigkeit, 14
injektive Abbildungen, 19
Inklusion, 22
Inklusion und Exklusion, 22
irreduzibles Polynom, 24
Partition, 8
Pascal-Dreieck, 12
Permutationen, 10
Polynom
irreduzibel, 24
Polynommethode, 15
Potenzmenge, 6
Prinzip der doppelten Abzählung, 10
Restklassenring, 23
Schubfachprinzip, 8
Sn , 10
steigende Faktorielle, 10
Stirling-Zahlen, 23
Stirlings Formel, 11
Sym M , 10
Symmetrische Gruppe, 10
unabhängige Ereignisse, 20
Ungleichungen von Bonferroni, 22
Vandermonde-Identität, 15
Varianz, 21
Wahrscheinlichkeitsraum
abzählbarer, 19
Wahrscheinlichkeitsverteilung, 20
Zufallsvariable, 20
Länge, 6
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