Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion

Reihen/Partialsummenfolgen
und
vollständige Induktion
Robert Klinzmann
23. Mai 2002
Reihen / Partialsummen
1
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
2
2 Das Prinzip der vollständigen Induktion
3
3 Herleitung der Gauß’schen Summenformel
3.1 Beweis der Behauptung durch vollständige Induktion . . . . . . .
4
4
4 Summenformel der ersten n Quadratzahlen
5
5 Summenformel der ersten n Kuben
5.1 Beweis durch vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6 Summenformel der ersten n geraden Zahlen
7
7 Summenformel der ersten n ungeraden Zahlen
7
8 Spezielle Partialsummen bzw. Potenzreihen
7
9 Reihenentwicklung der Sinusfunktion
8
10 Wie entsteht eine Taylorreihe
von Robert Klinzmann
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Reihen / Partialsummen
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Vorwort
Diese Arbeit ist eine Facharbeit für den Mathematik Leistungskurs Jahrgangsstufe 11 des Ernst-Haeckel-Gymnasiums Werder. Hauptthema dieser Arbeit ist
die Herleitung spezieller Partialsummenfolgen und die Beweismethode durch
vollständige Induktion. Als Extrabonbon beschäftigt sich die Arbeit in den letzten Kapiteln mit der Reihendarstellung von sin x cos x und ex . Außerdem
wird bei Betrachtung dieser Reihen im komplexen Zahlenbreich die Eulersche
Formel entwickelt. Dabei soll auch auf die Entwicklung solcher Taylor-Reihen
eingegangen werden.
Das Dokument wurde in LATEXgeschrieben und dient als Übung dieses TEXSystems. Die grafischen Abbildungen stammen aus Mathematica 4.0. Sie wurden
im Dokument als EPS-Grafiken eingebunden.
Bei Fragen die mich oder diese Arbeit betreffen, wenden sie sich an:
Robert Klinzmann
Gluckstraße 13
14542 Werder
Germany
EMail: [email protected]
von Robert Klinzmann
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Reihen / Partialsummen
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Das Prinzip der vollständigen Induktion
Man wendet das Beweisverfahren der vollständigen Induktion an, um eine Aussage über natürliche Zahlen zu beweisen ⇒ “Für jede natürliche Zahl n gilt
A(n) = wahr“. Die vollständige Induktion beruht auf folgendem Induktionsaxiom:
• Wenn für ein n0 aus der Menge der natürlichen Zahlen die Aussage A(n0 )
wahr ist, und wenn aus der Wahrheit von A(n) für ein beliebiges n ≥
n0 stets auch die Wahrheit von A(n + 1) folgt, dann ist A(n) für alle
natürlichen Zahlen wahr.
Aus diesem Induktionsaxiom geht hervor, dass zum Abschluss des Beweises zwei
wichtige Schritte benötigt werden. Es muss folgendes gezeigt werden:
1. Induktionsanfang −→ Induktionsvoraussetzung
Man zeigt, dass die gegebene Behauptung für ein oder einige kleine n gilt.
Oft wird hier nur gezeigt, dass die Behauptung für die Zahl eine wahre
Aussage ergibt. Nach diesem Schritt ergibt sich daraus die Induktionsvoraussetzung. Ohne den Induktionsanfang und der daraus folgenden
Induktionsvoraussetzung, ist ein Beweis mit vollständiger Induktion
sinnlos. Nehmen wir folgendes Beispiel an:
Es gilt die Behauptung: A: [ 3 ist durch 2 ohne Rest teilbar ]. Natürlich
wissen wir, dass dies eine falsche Behauptung ist. Aber ohne den Induktionsanfang und der Induktionsvoraussetzung, würde man logisch schlussfolgern dass gilt: B: [ 5 ist durch 2 ohne Rest teilbar ]. Man sieht also, dass
diese beiden Dinge elementare Voraussetzung für ein Beweisverfahren per
vollständiger Induktion sind.
2. Induktionsschritt bzw. Induktionsschluss
Es wird gezeigt, dass für eine beliebe natürliche Zahl n, von der wir wissen,
das sie die Behauptung erfüllt, der Nachfolger n+1 die Behauptung erfüllt.
A(n) → A(n + 1)
Ergibt dieser Schritt eine wahre Aussage, so ist die Behauptung richtig.
Es ist somit bewiesen, dass jeder Nachfolger einer beliebigen natürlichen
Zahl n die Behauptung erfüllt.
Der Beweis ist nur gültig, wenn sowohl Schritt 1 als auch Schritt 2 eine wahre
Aussage ergeben!
von Robert Klinzmann
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Reihen / Partialsummen
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Herleitung der Gauß’schen Summenformel
Es gibt verschiedene Wege diese Formel herzuleiten. Da ich sie später aber mit
der vollständigen Induktion beweisen will, stelle ich aus folgendem Sachverhalt
eine Vermutung auf.
Es gilt: S1 (n) = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n
Schreibt man die Summe S1 (n) und dasselbe nur rückwärtsüntereinander entsteht folgendes System:
S1 (n) =
S1 (n) =
1+
2+
3+ . . .+
n+ (n − 1)+ (n − 2)+ . . .+
2S1 (n) = (n + 1)+
(n + 1)+
(n + 1)+
. . .+
(n − 2)+
3+
(n − 1)+
2+
n
1
(n + 1)+
(n + 1)+
(n + 1)
2S1 (n) = n(n + 1)
Behauptung:
S1 (n) =
n
X
k=
k=1
3.1
n(n + 1)
2
Beweis der Behauptung durch vollständige Induktion
Induktionsanfang:
n=1
→
S1 (1) =
1·2
=1
2
w.A
Induktionsschritt:
Es muss gezeigt werden, dass wenn A(n) wahr ist, auch A(n + 1) wahr ist!.
Es muss also gelten:
n+1
X
k=1
=
n
X
+(n + 1) →
k=1
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
=
+ (n + 1)
2
2
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1) + 2(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
=
=
2
2
2
w.A
Die Behauptung ist mit dem Induktionsschluss also bewiesen, da für jeden Nachfolger n + 1 mit n > 0 die Behauptung zutrifft → Die Behauptung ist also für
die Menge aller natürlichen Zahlen n wahr!
von Robert Klinzmann
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Reihen / Partialsummen
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Summenformel der ersten n Quadratzahlen
Diese Formel kann man wieder auf verschiedensten Arten herleiten. Eine Methode, die für alle Herleitungen von aufeinander folgenden Potenzen funktioniert
ist folgende:
Es gilt: Sk (n) → Summe der ersten n Potenzen k-ten Grades
(0 + 1)3 =
03 +
3·02 ·1+
3·0·12 +
13
(1 + 1)3 =
13 +
3·12 ·1+
3·1·12 +
13
(2 + 1)3 =
23 +
3·22 ·1+
3·2·12 +
13
(n + 1)3 =
n3 +
3·n2 ·1+
3·n·12 +
13
13 + 23 + 33 + · · · + (n + 1)3 = (0 + 1)3 + (1 + 1)3 + (2 + 1)3 + · · · + (n + 1)3
Durch geschicktes Umordnen nach dem ausmultiplizieren erhält man:
13 + 23 + 33 + · · · + (n + 1)3 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 + 3·S2 (n) + 3·S1 (n) + (n + 1)
(n + 1)3 = 3·S2 (n) + 3·S1 (n) + (n + 1)
S1 (n) =
n(n + 1)
2
⇒
3
(n + 1)3 − n(n + 1) = 3·S2 (n)
2
¸
·
¸
·
2(n + 1)2 − 3n − 2
3
2
(n + 1) (n + 1) − n − 1 = (n + 1)
2
2
·
¸
· 2
¸
2n2 + 4n + 2 − 3n − 2
2n + n
(n + 1)
= (n + 1)
2
2
n(n + 1)(2n + 1)
= 3·S2 (n)
2
S2 (n) =
n(n + 1)(2n + 1)
6
Da die Formel hergeleitet wurde, wird auf einen Beweis durch vollständiger
Induktion verzichtet. Im Allgemeinen ist zu sagen, dass man sämtliche Summenformel von Potenzen mit natürlichem Exponenten durch den “Binomischen
Satz“ herleiten kann.
von Robert Klinzmann
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Reihen / Partialsummen
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Summenformel der ersten n Kuben
Schauen wir uns zuerst ein paar Beispiele an.
• Summe der ersten 2 Kuben
13 + 23 = 1 + 8 = 9
• Summe der ersten 3 Kuben
13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36
• Summe der ersten 4 Kuben
13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100
Schaut man sich die Beispiele an, so fällt auf, dass die Summe der ersten n Kuben wohl das Quadrat der ersten n natürlichen Zahlen ist.
Behauptung:
Die Summe der ersten n natürlich Kuben ist das Quadrat der Summe aus den
ersten n natürlichen Zahlen!
à n !2 µ
¶2
X
n(n + 1)
2
S3 (n) = S1 (n) =
k
=
2
k=1
Zur Überprüfung der Behauptung wenden wir die vollständige Induktion an.
5.1
Beweis durch vollständige Induktion
Induktionsanfang:
µ
n=1
→
S3 (1) =
1·2
2
¶2
=1
w.A
Induktionsschritt:
Es muss gezeigt werden, dass wenn A(n) wahr ist, auch A(n + 1) wahr ist!.
Es muss gelten:
Ã
(n + 1)(n + 2)
2
!2
Ã
=
n
X
!2
k + (n + 1)
k=1
¶2
n(n + 1)
+ (n + 1)
=
2
¶2 µ
¶2
µ
n(n + 1) + 2(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
=
=
2
2
µ
w.A
Die Behauptung ist durch den Induktionsschluss wahr.
von Robert Klinzmann
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Reihen / Partialsummen
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Summenformel der ersten n geraden Zahlen
Gerade Zahlen können folgendermaßen dargestellt werden: 2n. Also gilt für die
Summe der ersten n geraden Zahlen:
2·1 + 2·2 + 2·3 + · · · + 2·(n − 1) + 2·n = 2(1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n) = 2·S1 (n)
= n(n
7
+ 1)
Summenformel der ersten n ungeraden Zahlen
Ungerade Zahlen können folgendermaßen dargestellt werden: 2n − 1. Es gilt also
für die Summe:
(2·1 − 1) + (2·2 − 1) + · · · + (2·n − 1) = 2S1 (n) − n = n(n + 1) − n
2
=n
8
Spezielle Partialsummen bzw. Potenzreihen
Jeder kennt die geometrische Definition der Sinus- und Kosinusfunktion. Es
gibt aber zusätzlich auch eine Definition über so genannte Potenzreihen´, auch
Taylor-Reihen genannt:
Ã
!
!
Ã
∞
∞
2n
X
X
x2n+1
n
n x
sin x =
(−1) ·
cos x =
(−1) ·
(2n + 1)!
(2n)!
n=0
n=0
Die natürliche Exponentialfunktion ex lässt sich auch als Potenzreihe darstellen:
à !
∞
X
xn
x
e =
n!
n=0
Unter diesen 3 Potenzreihen ergeben sich interessante Beziehungen, wenn man
sie im komplexen Zahlenbereich C betrachtet. Nun noch einmal die Reihen ohne
Summenzeichen:
x5
x2n+1
x3
+
− · · · + (−1)n ·
3!
5!
(2n + 1)!
2
4
x
x
x2n
cos x = 1 −
+
− · · · + (−1)n ·
2!
4!
(2n)!
2
n
x
x
x
+ ··· +
ex = 1 + +
1!
2!
n!
sin x = x −
von Robert Klinzmann
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Reihen / Partialsummen
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Betrachten wir jetzt im komplexen Bereich C die e - Funktion und setzen wir
x = i·ϕ, wobei folgendes zu beachten ist:
i2 = −1
ei·ϕ = 1 + i·
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
...
ϕ
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ5
ϕ6
ϕ7
ϕn
−
− i·
+
+ i·
−
−
+ · · · + in ·
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
n!
Diese Reihe kann man nun nach geraden und ungeraden Exponenten ordnen.
Ã
!
2n
ϕ2
ϕ4
i·ϕ
n ϕ
e = 1−
+
− · · · + (−1) ·
+
2!
4!
2n!
Ã
!
ϕ
ϕ3
ϕ2n+1
2n+1
i·
−
+ · · · + (−1)
·
1!
3!
(2n + 1)!
Die e-Funktion mit dem Parameter x = i·ϕ besteht also aus einer Kosinusund einer mit i multiplizierter Sinusfunktion. Folgende Formel ist nach dem
Mathematiker Euler benannt: Eulersche Formel:
ei·ϕ = cos ϕ + i· sin ϕ
Setzt man ϕ = π so erhält man eine der schönsten mathematischen Gleichungen,
da sie 5 Konstanten der Mathematik aus unterschiedlisten Gebieten enthält:
ei·π + 1 = 0
9
Reihenentwicklung der Sinusfunktion
Das Prinzip ist simpel. Man versucht eine Potenzfunktion zu finden, die sich an
die zu untersuchende Funktion anschmiegt. Die gesuchte Funktion ist dann die
Entwicklung einer Potenzreihe.
f (x) =
∞
X
an ·xn
n=0
Diese Potenzreihen werden nach dem Mathematiker Taylor benannt, der sich
mit diesem Gebiet der Mathematik beschäftige → Taylor-Reihen. Die folgenden
Beispiele werden auch als MacLaurin - Reihen bezeichnet, das hängt aber mit
der Bildung der Reihe ab (im Punkt x0 = 0), was hier nicht weiter erläutert
werden soll.
Bricht man eine Taylor-Entwicklung an einem bestimmten Grad ab, so schmiegt
sich der Graph der abgebrochenen Funktion an die Kurve der tatsächlichen
Funktion. Das ganze soll am Beispiel der Taylor-Entwicklung der Sinuskurve
beispielhaft dargestellt werden.
von Robert Klinzmann
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Reihen / Partialsummen
Es gilt:
sin x =
9
Ã
∞
X
n=0
x2n+1
(−1)n ·
(2n + 1)!
!
Wir brechen nach n = 1 ab und erhalten folgende Darstellung:
1
-3
3
-1
Man
kann
h
i deutlich erkennen, dass sich die abgebrochene Funktion im Intervall
3 3
− 2 | 2 an die tatsächliche Funktion schmiedet. Schaut man sich die Darstellungen nach Abbruch bei 2 ≤ n ≤ 7 an, erkennt man, das die Potenzreihe mit
größer werdendem n sich immer mehr der eigentlichen Funktion nähert.
1
-6
-3
3
6
-1
von Robert Klinzmann
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Reihen / Partialsummen
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Wie entsteht eine Taylorreihe
Um eine Taylor-Reihe für eine komplizierte Funktion zu entwickeln, versucht
man die Funktion durch ein Polynom zu approximieren.
P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + · · · + an xn =
n
X
an ·xn
(1)
k=0
Den Koeffizienten an erhält man nun durch Null-Setzen der n-ten Ableitung
des Polynoms. Beim Ableiten gilt die Potenzregel. Außerdem bilden wir die
Ableitung im Punkt x0 = 0
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn ⇒
f (x) =
0
2
f (x) =
a1 + 2a2 x + 3a3 x + · · · + n·an xn − 1 ⇒
00
n−2
f (x) =
000
f (x) =
2a2 + 6a3 x + · · · + n(n − 1)an x
n−3
6a3 + 24a4 x + · · · + n(n − 1)(n − 2)an x
⇒
⇒
f (0) =
a0
0
a1
00
2a2
000
6a3
f (0) =
f (0) =
f (0) =
Allgemein gilt für höhere Ableitungen:
f (n) (x) = n(n − 1)(n − 2)· . . . ·2·1·an = n!·an
Aus dieser Betrachtung geht hervor, das für den Koeffizienten an folgendes gelten muss:
(n)
an =
f
(0)
n!
Damit können wir an aus (1) ersetzen:
n
X
f n (0)
k=0
n!
·xn
Dieses Polynom nennt man Taylor - Polynom. Läuft n → ∞ entsteht eine Reihe
und man nennt sie deshalb auch Taylor-Reihe. Da wir die Ableitungen des Polynoms im Punkt x = 0 gebildet haben, nennt man diese spezielle Reihe auch
MacLaurin - Reihe. Als Beispiel wird jetzt die Kosinusfunktion betrachtet. Dazu
untersuchen wir die n-ten Ableitungen:
f 0 (0) = cos 0 = 1
f 1 (0) = − sin 0 = 0
f 3 (0) = sin 0 = 0
f 2 (0) = − cos 0 = −1
f 4 (0) = cos 0 = 1
Ab f 5 (x) wiederholen sich die Ableitungen periodisch, daher gilt für die Reihenetwicklung des Kosinuses:
∞
X
x2n
cos x =
(−1) ·
(2n)!
n=0
von Robert Klinzmann
n
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