Annäherung von Funktionen Wir entwickeln zunächst die Funktion f ( x) in eine Mac Laurinsche Reihe: f ( x) f (0) f '(0) 1 f ''(0) 2 f ( n ) (0) n x x ... x ... 1! 2! n! Durch Abbruch dieser Reihe nach der n-ten Potenz erhalten wir das folgende Näherungspolynom n-ten Grades für (auch Mac Laurinsches Polynom gennant): f n ( x) f (0) f '(0) 1 f ''(0) 2 f ( n ) (0) n x x ... x 1! 2! n! Die Dabei vernachlässigten (unendlichen vielen) Glieder fassen wir zu einem Restglied Rn ( x) zusammen: Rn ( x) f ( n1) (0) n1 f ( n 2) (0) n 2 x x ... (n 1)! (n 2)! Das Restglied erfasst somit alle Reihengleider der Entwicklung ab der (n+1)-Potenz. Die Funktion f ( x) unterschiedet sich also von ihrem Näherungspolynom f n ( x) durch das Restglied Rn ( x) . Daher gilt: f ( x) f n ( x) Rn ( x) f (0) f '(0) 1 f ''(0) 2 f ( n ) (0) n x x ... x Rn ( x) 1! 2! n! Diese Darstellungsform der Funktion f ( x) als Summe aus einem Polynom n-ten Grades und einem Restglied wird allgemein als Taylorsche Formel bezeichnet. Taylorsche Formel f ( x) f n ( x) Rn ( x) Dabei bedeuten: f n ( x) Rn ( x) Max Laurinsches Polynom vom Grade n. Restglied Die Güte der Mac Laurinschen Näherungspolynome lässt sich dabei durch Hinzunahme weiterer Glieder stets noch verbessern. Gleichzeitig verliert das Restglied Rn ( x) immer mehr an Bedeutung und wird schliesslich vernachlässigbar klein. Das Restglied beschreibt somit den Fehler, den man begeht, wenn man die Funktion f ( x) durch ihr Näherungspolynom f n ( x) ersetzt. Es ist in der Praxis jedoch nahezu unmöglich, den exakten Wert des Restgliedes Rn ( x) zu bestimmen. Der durch die Vernachlässigung des Restgliedes entstandene Fehler kann daher in der Regel nur abgeschätzt werden. Meist wird hierzu die folgende von Lagrange stammende Form des Restgliedes Rn ( x) herangezogen: Restglied nach Lagrange f ( n1) ( x) n1 Rn ( x) x (n 1)! (0 1) Anmerkung: Neben der Lagrangeschen Form kennt man noch weitere Formen des Restgliedes, z.B. die nach Cauchy und Euler bennanten Formen. Geometrische Deutung der Näherungspolynome: Das Restglied Rn ( x) verschwindet stets für x 0 : Rn (0) 0 . Daher stimmen Funktionswert f ( x ) und Näherungspolynom f n ( x) an dieser Stelle in ihren Funktions- und Ableitungswerten bis zur n-ten Ordnung überein. Es gilt somit für jedes n f (0) f n (0) und f ( k ) (0) f n ( k ) (0) 0 . ( k 1, 2,..., n) Wir deuten diese Gleichungen geometrisch wie folgt: Die Gleichung besagt, dass alle Näherungspolynome durch den Kurvenpunkt P (0; f (0)) verlaufen, in dessen Umgebung die Reihenentwicklung vorgenommen wurde. Aus der zweiten Gleichung folgern wir speziell für n 1 bzw. n 2 : Für n = 1: Die Kurve y f ( x) wird in der Umgebung von P näherungsweise durch ihren Kurventangente, d.h. durch die lineare Funktion ersetzt. f1 ( x) f (0) f '(0) x 1! Man bezeichnet diesen Vorgang auch als „Linearisierung einer Funktion“. Für n = 2: Die Kurve y f ( x) wird jetzt durch eine quadratische Funktion, d.h. durch eine Parabel mit der Funktionsgleichung f 2 ( x) f (0) f '(0) 1 f ''(0) 2 x x 1! 2! angenähert. Kurve und Parabel besitzen dabei in P eine gemeinsame Tangente und gleiche Kurvenkrümmung: Wir fassen die Ergebnisse wie folgt zusammen: Näherungspolynome einer Funktion (Mac Laurinsche Polynome) Von einer Funktion f ( x) lassen sich mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung wie folgt Näherungspoynome gewinnen(sog. Max Laurinsche Polynome): 1. Zunächst wird f ( x) um den Nullpunkt x0 0 in eine Mac Laurinsche Rehe entwickelt. 2. Durch Abbruch der Rehe nach der n-ten Potenz erhält man dann ein Polynom f n ( x) vom Grade n, das in der Umgebung des Nullpunktes näherungsweise das Verhalten der Funktion f ( x) beschreibt: f n ( x) f (0) f '(0) 1 f ''(0) 2 f ( n ) (0) n x x ... x 1! 2! n! 3. Fehlerabschätzung: Der durch Abbruch der Potenzreihe entstandene Fehler ist durch das Restglied Rn ( x) gegeben und lässt sich in manchen Fällen mit Hilfe der Lagrangeschen Restgliedformel abschätzen. Er liegt in der Grössenordnung des grössten Reihengleides, das in der Näherung nicht mehr berücksichtigt wurde. Anmerkungen: 1) Grundsätzlich gilt: Die 1. Näherung von f ( x) erhalten wir durch Abbruch der Potenzreihe nach dem ersten nicht-konstanten Glied, die 2. Näherung durch Abbruch nach dem zweiten nicht-konstanten Glied usw.. 2) Wird f ( x) durch ein Polynom 1. Grades, d.h. durch eine lineare Funktion angenähert, so sagt man, man habe die Funktion f ( x) linearisiert. Geometrische Deutung: Die Kurve wird in der Umgebung der Stelle x0 0 durch die dortige Kurventangente ersetzt. 3) Allgemein Gilt: Die Güte einer Näherungsfunktion ist umso besser, je mehr Reihenglieder berücksichtigt werden. 4) Alle Aussagen gelten sinngemäss auch für Taylorsche Reihenentwicklungen, d.h. Potenzreihenentwicklungen um ein (beliebiges) Entwicklungszentrum x0 . Die Näherungsfunktionen heissen dann Taylorsche Polynome und sind vom Typ: f n ( x) f ( x0 ) f '( x0 ) f ''( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )1 ( x x0 ) 2 ... ( x x0 ) n 1! 2! n! 5) Eine Funktion f ( x) ist unter dem folgenden Voraussetzungen in eine (unendliche) Mac Laurinsche Reihe entwickelbar: 1. f ( x ) ist in einer gewissen Umgebung des Nullpunktes x0 0 beliebig oft differenzierbar. 2. Das (Lagrangesche) Restglied Rn ( x) verschwindet beim Grenzübergang n d.h. es gilt: lim Rn ( x) 0 n