Kapitel 3 Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik

Kapitel 3
Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik
Teil 4
Folgerungen aus dem Vollständigkeitssatz
Mathematische Logik (WS 2016/17)
Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 4)
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3.8 Folgerungen aus dem Vollständigkeitssatz
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Vollständigkeitssatz
In den vorangegangenen Abschnitten haben wir den Vollständigkeitssatz bewiesen:
VOLLSTÄNDIGKEITSSATZ. T σ ⇒ T ` σ
Zusammen mit dem (einfach zu beweisenden Korrektheitssatz) zeigt dies, dass
sich der semantische Folgerungsbegriff durch den Beweisbarkeitsbegriff (in einem
geeignet gewählten Kalkül) beschreiben lässt. Insbesondere lassen sich also alle
logisch wahren (= allgemeingültige) Sätze beweisen. In anderen Worten: der nach
Definition in hohem Maße nichtkonstruktive Wahrheitsbegriff lässt sich durch den
konstruktiven Beweisbegriff beschreiben und wird damit einer mathematischen
Analyse zugänglich gemacht.
Bewiesen wurde der Vollständigkeitssatz von Kurt Gödel (1929). Der von uns
vorgestellte Beweis geht auf Henkin (1949) zurück.
In diesem letzten Teil von Kapitel 3 stellen wir einige wichtige Folgerungen aus
dem Vollständigkeitssatz (bzw. dessen Beweis) vor.
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Adäquatheitssatz
Aus dem Vollständigkeitssatz (VS) zusammen mit dem Korrektheitssatz erhält
man unmittelbar den Adäquatheitssatz:
ADÄQUATHEITSSATZ. T σ ⇔ T ` σ
Der (semantische) Folgerungsbegriff und der (syntaktische) Beweisbarkeitsbegriff
(im Shoenfield-Kalkül) fallen also zusammen.
Entsprechend folgt aus dem Erfüllbarkeitslemma zusammen mit dem
Konsistenzlemma, dass der (semantische) Erfüllbarkeitsbegriff mit dem
(syntaktischen) Konsistenzbegriff zusammenfällt:
SATZ ÜBER KONSISTENZ UND ERFÜLLBARKEIT. T erfüllbar ⇔ T konsistent
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Kompaktheitssatz
Eine wichtige Folgerung aus dem Adäquatheitssatz ist der Kompaktheitsatz:
KOMPAKTHEITSSATZ (oder ENDLICHKEITSSATZ).
(i) Eine Theorie T ist genau dann erfüllbar, wenn jede endliche Teiltheorie T0
von T erfüllbar ist.
(ii) Ein Satz σ folgt genau dann aus einer Theorie T , wenn es eine endliche
Teiltheorie T0 von T gibt, aus der σ folgt.
Der Kompaktheitssatz spielt eine wichtige Rolle bei dem Nachweis der Nichtbeschreibbarkeit von Strukturen und Strukturklassen in der Prädikatenlogik erster
Stufe, wie wir im folgenden Kapitel 4 zeigen werden.
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Kompaktheitssatz: Beweisidee
Zum Beweis des Kompaktheitssatzes genügt es zu beobachten, dass für die
entsprechenden Aussagen auf der syntaktischen Ebene
(i) Eine Theorie T ist genau dann konsistent, wenn jede endliche Teiltheorie
T0 von T konsistent ist.
(ii) Ein Satz σ ist aus einer Theorie T genau dann beweisbar, wenn es eine
endliche Teiltheorie T0 von T gibt, aus der σ beweisbar ist.
die nichttrivialen Implikationen direkt aus der Finitheit des Beweisbegriffs folgen.
Da nach dem Adäquatheitssatz
Konsistenz = Erfüllbarkeit
und
Folgerung = Beweisbarkeit
gelten, ergibt sich dann der Kompaktheitssatz hieraus unmittelbar.
Im Folgenden führen wir den Beweis im Detail aus.
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Kompaktheitssatz: Beweis von (i)
BEHAUPTUNG: (i) T erfüllbar ⇔ ∀ T0 ⊆ T endlich: T0 erfüllbar
Da die Richtung ⇒ unmittelbar aus der Definition der Erfüllbarkeit folgt, genügt
es die Richtung ⇐ zu beweisen. Wir zeigen diese Richtung durch Kontraposition:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
T nicht erfüllbar
T nicht konsistent
∃ σ : T ` σ & T ` ¬σ
∃ T0 ⊆ T endlich ∃ σ : T0 ` σ & T0 ` ¬σ
∃ T0 ⊆ T endlich: T0 nicht konsistent
∃ T0 ⊆ T endlich: T0 nicht erfüllbar
(Erfüllbarkeitslemma)
(Charakt. d. Konsistenz)
(Endlichkeitssatz für `)
(Charakt. d. Konsistenz)
(Konsistenzlemma)
(Wir benutzen zum Beweis von (i) also: (1) die Übereinstimmung von Erfüllbarkeit und Konsistenz und (2) die Tatsache, dass sich die (i) entsprechende
Aussage für die Konsistenz leicht aus der Finitheit des Beweisbegriffs ergibt.)
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Kompaktheitssatz: Beweis von (ii)
BEHAUPTUNG: (ii) T σ ⇔ ∃ T0 ⊆ T endlich: T0 σ
Da die Richtung ⇐ unmittelbar aus der Definition des Folgerungsbegriffs folgt,
genügt es die Richtung ⇒ zu beweisen:
T σ
⇒ T `σ
⇒ ∃ T0 ⊆ T endlich: T0 ` σ
⇒ ∃ T0 ⊆ T endlich: T0 σ
(Vollständigkeitsatz)
(Endlichkeitssatz für `)
(Korrektheitssatz)
(Wir benutzen zum Beweis von (ii) also: (1) die Übereinstimmung von
Folgerungsbegriff und Beweisbarkeit und (2) die Tatsache, dass sich die (ii)
entsprechende Aussage für die Beweisbarkeit leicht aus der Finitheit des
Beweisbegriffs ergibt.)
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Satz von Löwenheim
SATZ VON LÖWENHEIM. Sei T = (L, Σ) eine erfüllbare L-Theorie, wobei die
Sprache L abzählbar sei. Dann besitzt T ein abzählbares Modell.
BEWEIS. Wie wir im Beweis des Erfüllbarkeitslemmas gezeigt haben, ist die
Einschränkung A(TH )V L des Termmodells A(TH )V der Vervollständigung (TH )V
der Henkin-Erweiterung TH = (LH , ΣH ) von T ein Modell von T . Es genügt also
zu beobachten, dass der Individuenbereich von A(TH )V L abzählbar ist. Dies
sieht man wie folgt ein:
Da L abzählbar ist, ist nach dem Satz über Henkin-Erweiterungen auch LH
abzählbar.
Da die Vervollständigung einer Theorie die Sprache nicht verändert, ist
weiterhin LH die Sprache von (TH )V .
Da eine abzählbare Sprache höchstens abzählbar unendlich viele konstante
Terme besitzt, und da die Individuen einer Termstruktur Äquivalenzklassen
konstanter Terme der zugehörigen Sprache sind, ist also die Termstruktur
A(TH )V abzählbar. Hieraus folgt die Behauptung, da die Individuenbereiche
von A(TH )V L und A(TH )V übereinstimmen.
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Satz von Löwenheim: Anwendungsbeispiel
Die Sprache L = L(≤; +, ·; 0, 1) der Struktur R = (R; ≤; +, ·; 0, 1) der
reellen Zahlen ist endlich (also insbesondere abzählbar). Die Theorie Th(R)
der reellen Zahlen (Analysis) besitzt daher ein abzählbares Modell A. Da R
überabzählbar ist, sind R und A trivialerweise nicht isomorph. (Den Begriff
der Isomorphie werden wir formal im nächsten Kapitel einführen. Hier
genügt es zu wissen, dass ein Isomorphismus zweier Strukturen eine
Bijektion deren Träger ist.)
Ein zu R nichtisomorphes Modell von Th(R) bezeichnet man als
Nichtstandardmodell der Analysis.
In der Nichtstandard-Analysis untersucht man Eigenschaften von R (d.h.
beweist man Sätze von Th(R)) mit Hilfe von Nichtstandardmodellen.
Literatur:
Robinson, A.: Non-standard analysis. North-Holland Publishing Co.,
Amsterdam 1966.
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Satz von Löwenheim: Anwendungsbeispiel (Fortsetzung)
Nichtstandardmodelle der Analysis besitzen “unendlich große” Zahlen x und
daher auch “infinitesimal kleine” Zahlen (nämlich x1 für unendliches x), d.h.
Zahlen 6= 0, die näher an der 0 liegen als alle reelle Zahlen.
Wir werden hier auf Nichtstandardmodelle der Analysis nicht weiter
eingehen, aber im nächsten Kapitel die Existenz von Nichtstandardmodellen
der Arithmetik (d.h. der Theorie Th(N ) der natürlichen Zahlen) betrachten.
Die Nichtstandardmodelle der Arithmetik enthalten (wie wir zeigen werden)
neben den natürlichen Zahlen (genauer: isomorphen Kopien der natürlichen
Zahlen), die man als die Standardzahlen bezeichnet, unendliche viele
Nichtstandardzahlen, die alle größer als die Standardzahlen - also unendlich
groß - sind.
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Satz von Löwenheim: Anmerkungen
Mit Hilfe des Kompaktheitssatzes kann man auch zeigen, dass jede Theorie,
die ein unendliches Modell besitzt, auch ein überabzählbares Modell besitzt
(→ Übungen).
Der Satz von Löwenheim und die obige Aussage lassen sich im Rahmen der
Kardinalzahltheorie der Mengenlehre auch auf andere unendliche Mächtigkeiten
übertragen (→ Satz von Löwenheim-Skolem abwärts und Satz von LöwenheimSkolem aufwärts): Im Unendlichen erfüllbare Theorien T = (L, Σ) über einer
Sprache der Kardinalität κ besitzen Modelle der Größe κ0 für alle unendlichen
Kardinalzahlen κ0 ≥ κ.
Modelle, die kleinere Kardinalität als die Sprache haben, gibt es dagegen i.a.
nicht. So besitzt z.B. die Theorie T = (L, Σ) über der überabzählbaren Sprache
mit Konstantenmenge (cr : r ∈ R) (ohne Relations- und Funktionszeichen) und
Axiomenmenge
Σ = {cr 6= cr 0 : r , r 0 ∈ R & r 6= r 0 }
nur überabzählbare Modelle, da die überabzählbar vielen Konstanten durch
paarweise verschiedene Individuen interpretiert werden müssen.
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Äquivalenz von Theorien
Wie wir schon gesehen haben, folgt aus dem Adäquatheitssatz direkt, dass eine
Theorie T = (L, Σ) genau dann erfüllbar ist, wenn diese konsistent ist.
Entsprechend folgt unmittelbar, dass der syntaktisch definierte deduktive
Abschluss von T und der semantisch definierte Abschluss von T unter
Folgerungen übereinstimmen: Es gilt
C` (T ) = C (T )
da wegen Σ ` σ ⇔ Σ σ
{σ : σ L-Satz und Σ ` σ} = {σ : σ L-Satz und Σ σ}.
Die von uns ursprünglich syntaktisch definierte Äquivalenz von L-Theorien lässt
sich also auch semantisch beschreiben:
T äquivalent zu T 0 ⇔ C` (T ) = C` (T 0 ) ⇔ C (T ) = C (T 0 )
Im Folgenden sagen wir auch dass die L-Theorien T und T 0 gleich sind, wenn
diese äquivalent sind, und schreiben T = T 0 . (Aus T = T 0 folgt also i.a. nicht
Σ = Σ0 aber aus Σ = Σ0 stets T = T 0 .)
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Satz über vollständige und erfüllbare Theorien
Ist A eine L-Struktur, so ist die Theorie Th(A) = {σ : A σ} erfüllbar (da
A Th(A)) und vollständig (da A σ oder A ¬σ).
Umgekehrt ist jede vollständige und erfüllbare L-Theorie T die Theorie einer
L-Struktur A:
SATZ ÜBER VOLLSTÄNDIGE ERFÜLLBARE THEORIEN. Sei T eine
vollständige und erfüllbare L-Theorie. Dann gibt es eine L-Struktur A mit
T = Th(A).
BEWEISIDEE: Da T erfüllbar und damit konsistent ist, kann man wie im Beweis
des EL argumentieren, dass es eine Erweiterung (TH )V von T gibt, die eine
konsistente vollständige Henkin-Theorie ist, und dass die Einschränkung
A = A(TH )V L der zugehörigen Termstruktur auf die Sprache L ein Modell von
T ist, d.h. C` (T ) ⊆ Th(A) gilt. Da T vollständig (und damit maximal
konsistent) ist, gibt es aber keine konsistente (=erfüllbare) Erweiterung
T 0 = (L, Σ0 ) mit C` (T ) ⊂ C` (T 0 ). Also: T = Th(A).
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Aufzählbarkeit der Menge der allgemeingültigen Sätze
Zum Abschluss gehen wir noch kurz auf eine algorithmische Folgerung des
Adäquatheitssatzes ein.
Wie wir schon in Kapitel 1 gesehen haben, ist die Menge der in einem Kalkül
beweisbaren Formeln aufzählbar. Vorausgesetzt wird hierbei, dass der
Formelbegriff entscheidbar ist. Für die Sprachen L der Prädikatenlogik ist dies der
Fall, wenn diese endlich sind (oder abzählbar und die nichtlogischen Zeichen
effektiv gegeben sind). Wir erhalten also aus dem Adäquatheitssatz:
SATZ. Sei L eine endliche Sprache. Dann ist die Menge der allgemeingültigen
L-Formeln (und entsprechend die Menge der allgemeingültigen L-Sätze)
aufzählbar.
Ohne den Adäquatheitssatz ist es nicht leicht dies zu zeigen, da der
Allgemeingültigkeitsbegriff nach seiner Definition in hohem Grade nicht-effektiv
ist. Er spricht über alle L-Strukturen (von denen es überabzählbar viele gibt) und
von der Wahrheit in einzelnen Strukturen A, wobei A beliebig kompliziert sein
mag.
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Aufzählbarkeit der Menge der allgemeingültigen Sätze
In Kapitel 6 werden wir zeigen, dass die Menge der allgemeingültigen L-Formeln
und L-Sätze i.a. aber nicht entscheidbar ist und, dass die Gültigkeit in einzelnen
Strukturen nicht aufzählbar sein muss. Dies gilt z.B. für die Struktur N der
Arithmetik (→ 1. Gödelscher Unvollständigkeitssatz).
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