Technische Universität Clausthal

Technische Universität Clausthal
Klausur im Wintersemester 2014/2015
Grundlagen der Elektrotechnik I&II
Institut für Elektrische Energietechnik
und Energiesysteme
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Hans-Peter Beck
Datum: 9. Februar 2015
Prüfer: Prof. Dr.-Ing. H.-P. Beck
Name:
............................
Vorname:
............................
Matr.-Nr.:
............................
Studiengang:
............................
Bearbeitungszeit:
160 Minuten
Zugelassene Hilfsmittel:
Stifte, Lineal/Geodreieck, Taschenrechner (nicht programmierbar)
Wichtiger Hinweis:
Geben Sie bei allen Berechnungen stets den vollständigen Rechenweg inklusive Formeln mit einB gesetzten
Zahlenwerten an!
Weitere Hinweise:
à Bitte schalten Sie Ihre Mobiltelefone aus!
à Der Einsatz von Handys, Smartphones, Tablets o. Ä. gilt als Täuschungsversuch!
à Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis und Ihren Personalausweis auf den Tisch!
à Bitte schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer oben rechts auf jedes verwendete Blatt!
à Bitte schreiben Sie nicht mit Bleistift oder Rotstift!
à Bitte verwenden Sie für die Kurzfragen die ausgeteilten Aufgabenblätter!
à Bitte verwenden Sie für die Rechenaufgaben ausschließlich das ausgehändigte Rechenpapier!
à Bitte machen Sie Ihre Aufgaben auf dem Rechenpapier mit Aufgabennummern kenntlich!
à Bitte legen Sie bei Abgabe Ihrer Klausur die Aufgabenblätter in die Doppelbögen ein!
Klausureinsicht:
Die Klausureinsicht findet am 13.04.2015 statt. Zusätzliche Einsichtstermine werden nicht angeboten. Weitere Informationen hierzu finden Sie auf der Institutshomepage.
Aufgabe:
Punkte:
Erreicht:
KF1
19
GS
20
WS
15
MF
15
KF2
18
DS
18
TR
18
SM
17
gesamt
140
2. Gleichstrom (20 Punkte)
Es ist folgende Schaltung gegeben:
I
A
R
I1
R
R
I3
I5
I2
U
2R
I4
3R
3R
3R
B
Aufgaben:
GS1) Stellen Sie für die sechs unbekannten Ströme 2 linear unabhängige Knoten- und 4 linear 3 P
unabhängige Maschengleichungen auf!
GS2) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand Rges zwischen den Klemmen A und B!
3P
GS3) Berechnen Sie die Ströme I und I1 bis I5 für U = 10 V und R = 2 W!
6P
GS4) Der ohmschen Widerstände im dargestellten Stromkreis bestehen aus Kupferdrähten mit 5 P
einem Querschnitt von 2 mm2 . Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen
im Kupferdraht bei einem der 3R-Widerstände und beim 2R-Widerstand? Geben Sie das
Ergebnis auf 4 Nachkommastellen genau an!
Gehen Sie hierbei von folgenden Bedingungen aus:
Elementarladung eines Elektrons:
e = 1,602 ⋅ 10−19 C
Ladungsträgerdichte im Kupferdraht: n = 0,85 ⋅ 1023 /cm3
Der Querschnitt des Kupferdrahtes ist konstant.
Die Widerstände der Zuleitungen können vernachlässigt werden.
GS5) Sie haben ein Voltmeter mit einem Messbereich von 5 V und einem Innenwiderstand von 3 P
400 kW. Mit dem Gerät soll die Klemmspannung von 10 V gemessen werden. Welche Art
von Widerstand ist dazu erforderlich bzw. wie ist dieser zu schalten? Wie groß muss der
Widerstand sein?
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3. Wechselstrom (15 Punkte)
Das vereinfachte Ersatzschaltbild einer Synchronmaschine lässt sich vereinfacht mithilfe einer Ersatzstromquelle durch folgende Schaltung darstellen:
Xσ
I1
Ih
U1
IE
Xh
Aufgaben:
WS1) Geben Sie die Bedingung dafür an, so dass I 1 = 0 ist!
1P
WS2) Berechnen Sie für U 1 = 400 V ⋅ ej 120° , Lh = 100 mH und f = 50 Hz den Strom I E nach Betrag 4 P
(IE ) und Phase (ϕE ) unter der Voraussetzung, dass I 1 = 0 ist!
WS3) Zeichnen Sie das vollständige Zeigerbild für die Größen aus dem Ersatzschaltbild! Nutzen Sie 5 P
dafür den Maßstab 100 V ≙ 1 cm und 4 A ≙ 1 cm.
Eine Änderung der Last an der Synchronmaschine (bei gleichbleibender Spannung U 1 ) bewirkt eine
Drehung von I E um ∆ϕ = 20°. Es gilt:
I E = IE ⋅ ej(ϕE +∆ϕ) = IE ⋅ ej(ϕE +20°)
WS4) Berechnen Sie den Strom I 1 unter der Voraussetzung, dass Xσ =
1
10
⋅ Xh ist!
5P
Hinweis: Falls Sie zuvor keine Lösung für I E bestimmen konnten, gehen Sie von einem Strom
von I E = 6,5 A ⋅ ej(30°+∆ϕ) aus.
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4. Magnetisches Feld (15 Punkte)
Nachfolgende Skizze zeigt einen ringförmigen Ferritkern mit Luftspalt. Auf dem Kern befindet sich
eine Erregerwicklung mit N Windungen. Der Kernquerschnitt A ist an allen Stellen gleich. Die
Streuung am Luftspalt ist vernachlässigbar.
A
Daten:
I
I = 1A
N = 55
r
A = 500 mm
2
α
r = 120 mm
α = 15° =
π
12
−7
µ0 = 4π ⋅ 10
V s/(A m)
µr,Fe = 230
Aufgaben:
MF1) Skizzieren Sie das elektrische Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises und benennen Sie 4 P
die verwendeten Elemente!
MF2) Bestimmen Sie den magnetsichen Fluss Φ im Luftspalt! Berechnen Sie dazu zunächst den 4 P
magnetischen Widerstand RFe des Ferritkerns und den magnetischen Widerstand RL des
Luftspalts sowie die magnetische Durchflutung Θ!
(Wenn Sie Φ nicht bestimmen können, rechnen Sie in den folgenden Aufgaben mit Φ =
2 ⋅ 10−6 V s weiter.)
MF3) Bestimmen Sie die magnetische Feldstärke H im Luftspalt!
1P
MF4) Bestimmen Sie die magnetische Spannung VFe im Ferritkern!
1P
MF5) Bestimmen Sie die Induktivität L der Ringkernspule mit Luftspalt!
1P
MF6) Bestimmen Sie die Induktivität Lneu der Ringkernspule für den Fall, dass der Luftspalt durch 4 P
einen Ferritkeil (µr,Fe = 230) geschlossen wurde!
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6. Drehstrom (18 Punkte)
Gegeben ist die dargestellte symmetrische Drehstromschaltung:
L1
A
I1
W1
Z
U 12
U 31
L2
W2
U 12 = 25 V ⋅ ej 0°
I2
U 23 = 25 V ⋅ e− j 120°
Z
U 31 = 25 V ⋅ e+ j 120°
U 23
fN = 20 Hz
I3
L3
∣I 1 ∣ = 2 A
Z
N
Jeder Strang der symmetrischen Sternschaltung besteht aus einem ohmschen Widerstand R und
einer in Reihe geschalteten Induktivität L.
Aufgaben:
DS1) Berechnen Sie die insgesamt in der Schaltung umgesetzte Scheinleistung!
2P
DS2) Wattmeter W1 und Wattmeter W2 zeigen jeweils 20 W an. Berechnen Sie daraus die insgesamt 4 P
umgesetzte Wirkleistung! Berechnen Sie zusätzlich die von der Schaltung ingesamt umgesetzte
Blindleistung!
Für die nachfolgnden Teilaufgaben gilt:
P = 60 W
und
Q = 62,4 var
und
S = 86,6 VA
DS3) Berechnen Sie den Wirkfaktor cos ϕ der Schaltung!
1P
DS4) Bestimmen Sie den Null-Phasenwinkel der Spannung U 1 und berechnen Sie den Null- 2 P
Phasenwinkel des Stroms in Leiter L1!
Für die nachfolgenden Teilaufgaben gilt:
I 1 = 2 A ⋅ e− j 76,37°
und
1
U 1 = √ ⋅ 25 V ⋅ e− j 30°
3
und
Z = 7,22 W ⋅ ej 46,37°
DS5) Berechnen Sie R, XL und L!
4P
DS6) Berechnen Sie die Kapazität der Kondensatoren, die in jedem Strang in Reihe zu Z geschaltet 3 P
werden müssen, damit der Leistungsfaktor der Schaltung cos ϕ = 1 wird!
DS7) Berechnen Sie die insgesamt aufgenommene Scheinleistung für den Fall, dass in jedem Strang 2 P
die in der vorherigen Teilaufgabe berechnete Kapazität in Reihe zu Z geschaltet ist!
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DS1) Umgesetzte Scheinleistung:
√
S = 3 ⋅ UL ⋅ IL
√
= 3 ⋅ 25 V ⋅ 2 A = 86,6 VA
DS2) Umgesetzte Wirk - und Blindleistung:
P = 3 ⋅ Pstr
= 3 ⋅ 20 W = 60 W
√
Q = S2 − P 2
√
= (86,6 VA)2 − (60 W)2 = 62,4 var
DS3) Leistungsfaktor:
cos ϕ =
60 W
P
=
= 0,69
S 86,6 VA
DS4) Null-Phasenwinkel des Stroms in L1:
Null-Phasenwinkel der Spannung U 1 : ϕU = −30°
ϕ = ϕU − ϕI = arccos(cos ϕ) = arccos(0,69) = 46,37°
ϕI = ϕU − ϕ = −30° − 46,37° = −76,37°
DS5) Strangimpedanzen:
Z = 7,22 W ⋅ ej46,37° = 4,98 W + j5,23 W
R = 4,98 W
XL = 5,23 W
XL
5,23 W
L=
=
= 41,62 mH
2π ⋅ f 2π ⋅ 20 Hz
DS6) Kondensatoren:
Bedingung für cos ϕ = 1: Q = 0 bzw. Im{Z − jXC } = 0 bzw. XL = XC
1
)
Z ′ = R + j (XL + XC ) = R + j(ωL −
ωC
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=0
1
1
C= 2 =
= 1,52 mF
ω L (2π ⋅ 20 Hz)2 ⋅ 41,62 mH
DS7) Scheinleistung:
S =3⋅
=3⋅
∣U Str ∣2
∣Z∣
√V )
( 25
3
4,98 W
= 125,5 VA
7. Transformator (18 Punkte)
Es soll eine Kondensatorbank zur Blindleistungskompensation über einen Transformator an das
Mittelspannungsnetz angeschlossen werden.
Up
Us
Q c =30 kvar
Das Datenblatt des Transformators stellt Ihnen die folgenden Werte zur Verfügung:
Up = 11,5 kV
Us = 230 V
Sn = 30 kVA
uk = 4 %
Pk = 500 W
Die verwendete Kondensatorbank nimmt bei Nennspannung (230 V) und Nennfrequenz (50 Hz) eine
Blindleistung von Q = 30 kvar auf.
Aufgaben:
TR1) Geben Sie die Wirk-,Blind- und Scheinleistung an, die bei einem idealen Transformator pri- 2 P
märseitig umgesetzt wird, wenn die oben genannte Kondensatorbank angeschlossen ist. Erläutern Sie ob dieser Betriebsbereich zulässig ist.
Beziehen Sie in den folgenden Aufgabenpunkten alle Ergebnisse auf die Sekundärseite des Transformators!
TR2) Zeichnen Sie das Kurzschuss-Ersatzschaltbild und bestimmen Sie aus den gegebenen Daten 6 P
die Kurzschlussimpedanzen Rk und Xk .
Nicht Vergessen: Bezug soll die Sekundärseite des Transformators sein.
TR3) Berechnen Sie die Wirk-, Schein- und Blindleistung, die von einem realen Transformator 8 P
primärseitig umgesetzt wird, wenn die Last die oben erwähnte Kondensatorbank ist.
(Wenn Sie in TR2 die Impedanzen nicht bestimmen konnten rechnen Sie mit Rk = 29,39 mW
und Xk = 64,12 mW weiter.)
TR4) Beurteilen und begründen Sie kurz mit Hilfe der in TR3 ermittelten Werte, ob der Betriebs- 2 P
bereich zulässig ist.
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TR1) Der ideale Transformator ist verlustfrei – daher entspricht die sekundärseitig angeschlossene
Leistung (in diesem Fall ausschließlich Blindleistung) auch der an der Primärseite umgesetzten
Leistung.
𝑃1,𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = 0 𝑊
𝑄1,𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = 𝑄𝑐 = 30𝑘𝑣𝑎𝑟
2
2
𝑆1 , 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = √(𝑃1,𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
+ 𝑄1,𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
) = √(0 𝑘𝑊)2 + (30 𝑘𝑣𝑎𝑟)2 = 30 𝑘𝑉𝐴
Da der Transformator eine Nennscheinleistung Sn=30 kVA besitzt, ist dieser Betriebsbereich
zulässig.
TR2) Hinweis: Der Kurzschlussversuch wird von der Unterspannungsseite (Sekundärseite) aus
gefahren, sodass die Primärseite kurzgeschlossen wird und die Kurzschlussspannung UK,2 auf
der Sekundärseite eingestellt wird, bis der Nennstrom IN,2=Ik,2 fließt. Alle Ergebnisse werden
daher auf die Sekundärseite bezogen angegeben.
R2K
X2σK
URk
A
I2K=I2N
UXσk
U2k
Ermittlung des Kurzschlussstromes I2K=I2N
𝑆
𝑆1𝑁 = 𝑆2𝑁 = 𝑈2𝑁 ∙ 𝐼2𝑁 ⇒ 𝐼2𝑁 = 𝑈2𝑁 =
2𝑁
30 000 𝑉𝐴
230 𝑉
= 130,4348 𝐴
Bestimmung von R2K:
2
𝑃2𝑘 = 𝐼2𝑘
∙ 𝑅2𝑘 ⇒ 𝑅2𝑘 =
𝑃𝑘
𝐼𝑘2
(500 𝑊)
= (130,4348 𝐴)2 = 0,02938 Ω = 29,38 𝑚Ω
(Hinweis: R1k=73,45 Ω)
Bestimmung der Gesamtkurzschlussimpedanz Z2k:
𝑍2𝑘 =
𝑈2𝑘
𝐼2𝑘
=
0,04∙230 𝑉
130,4348 𝐴
= 0,07053 Ω = 70,53 𝑚Ω
(Hinweis: Z1k=176,325 Ω)
Bestimmung der Reaktanz Xk:
2
𝑋2𝑘 = √(𝑍𝑘2 − 𝑅2𝑘
) = √(0,07053 Ω)2 − (0,02938 Ω)2 = 0,06412 Ω = 64,12 mΩ
(Hinweis X1k=160,3 Ω)
TR3) In dieser Teilaufgabe ist nun die Kapazität angeschlossen.
R2k
Xσ2k
IC
U2
XC
US
Berechnung des kapazitiven Blindwiderstands XC:
𝑈
𝑄𝐶 = 𝑈𝐶 ∙ 𝐼𝐶 mit 𝐼𝐶 = 𝑋 𝑐 und 𝑈𝐶 = 𝑈𝑆
𝑋𝐶 =
𝑈𝐶2
𝑄𝐶
𝐶
(230 𝑉)2
= 30 000 𝑣𝑎𝑟 = 1,7633 Ω
Berechnung der gesamten Impedanz der Schaltung:
𝑍 = 𝑅2𝑘 + 𝑗(𝑋𝜎2𝑘 − 𝑋𝐶 )
𝑍 = 29,38 𝑚Ω + 𝑗(64,12 𝑚Ω − 1,7633Ω)
𝑍 = (0,02938 − 𝑗 ∙ 1,69918)Ω
Berechnung des Betrages:
𝑍 = √(0,02938 Ω)2 + (1,69919 Ω)2 = 1,6994 Ω
Berechnung des Stromes IC:
𝐼𝐶 =
𝑈𝑠
𝑍
230 𝑉
= 1,6994 Ω = 135, 3419 𝐴
Berechnung der Leistungen:
𝑃𝐶 = 𝐼𝐶2 ∙ 𝑅 = (135,3419 𝐴)2 ∙ 0,02938 Ω = 538,1661 𝑊
𝑆𝐶 = 𝑈𝑆 ∙ 𝐼𝑆 = 230 𝑉 ∙ 135,3419 𝐴 = 31 128,637 𝑉𝐴 = 31,1286 𝑘𝑉𝐴
𝑄𝐶 = 𝐼𝐶2 ∙ 𝑋 = (135,3419 𝐴)2 ∙ 1,69918 Ω = 31 124,6105 𝑣𝑎𝑟 = 31,1246 𝑘𝑣𝑎𝑟
𝑄𝐶 = √𝑆 2 − 𝑃2 = √((31,1286 𝑘𝑉𝐴)2 − (538,1661 𝑊)2 ) = 31,1239 𝑘𝑣𝑎𝑟
TR 4) Der Betriebsbereich ist nicht zulässig, da SN<SC.
8. Schutzmaßnahmen (17 Punkte)
Ein Monteur berührt bei Wartungsarbeiten den blanken Kontakt der Zuleitung einer Industrieanlage mit Schutztrennung. Zwischen dem Rückleiter und der Erde besteht eine kapazitive Kopplung,
da bei der Installation die langen Leitungen nicht beachtet wurden.
Folgende Daten sind bekannt
U0
RL
RL
RV
CE
Strangspannung
Frequenz
Leitungswiderstand
Verbraucherwiderstand
Erdkapazität
Widerstand des Menschen
Standortwiderstand
U0 = 230 V
f = 50 Hz
RL = 0,1 W
RV = 40 W
CE = 2 µF
RM = 3 kW
RSt = 1 kW
Aufgaben:
Hinweis: Zum Lösen der Aufgaben benötigen Sie Wechselstromrechnung.
Vernachlässigen Sie zunächst den Leitungswiderstand RL .
SM1) Zeichen Sie das Ersatzschaltbild für den Fall der Berührung des Monteurs mit der obigen 3 P
Vereinfachung! Beschriften Sie das ESB vollständig (die Ströme nicht vergessen)!
SM2) Bestimmen Sie den Strom IM , der über den Menschen fließt!
3P
SM3) Ist der Mensch gefährdet? Begründen Sie Ihre Antwort!
2P
SM4) Begründen Sie, warum Sie den Leitungswiderstand RL vernachlässigen durften.
Hinweis: Betrachten Sie die Größenordnung von IM und IV .
4P
Das Anlagenkonzept soll geändert werden. Die Anlage wird umgebaut und als TT-System (Schutzerdung) ausgeführt.
SM5) Skizzieren Sie den grundsätzlichen Aufbau einer Schutzmaßnahme in einem TT-System!
3P
SM6) In diesem Netz wird eine Fehlerstrom-Schutzeinrichtung (RCD) mit einem Bemessungsdif- 2 P
ferenzstrom von 30 mA eingesetzt. Wird in diesem Fall der Monteur geschützt, falls er die
blanke Zuleitung berühren sollte? Begründen Sie Ihre Antwort!
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SM1)
Iges
IV
IM
RM
U0
RV
UV
UM
UCE
RSt
CE
USt
SM2)
1
1
XCE = −
=−
= −1591,549 431 W ≈ −1,59 kW
ωCE
2π ⋅ 50 Hz ⋅ 2 µF
√
√
Z = (RM + RSt )2 + XCE 2 = (3 kW + 1 kW)2 + (−1,59 kW)2 = 4,3044 kW ≈ 4,3 kW
U0 230 V
=
= 0,053 488 A ≈ 53,5 mA
IM =
Z
4,3 kW
SM3) Ja, er ist gefährdet, da IM > 17 mA.
(bzw. da UM = RM ⋅ IM = 3 kW ⋅ 53,5 mA = 160,5 V > 50 V)
SM4)
IV ⋅ RV = Z ⋅ IM
Z
4,3 kW
IV =
⋅ IM =
= 107, 5 ⋅ IM
RV
40 W
→ IM ≪ IV → IV ≈ Iges
UL
2RL
2 ⋅ 0,1 W
1
UV
=
→ UL =
⋅ UV =
⋅ UV =
UV
RV 2RL
RV
40 W
200
(UL ist der Spannungsabfall an beiden RL zusammen)
Der Leitungswiderstand kann vernachlässigt werden, da der Spannungsabfall daran um Faktor
200 kleiner ist, als am Lastwiderstand.
SM5)
L1
L2
L3
N
Sicherungen oder
Fehlerstrom-Schutzschalter
Verbraucher
PE
SM6) Nein, der Monteur wird nicht geschützt, da der maximale Strom durch den Menschen dauerhaft immer noch mehr als 17 mA betragen kann. Es müsste ein RCD mit max. 17 mA
eingesetzt werden, damit der Monteur sicher ist.