Fachbereich Wirtschaft Mathematik im Studium der

Prof. Dr. Katharina Belling-Seib
Tel: 04921 / 807 1225
eMail: [email protected]
Christian Kiwall
eMail: [email protected]
Fachbereich Wirtschaft
Emden, Mai 2014
Mathematik im Studium der Betriebswirtschaftslehre
Liebe angehende Studentin,
lieber angehender Student,
Ihnen wird mit dieser Post ein Studienplatz an unserer Hochschule, der Hochschule Emden /
Leer, angeboten. Dazu zunächst von meiner Seite herzlichen Glückwunsch!
Ich wende mich mit diesem Schreiben an Sie, weil ich das Fach Mathematik unterrichte.
Dieses Fach gehört in allen wirtschaftswissenschaftlichen Studiengängen – gleich wo Sie studieren – zu den schwierigeren Fächern. Zudem wird die Mathematik häufig unterschätzt.
Die Mathematik besitzt im Betriebswirtschaftsstudium einen wichtigen Stellenwert. Neben zwei
rein mathematischen Lehrveranstaltungen in den beiden ersten Semestern gibt es Fächer mit
einem hohen mathematischen Anteil wie Volkswirtschaftslehre und Statistik. Hinzu kommt, dass
es in fast jedem Teilgebiet der Betriebswirtschaft mathematische Anwendungen gibt.
Im Vergleich zu anderen Fachhochschulen sind an der Hochschule Emden/Leer die Anforderungen an die mathematischen Kompetenzen der Studierenden nicht besonders hoch. Gleichwohl erweist sie sich regelmäßig für einige Studierende als große Hürde, denn viele bringen
zum Studium nicht die erforderlichen mathematischen Vorkenntnisse mit. Gehören Sie dazu?
Damit Sie sich selbst testen können finden Sie nachfolgend Aufgaben aus 10 verschiedenen
Bereichen der Mathematik. Diese Aufgaben sollten Sie lösen können, und zwar mit einer gewissen Geläufigkeit, denn alle Bereiche sind für ein Betriebswirtschaftsstudium wichtig.
Schätzen Sie sich selber ein:
1. Gruppe:
2. Gruppe:
3. Gruppe:
Ihre Antworten sind nur zu <50% richtig:
Wenn Sie zu dieser Gruppe gehören, sollten Sie viel Zeit einplanen, um die bestehenden Lücken zu schließen. Je eher Sie damit anfangen, umso besser. Zur
Ergänzung empfehle ich die Teilnahme an Mathe0 (siehe nachfolgend).
Ihre Antworten sind zu 50 – 80% richtig:
Sie entdecken gewisse Wissenslücken, von denen Sie aber annehmen, dass Sie
mit überschaubarem Aufwand geschlossen werden können.
Ich empfehle Ihnen die Teilnahme an Mathe0 (siehe nachfolgend).
Ihre Aufgaben sind zu 80 – 100% richtig:
Herzlichen Glückwunsch. Wenn Sie nun kontinuierlich im Unterricht mitarbeiten,
dürften die Mathevorlesungen für Sie kein Problem sein.
Belling-Seib: Wie viel Mathematik braucht man im BW-Studium
Insbesondere wenn Sie zu Gruppe 1 oder 2 gehören, bieten wir Ihnen zur Auffrischung Ihrer
Mathe-Kenntnisse und dem Schließen von Lücken einen Mathematik-Vorkurs an:
Mathe0, ganztägig im Zeitraum: 8. September – 19. September 2014.
Wer teilnehmen möchte, schicke bitte Herrn Kiwall oder mir möglichst rasch eine Mail.
Unsere Mail-Anschriften finden Sie im Briefkopf.
Über diese Mail-Anschriften können Sie auch Musterlösungen für die nachfolgenden Mathematik-Aufgaben anfordern – urlaubsbedingt kann es in den Monaten Juli/August mal 2-3 Tage
dauern, bis die Antwort kommt.
Und nun
viel Erfolg bei den Mathematik-Aufgaben
und hoffentlich bis bald!
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Belling-Seib: Wie viel Mathematik braucht man im BW-Studium
Mathematik-Aufgaben,
die Studienanfänger/innen lösen können sollten, um den mathematischen Lehrveranstaltungen
im Rahmen betriebswirtschaftlicher Studiengänge folgen zu können. Ein zeitlicher Rahmen wird
nicht vorgegeben; die Aufgaben sollten flüssig gelöst werden können.
Die Aufgaben sind mit Ausnahme der Aufgaben 5.3, 7.4 und 8.4.3 möglichst ohne Taschenrechner zu lösen.
Sollten Ihnen einige Aufgaben bekannt vorkommen, so mag es daran liegen, dass ich bei der
Zusammenstellung der Aufgaben auf einen über Jahre gewachsenen Fundus von Aufgaben
zurückgegriffen habe, deren Ursprung nicht dokumentiert ist.
1.
Grundrechenarten
1.1. Fassen Sie soweit wie möglich zusammen:
1.1.1.
2∙5+3∙4
1.1.2.
-2∙(3 – 5) + 7
1.1.3.
-3a + b + 6a -4b
1.2. Schreiben Sie ohne Klammern und fassen Sie so weit wie möglich zusammen:
1.2.1.
-2x ∙ (-3y)
1.2.2.
6c+7d –8(c - d)
1.3. Setzen Sie die folgenden Beschreibungen jeweils in eine algebraische Rechenvorschrift
um. Beispiel: Das Doppelte einer Zahl vermehrt um 3. Die Antwort lautet dann: 2x + 3,
wobei x für die Zahl steht.
1.3.1.
Die Hälfte einer Zahl vermehrt um 5
1.3.2.
Das Dreifache der Summe aus einer Zahl und 7.
1.4. Acht Kinokarten kosten 72€. Wie viel kostet eine?
Formulieren Sie die Bestimmungsgleichung und lösen Sie sie.
2.
Bruchrechnung:
2.1. Berechnen Sie ohne Taschenrechner; die Ergebnisbrüche sind bestmöglich zu kürzen
2.1.1.
2.1.2.
2.2. Für das Studienjahr 2012/13 wurden im Fach Betriebswirtschaft 48 Studentinnen, also
weibliche Studierende, für das erste Semester immatrikuliert; das sind 4/11 (vier Elftel)
aller immatrikulierten Studierenden. Wie hoch ist die Gesamtzahl an Studierenden, die
für das erste Semester immatrikuliert wurden?
3
Belling-Seib: Wie viel Mathematik braucht man im BW-Studium
3.
Prozentrechnung/Dreisatz
3.1. 400 g Rinderfilet (Bio) kosten 32€. Wie viel kosten 300g?
3.2. Für ein T-Shirt müssen in Österreich 24€ bezahlt werden. Wie hoch ist die enthaltene
Mehrwertsteuer, wenn der Mehrwertsteuersatz bei 20% liegt.
3.3. Der Benzinpreis steigt am Montag um 10%. Am Dienstag sinkt er um 10%. Ist der Benzinpreis danach niedriger, höher oder gleich dem Preis vor der Preiserhöhung am Montag?
4.
Logik/Wahrscheinlichkeitsrechnung
4.1. Beim Spiel Mensch-ärgere-Dich-nicht darf ausrücken, wer eine Sechs würfelt. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, beim dritten Mal eine Sechs zu würfeln?
4.2. Was ist die Verneinung von „In der Nacht sind alle Katzen grau“?
Kreuzen Sie von den nachfolgenden Aussagen diejenige(n) an, die Sie für die/eine korrekte Verneinungen halten.
A
In der Nacht sind nicht alle Katzen grau.
B
Am Tag ist keine Katze grau.
C
Es gibt eine Katze, die in der Nacht nicht grau ist.
D
In der Nacht sind alle Katzen nicht grau.
4.3. Gerd, Karl und Carsten kaufen sich jeder ein neues Auto. Es handelt sich um ein rotes,
ein grünes Auto und ein Cabriolet. Sie bezahlen für die Autos Preise von 20000 €,
30000 € und 40000 €.
1
2.
3.
4.
Gerds Auto kostet 10000 Euro weniger als Carstens Wagen.
Das rote Auto ist nicht das billigste und das Cabriolet nicht das teuerste Fahrzeug
Karls Auto ist nicht das teuerste
Carsten hat nicht das grüne Auto und Karl nicht das Cabriolet gekauft.
Welches Auto hat Gerd zu welchem Preis gekauft?
5.
Potenzen
5.1. Welche der folgenden Aufgaben hat das Ergebnis -16?
A
(-2)4
B
-24
C
(-4)∙(-4)
D
-4∙4.
5.2. Berechnen Sie ohne Taschenrechner:
5.2.1
23 ∙ 3
5.2.2
(23)2
5.2.3
5.2.4
22 + 32
4
Belling-Seib: Wie viel Mathematik braucht man im BW-Studium
5.3. Zur Feier des Firmenjubiläums hat sich die Geschäftsführerin eine Belohnung für die
treuen Mitarbeiter ausgedacht. Für das erste Firmenjahr legt sie eine Kaffeebohne bereit, für das zweite Jahr verdoppelt sie die Menge des ersten Jahres, als 2 mal 1 Kaffeebohne. Für das dritte Jahr verdoppelt sie die Anzahl der Bohnen des Vorjahres, also
2 mal 2 Kaffeebohnen. Für jedes weitere Jahr fährt sie mit der Verdoppelung der Vorjahresanzahl fort. Die auf diese Weise erhaltene Menge Kaffee möchte sie an die 348
Mitarbeiter verschenken.
Wie viele Kaffeebohnen kommen nach 25 Jahren zusammen?
Angenommen 136 Bohnen wiegen ca. 25 g. Wie viele Kaffeebohnen kommen auf ein
Kilogramm?
Wie viel Kaffee bekommt jeder Mitarbeiter zum Firmenjubiläum geschenkt?
6.
Wurzeln
6.1. Berechnen Sie ohne Taschenrechner bzw. fassen Sie soweit wie möglich zusammen:
6.1.1
√
6.1.2
√
√
6.1.3
√
√
∙√
√
6.1.4
√
6.2. Schreiben Sie die nachfolgenden Terme in die Potenzschreibweise xa um
6.2.1
√
6.2.2
6.2.3
6.2.4
√
Kennen Sie Situationen, in denen die Potenzschreibweise hilfreicher ist als die
gegebene? Wenn ja, Nennen Sie sie.
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Belling-Seib: Wie viel Mathematik braucht man im BW-Studium
7.
Lineare Gleichungen und Ungleichungen
7.1. Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden linearen Gleichungen, jeweils gilt G = IR.
7.1.1.
5x – 7 = 13
7.1.2.
3(x + 5) = 36
7.1.3.
7.2. Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, die die jeweiligen Ungleichung lösen:
7.2.1. x + 5 < -2
7.2.2. 3x + 7 > 19
7.3. Für ein Pop-Konzert können viertausend Tickets verkauft werden. Von diesen werden x
Tickets zu 10€ pro Stück verkauft. Dreimal so viele werden für 30€ je Stück verkauft
und der Rest für 50 € je Stück. Wie hoch ist der €-Betrag, der aus dem Verkauf der Tickets eingenommen wird, vorausgesetzt alle Tickets können verkauft werden?
Erstellen Sie einen algebraischen Ausdruck für die Einnahmen aus dem Ticketverkauf.
7.4. Frau Zimmer will sich einen neuen Kühlschrank kaufen. Sie hat zwei Modelle in die engere Auswahl genommen. Das Modell TK 225 kostet 769€ und ist ein Gerät der Energieeffizienzklasse A. Es verbraucht pro Jahr etwa 315 kWh (Kilowattstunden) Strom.
Das Modell TK 228 EcoPlus kostet 917€ und ist ein Gerät der Energieeffizienzklasse
A++. Es verbraucht pro Jahr etwa 240 kWh Strom. Zurzeit muss Frau Zimmer für eine
Kilowattstunde Strom 0,25€ bezahlen. Nach wie vielen Jahren wird sich der sparsamere, aber teurere Kühlschrank rentiert haben?
Bitte runden Sie auf ganze Jahre auf.
8.
Polynome
8.1. Wie hoch ist der Grad eines Polynoms, das entsteht, wenn ein Polynom mit Grad m und
ein Polynom mit Grad n miteinander multipliziert werden?
8.2. Stellen Sie das nachfolgende Polynom in der Summenform dar, also in der Form T1 +
T2 + …. + T3, wobei T1, T2, T3 mathematische Terme sind.
( ) (
)(
) (
)
8.3. Stellen Sie die nachfolgenden Polynome – sofern möglich - in der Produktform dar, also in der Form T1∙T2∙….∙T3.
8.3.1.
( )
8.3.2.
( )
8.4. Bestimmen Sie für die folgenden Polynome die Nullstellen:
8.4.1.
p(x) =10x2 – 55x – 30
8.4.2.
p(x) = (a+b∙x)∙(x+2)
6
Belling-Seib: Wie viel Mathematik braucht man im BW-Studium
8.4.3. Ein Großhandelsunternehmen für Haarshampoo hat durch seine Marktforschungsabteilung für einen Markt die folgende Angebots- und Nachfragefunktionen
für die wöchentliche Angebots bzw. Nachfragemenge x ermittelt:
Angebotsfunktion:
, Nachfragefunktion:
;
p bezeichnet jeweils den Preis je Shampoo-Flasche.
Wie viele Shampoo-Flaschen müssen angeboten werden, damit die Nachfrage genau gedeckt wird?
Zu welchem Preis je Shampoo-Flasche deckt das Angebot genau die Nachfrage?
8.5. Ein Anbieter von gut nachgefragten Tablet-Computern hat Marktuntersuchungen
durchgeführt und die gesammelten Daten mit Hilfe von statistischen Verfahren ausgewertet. Die nachfolgende Tabelle zeigt die gesammelten Daten, wobei p der Preis je
Computer ist, zu dem x Tsd Computer verkauft werden können
x [Tsd]
2
5
10
14
21
p [EUR]
1.190
1.030
815
695
435
Mit Hilfe einer Regressionsanalyse als statistisches Analyseverfahren wurde die folge
Preis-Nachfolge-Funktion ermittelt:
p(x) = 1.190 – 36x, für 1 ≤ x ≤ 25.
Die Ertragsfunktion lautet dann E(x) = x∙p(x) = 1.190x – 36 x2 und hat denselben Definitionsbereich wie die Preis-Nachfrage-Funktion.
9.
8.5.1.
Zeichnen Sie die Daten in der Tabelle in ein Koordinatensystem.
8.5.2.
Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem die Preis-Nachfrage-Funktion und
die Ertragsfunktion.
8.5.3.
Bestimmen Sie den Preis bzw. die Preise, zu denen der Ertrag Null beträgt.
Bruchgleichungen und –ungleichungen, gebrochen rationale Funktionen
9.1. Kürzen Sie den folgenden Ausdruck möglichst weitgehend:
9.2. Berechnen Sie und kürzen Sie den folgenden Ausdruck möglichst weitgehend:
9.3. Welches Vorzeichen hat der nachfolgende Ausdruck in Abhängig der für x eingesetzten
Werte oder anders formuliert: Bestimmen Sie die reellen Zahlen, für die der nachfolgende Ausdruck positiv bzw. negativ sind:
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Belling-Seib: Wie viel Mathematik braucht man im BW-Studium
(
)
9.4. Ein Unternehmen, das Computer fertigt, hat ermittelt, dass ein neuer Mitarbeiter bzw.
eine neue Mitarbeiterin im Schnitt pro Tag N(t) Computer zusammensetzen kann,
nachdem er/sie t Tage diesen Job ausgeübt hat:
10.
( )
9.4.1.
Skizzieren Sie den zugehörigen Graphen für t mit 0 ≤ t ≤100 einschließlich aller senkrecht und/oder waagereicht verlaufenden Asymptoten (senkrechte
Asymptoten treten an Polstellen auf).
9.4.2.
Welchem Wert nähert sich N(t) an, wenn t immer größer wird?
Ableitungen
10.1.
Bilden Sie die erste Ableitung zu folgenden Funktionen:
10.1.1.
( )
10.1.2.
f(x) =
10.2.
-
Bestimmen Sie für die Ertragsfunktion aus Aufgabe 8.5 diejenige Mengen x; für die
10.2.1.
der Ertrag maximal ist,
10.2.2.
der Grenzertrag positiv ist.
8