Algebra mit geometrischen Aspekten

Algebra mit geometrischen Aspekten
Prof. Dr. M. Rost
Übungen — Blatt 2 (SS 2017)1
http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/ma
Dieses Blatt enthält keine Aufgaben.
Bemerkung. Auf Blatt 1 hatte sich ein Fehler eingeschlichen: In Satz 6 muß es in
Zeile 4 heissen: f (ab) = f (a) + f (b) (und nicht f (ab) = f (a)f (b)).
Der Milnor K-Ring—Ergänzungen
Bemerkung. Nachtrag zur Notation und Funktorialität (siehe Vorlesung): Ist
f: F →E
ein Homorphismus von Körpern, so bezeichne
f∗ : K∗ F → K∗ E
f∗ {a1 , . . . , an } = {f (a1 ), . . . , f (an )}
den induzierten Ring-Homomorphismus. Es gilt (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ .
Lemma 1. Es gibt einen Ring-Homomorphismus
Φ : K∗ R → Z/2Z
mit
(
0
Φ({a}) := ǫ(a) :=
1
a>0
a<0
Beweis. Dies folgt aus der universellen Eigenschaft (Blatt 1, Satz 6) und aus
ǫ(a)ǫ(1 − a) = 0
für a 6= 0, 1 (siehe Blatt 1, Aufgabe 2).
Korollar 2. In Kn R gilt
{−1}n = {−1, . . . , −1} =
6 0
Beweis. Folgt aus
n
Φ {−1}n = Φ {−1} = ǫ(−1)n = 1n = 1 6= 0
1
Fassung vom 2. August
2
Bemerkung. Weil ǫ(a) nur vom Vorzeichen von a abhängt, gilt z. B. auch
{−5, −6} =
6 0
in K2 Q.
Denn Q ist ein Unterkörper der reellen Zahlen und daher gibt es den Ringhomomorphismus
K 2 Q → K2 R
{a} 7→ {a}
(Dies ist i∗ auf K2 , wenn i : Q → R die Inklusion bezeichnet.) Nun folgt
Φ {−5, −6} = ǫ(−5)ǫ(−6) = 1 6= 0
Bemerkung. Man beachte, daß es verschiedene Einbettungen eines Körpers in den
Körper der relleen Zahlen geben kann. Sei etwa
√ √
F = Q( 3, 5) ⊂ R
Die Körpererweiterung F/Q ist galoisch mit Galois-Gruppe Z/2Z × Z/2Z (siehe
Vorlesung Algebra 1). Die 4 Elemente der Galois-Gruppe operieren dabei durch
Vorzeichen-Wechsel
√
√
√
√
3 7→ ± 3,
5 7→ ± −5
Es folgt nun, daß die 4 Elemente
√
√
{± 3, ± 5}
alle verschieden und 6= 0 sind.
Genauer: Für g ∈ Gal(F/Q) sei
fg : K2 F → K2 R
{a} 7→ {g(a)}
(Dies ist (i ◦ g)∗ auf K2 , wenn i : F → R die Inklusion bezeichnet.) Ferner sei
Φg = Φ ◦ fg : K2 F → Z/2Z
Ist nun z. B. g : F → F der Automorphismus mit
√
√
g( 3) = − 3
√
√
g( 5) = + 5
so folgt
√ √
Φg {− 3, − 5} = 0
√ √
Φg { 3, − 5} = 1
3
Die Tensor-Algebra, die symmetrische Algebra und die äußere Algebra
Es sei V ein Vektorraum über einem Körper F . Wir betrachten die Tensoralgebra,
die symmetrische und die äußere Algebra von V :
•
T V =
S •V =
Λ• V =
∞
M
k=0
∞
M
k=0
∞
M
V ⊗k
SkV
Λk V
k=0
Die symmetrische und die äußere Algebra (Definitionen)
(Siehe Vorlesung und auch Blatt 3 der Algebra II).
Definition 3.
(a) Die symmetrische Algebra ist der Quotient
S • V := T • V /I
der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal
I ⊂ T •V
das erzeugt wird von den Elementen
x⊗y−y⊗x
(b) Die äußere Algebra ist der Quotient
(x, y ∈ V )
Λ• V := T • V /J
der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal
J ⊂ T •V
das erzeugt wird von den Elementen
x⊗x
(x ∈ V )
Es sei
V = F n = F e1 ⊕ · · · F en
der Standard-Vektorraum vom Rang n mit Basis ei (1 ≤ i ≤ n).
4
Proposition 4.
(1) Eine Basis von T • F n ist
ei1 ⊗ · · · ⊗ eik
wobei k ≥ 0 und
(2) Eine Basis von S • F n ist
1 ≤ ij ≤ n
ei1 · · · eik
wobei k ≥ 0 und
1 ≤ i1 ≤ · · · ≤ ik ≤ n
(3) Eine Basis von Λ F ist
•
n
ei1 ∧ · · · ∧ eik
wobei k ≥ 0 und
1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n
Die universelle Eigenschaft der äußeren Potenzen
Proposition 5. Für jeden F -Vektorraum W und jede k-lineare Abbildung
die alternierend ist, d. h.:
f: Vk = V ×···×V → A
f (v1 , . . . , vi−1 , v, v, vi+2 , . . . , vk ) = 0
für 1 ≤ i ≤ k − 1, gibt es genau einen F -linearen Homomorphismus
mit
f : Λk V → W
f (v1 ∧ · · · ∧ vk ) = f (v1 , . . . , vk )
5
Die Clifford-Algebra
Es sei char F 6= 2 und q : V → F eine quadratische Form.
Definition 6. Die Clifford-Algebra von q ist der Quotient
C(q) := T • V /J
der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal
J ⊂ T •V
das erzeugt wird von den Elementen (x ∈ V )
x ⊗ x − q(x) ∈ V ⊗2 ⊕ V ⊗0
Die Clifford-Algebra ist also wie die Tensor-Algebra die Algebra erzeugt von den
Elementen von V , wobei zusätzlich die Rechenregel
x2 = q(x)
gilt.
Es sei
bq : V × V → F
bq (x, y) = q(x + y) − q(x) − q(y)
die zugehörige Bilinearform. Es gilt
xy + yx = bq (x, y)
Insbesondere: Ist x ⊥ y, so gilt
(x, y ∈ V )
xy + yx = 0
Es sei
V = F n = F e1 ⊕ · · · F en
der Standard-Vektorraum vom Rang n mit Basis ei (1 ≤ i ≤ n).
Proposition 7. Eine Basis von C(q) ist
wobei k ≥ 0 und
ei1 · · · eik
1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n
Ist insbesondere
die Diagonalform
q = ha1 , . . . , an i : V = F n → F
q(x1 , . . . , xn ) =
n
X
i=1
ai x2i
6
so ergeben sich folgende Rechenregeln:
e2i = ai
ej ei = −ei ej
(i 6= j)
Damit weiß man, wie man die Basis-Elemente multipliziert.
Die gerade Clifford-Algebra
Definition 8. Für eine quadratische Form
q: V → F
ist die gerade Clifford-Algebra C0 (q) definiert als die Unteralgebra
C0 (q) ⊂ C(q)
die erzeugt wird von den Produkten
vw
(v, w ∈ V )
Im Fall
V = F n = F e1 ⊕ · · · F en
ergibt sich folgender Basis-Satz:
Proposition 9. Eine Basis von C(q) ist
wobei n/2 ≥ k ≥ 0 und
ei1 · · · ei2k
1 ≤ i1 < · · · < i2k ≤ n