Wir entwickeln zunächst die Funktion in eine Max Laurinsche Reihe:

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Annäherung von Funktionen
Wir entwickeln zunächst die Funktion f ( x) in eine Mac Laurinsche Reihe:
f ( x)  f (0) 
f '(0) 1 f ''(0) 2
f ( n ) (0) n
x 
x  ... 
x  ...
1!
2!
n!
Durch Abbruch dieser Reihe nach der n-ten Potenz erhalten wir das folgende
Näherungspolynom n-ten Grades für (auch Mac Laurinsches Polynom gennant):
f n ( x)  f (0) 
f '(0) 1 f ''(0) 2
f ( n ) (0) n
x 
x  ... 
x
1!
2!
n!
Die Dabei vernachlässigten (unendlichen vielen) Glieder fassen wir zu einem Restglied
Rn ( x) zusammen:
Rn ( x) 
f ( n1) (0) n1 f ( n 2) (0) n 2
x 
x  ...
(n  1)!
(n  2)!
Das Restglied erfasst somit alle Reihengleider der Entwicklung ab der (n+1)-Potenz. Die
Funktion f ( x) unterschiedet sich also von ihrem Näherungspolynom f n ( x) durch das
Restglied Rn ( x) . Daher gilt:
f ( x)  f n ( x)  Rn ( x) 
 f (0) 
f '(0) 1 f ''(0) 2
f ( n ) (0) n
x 
x  ... 
x  Rn ( x)
1!
2!
n!
Diese Darstellungsform der Funktion f ( x) als Summe aus einem Polynom n-ten Grades und
einem Restglied wird allgemein als Taylorsche Formel bezeichnet.
Taylorsche Formel
f ( x)  f n ( x)  Rn ( x)
Dabei bedeuten:
f n ( x)
Rn ( x)
Max Laurinsches Polynom vom Grade n.
Restglied
Die Güte der Mac Laurinschen Näherungspolynome lässt sich dabei durch Hinzunahme
weiterer Glieder stets noch verbessern. Gleichzeitig verliert das Restglied Rn ( x) immer mehr
an Bedeutung und wird schliesslich vernachlässigbar klein. Das Restglied beschreibt somit
den Fehler, den man begeht, wenn man die Funktion f ( x) durch ihr Näherungspolynom
f n ( x) ersetzt. Es ist in der Praxis jedoch nahezu unmöglich, den exakten Wert des Restgliedes
Rn ( x) zu bestimmen. Der durch die Vernachlässigung des Restgliedes entstandene Fehler
kann daher in der Regel nur abgeschätzt werden. Meist wird hierzu die folgende von
Lagrange stammende Form des Restgliedes Rn ( x) herangezogen:
Restglied nach Lagrange
f ( n1) ( x) n1
Rn ( x) 
x
(n  1)!
(0    1)
Anmerkung:
Neben der Lagrangeschen Form kennt man noch weitere Formen des Restgliedes, z.B. die
nach Cauchy und Euler bennanten Formen.
Geometrische Deutung der Näherungspolynome:
Das Restglied Rn ( x) verschwindet stets für x  0 : Rn (0)  0 . Daher stimmen Funktionswert
f ( x ) und Näherungspolynom f n ( x) an dieser Stelle in ihren Funktions- und
Ableitungswerten bis zur n-ten Ordnung überein. Es gilt somit für jedes n 
f (0)  f n (0) und f ( k ) (0)  f n ( k ) (0)
0
.
( k  1, 2,..., n)
Wir deuten diese Gleichungen geometrisch wie folgt:
Die Gleichung besagt, dass alle Näherungspolynome durch den Kurvenpunkt P  (0; f (0))
verlaufen, in dessen Umgebung die Reihenentwicklung vorgenommen wurde. Aus der
zweiten Gleichung folgern wir speziell für n  1 bzw. n  2 :
Für n = 1:
Die Kurve y  f ( x) wird in der Umgebung von P näherungsweise durch ihren
Kurventangente, d.h. durch die lineare Funktion ersetzt.
f1 ( x)  f (0) 
f '(0)
x
1!
Man bezeichnet diesen Vorgang auch als „Linearisierung einer Funktion“.
Für n = 2:
Die Kurve y  f ( x) wird jetzt durch eine quadratische Funktion, d.h. durch eine Parabel mit
der Funktionsgleichung
f 2 ( x)  f (0) 
f '(0) 1 f ''(0) 2
x 
x
1!
2!
angenähert.
Kurve und Parabel besitzen dabei in P eine gemeinsame Tangente und gleiche
Kurvenkrümmung:
Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen:
Näherungspolynome einer Funktion (Mac Laurinsche Polynome)
Von einer Funktion f ( x) lassen sich mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung wie folgt
Näherungspoynome gewinnen(sog. Max Laurinsche Polynome):
1. Zunächst wird f ( x) um den Nullpunkt x0  0 in eine Mac Laurinsche Rehe
entwickelt.
2. Durch Abbruch der Rehe nach der n-ten Potenz erhält man dann ein Polynom
f n ( x) vom Grade n, das in der Umgebung des Nullpunktes näherungsweise
das Verhalten der Funktion f ( x) beschreibt:
f n ( x)  f (0) 
f '(0) 1 f ''(0) 2
f ( n ) (0) n
x 
x  ... 
x
1!
2!
n!
3. Fehlerabschätzung: Der durch Abbruch der Potenzreihe entstandene Fehler ist
durch das Restglied Rn ( x) gegeben und lässt sich in manchen Fällen mit
Hilfe der Lagrangeschen Restgliedformel abschätzen. Er liegt in der
Grössenordnung des grössten Reihengleides, das in der Näherung nicht mehr
berücksichtigt wurde.
Anmerkungen:
1) Grundsätzlich gilt: Die 1. Näherung von f ( x) erhalten wir durch Abbruch der
Potenzreihe nach dem ersten nicht-konstanten Glied, die 2. Näherung durch Abbruch
nach dem zweiten nicht-konstanten Glied usw..
2) Wird f ( x) durch ein Polynom 1. Grades, d.h. durch eine lineare Funktion angenähert,
so sagt man, man habe die Funktion f ( x) linearisiert. Geometrische Deutung: Die
Kurve wird in der Umgebung der Stelle x0  0 durch die dortige Kurventangente
ersetzt.
3) Allgemein Gilt: Die Güte einer Näherungsfunktion ist umso besser, je mehr
Reihenglieder berücksichtigt werden.
4) Alle Aussagen gelten sinngemäss auch für Taylorsche Reihenentwicklungen, d.h.
Potenzreihenentwicklungen um ein (beliebiges) Entwicklungszentrum x0 . Die
Näherungsfunktionen heissen dann Taylorsche Polynome und sind vom Typ:
f n ( x)  f ( x0 ) 
f '( x0 )
f ''( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 )1 
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n
1!
2!
n!
5) Eine Funktion f ( x) ist unter dem folgenden Voraussetzungen in eine (unendliche)
Mac Laurinsche Reihe entwickelbar:
1.
f ( x ) ist in einer gewissen Umgebung des Nullpunktes x0  0 beliebig oft
differenzierbar.
2. Das (Lagrangesche) Restglied Rn ( x) verschwindet beim Grenzübergang n  
d.h. es gilt:
lim Rn ( x)  0
n 
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