131 200405 LK Math Ue1 - Helmholtz

2004/05 , 13.1 , LK Mathematik
Bonn, den 17. September 2004
Übungsaufgaben Nr. 1
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1. Eine quadratische Pyramide habe die Grundfläche ABCD und die Spitze E. Es sei AB = b, AD = d,
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AE = e. Ferner sei T der Schwerpunkt des Dreiecks BCE. M sei der Mittelpunkt von AC und N teile
BD im Verhältnis 3 : 1.
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(a) Man drücke die folgenden Vektoren als Linearkombinationen von b, d und e aus : EM, DM, MT,
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BT, NT .
(b) Man zeige, daß die Kantengeraden g(A,E) und g(B,C) windschief sind.
(c) In welchem Verhältnis wird die Strecke AT durch die Ebene (B,D,E) geteilt ?
(d) Man betrachte die Pyramide als System von Massenpunkten, wobei A, B, C, D das Gewicht 1
und E das Gewicht 4 bekommen. Man berechne den geometrischen Schwerpunkt S des Systems.
(e) Mit welchen Gewichten müßte man A, B, D und E belegen, damit S zugleich Schwerpunkt des
Systems A(m1), B(m2), D(m3), E(m4) wird ? Wie kann man das Ergebnis deuten, wie überprüfen ?
2. Drei Hausbesitzer, ein Maler, ein Elektriker und ein Klempner, vereinbaren Nachbarschaftshilfe. Sie
wollen insgesamt 10 Tage lang nach folgendem Schema in ihren Häusern Reparaturen durchführen :
Arbeit im Hause des
Arbeit Maler
Arbeit Elektriker
Arbeit Klempner
Maler
2
1
6
Elektriker
4
5
1
Klempners
4
4
3
Zur steuerlichen Verrechnung müssen sie ihre Arbeit bewerten und untereinander verrechnen, auch
die jeweilige Leistung im eigenen Haus. Dazu gehen sie von einem Tagesverdienst aus, der für den
Maler mit x, für den Elektriker mit y und für den Klempner mit z bezeichnet werden soll. x, y und z
liegen im Bereich zwischen 150 und 200 DM. Die Nachbarn wollen nun Ihre Tagessätze x, y und z so
festsetzen, dass im Ergebnis niemand dem anderen etwas zahlen muß. Wie können sie das machen?
3. Bei einer Wahl treten 4 Parteien A, B, C und D an. Sie erreichen 45%, 41%, 6% bzw. 8%. Zwei
Meinungsforschungsinstitute hatten zuvor eine Wahlprognose abgegeben.
(a) Wie kann man alle möglichen Wahlprognosen geometrisch beschreiben ?
(b) Angenommen, das erste Institut hat für A 46%, für B 40%, für C 4% und für D 10% prognostiziert, das zweite hingegen für A 49%, für B 40%, für C 3% und für D 8%. Welche Prognose war
besser ?
4. Bei einer schrägen Projektion werden die Einheitsvektoren i, j und k auf i‘ = (-4|2), j‘ = (6|1) und
k‘ = (0|6) abgebildet.
(a) Man zeichne in dieses Koordinatensystem einen Einheitswürfel mit Ecken A(0|0|0), B(1|0|0),
D(0|1|0) und E(0||0|1), wobei die sichtbaren Kanten dicker als die unsichtbaren gezeichnet werden sollen.
(b) Es seien P‘(-7|-1), Q‘(6|-1), R(12|10) drei Ecken eines Parallelogramms. Man trage die sichtbaren Teile der Seiten in das Schrägbild ein. Es entsteht der Eindruck, dass der Würfel auf der
Grundebene PQR steht.
(c) Es sei g die Gerade eines Lichtstrahls durch die Ecke F mit dem Richtungsvektor u = (1|0|-1).
Man berechne die Bildgerade und den Schattenpunkt der Ecke. Man zeichen sodann den kompletten Schatten des Würfels.