Aufgaben Gleichungen/Ungleichungen - user.tu

Gleichungen/Ungleichungen
Gleichungen
Aufgabe 1 (Wurzel π37)
Finde alle Lösungen (x, y, z) ∈ R3 des Gleichungssystems
x+z−y =6
x + z 2 − y 2 = 36
x3 + z 3 − 2y 3 = 1
2
Aufgabe 2 (ÜJM 3.2.8)
Man bestimme alle Paare geordneter reeller Zahlen (x, y), für die gilt
x3 + x2 y + xy 2 + y 3 = 0
x + xy + y = −1
Aufgabe 3 (MO 371331)
Man ermittle alle Paare (x, y) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem erfüllen:
xy(x + y) = 30
x3 + y 3 = 35
Aufgabe 4 (MO 371346A)
Man ermittle alle reellen Lösungen des Gleichungssystems
x5 = 21x3 + y 3
y 5 = x3 + 21y 3
Aufgabe 5 (ÜJM 3.2.9)
Man löse das Gleichungssystem
x3 − 2x2 y − 2xy 2 + y 3 = 8
x2 − 3xy + y 2 = 4
Aufgabe 6 (MO 05124*)
Man ermittle alle Quadrupel (x1 , x2 , x3 , x4 ) reeller Zahlen, für die gilt
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + x4
x1 x2 + x1 x4 + x2 x4 + x3
x1 x3 + x 1 x4 + x3 x4 + x2
x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 + x1
=2
=2
=2
=2
Aufgabe 7 (MO 07104*)
Man gebe alle reellen Zahlen x an, die folgende Gleichung erfüllen
r
q
q
√
√
3
x
√
x+ x− x− x=
2 x+ x
Aufgabe 8 (MO 370945)
Bestimme alle Tripel reeller positiver Zahlen, für die gilt
a + 2b2 + 3c3 +
1
2
3
+ 2 + 3 = 12
a b
c
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Gleichungen/Ungleichungen
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Ungleichungen
Nützliche Ungleichungen
• die Mutter aller Ungleichungen: x2 ≥ 0
• Mittelungleichung: HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM
• Jensensche Ungleichung: für konvexes f gilt f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
P
P
P
2
• Cauchy-Schwarz-Ungleichung: ( ni=1 a2i ) · ( ni=1 b2i ) ≥ ( ni=1 ai bi )
Aufgabe 9 (BWM 2006.1)
Für die Seiten eines Dreiecks gelte a2 + b2 > 5c2 . Zeige, dass c die Länge der kürzesten Seite ist.
Aufgabe 10 (MO 371016)
√
√
Beweise, dass für jede positive ganze Zahl gilt 2 n + 1 − 2 n <
√1
n
√
√
<2 n−2 n−1
Aufgabe 11 (Baltic Way 2012)
Seien a, b, c reelle Zahlen mit a ≤ b ≤ c. Zeige ab + bc + ca + c − a ≤ 1 + 31 (a + b + c)2
Aufgabe 12 (Wurzel π30)
Man beweise ln2 (cos x) ≤ x(tan x − x) für alle x ∈ [0, π2 )
Aufgabe 13 (Wurzel π42)
Man beweise für beliebige a, b, c > 0 die Ungleichung
2a3 + 2b3 + 2c3 + ab2 + bc2 + ca2 ≥ 3a2 b + 3b2 c + 3c2 a
Aufgabe 14 (IMO-Auswahl, 2001)
Zeige: Für positive reelle Zahlen a, b, c gilt
b
c
3
a
p
+p
+p
≤
2
(a + b)(a + c)
(b + a)(b + c)
(c + a)(c + b)
Aufgabe 15 (Wurzel σ20)
Man beweise für alle positiven a, b, c, d, e ∈ R mit a + b + c + d + e = 1 die Ungleichung
a4
b4
c4
d4
e4
1
+
+
+
+
≥
b+c c+d d+e e+a a+b
50
Aufgabe 16 (MO 371045)
Beweise die folgende Aussage
1
1
1998 < 1 + √ + . . . + √
< 1999
2
1000000
Aufgabe 17 (Kolmogorow-Buch, 148)
√
√
Beweise n n! > n
Aufgabe 18 ()
Beweise 12 (a + b) ≥
√
a+b
ab · b a