Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie
Sommersemester 2011
Lösungen zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung vom 05.05.2011
Aufgabe Ü3
Gegeben sei eine Quadratzahl x = a2 (a ∈ Z).
• Dividiert man a mit Rest durch 3, so findet man (eindeutige) Zahlen q ∈ Z und
r ∈ {0, 1, 2} mit a = q · 3 + r. Damit folgt:

2

+0 , falls r = 0
 3 · (3q )
2
2
2
2
2
x = a = (q · 3 + r) = 9q + 6qr + r =
3 · (3q + 2q)
+1 , falls r = 1

 3 · (3q 2 + 4q + 1) +1 , falls r = 2
Als mögliche Reste bei Division von x = a2 durch 3 kommen also nur die Zahlen 0
und 1 in Frage.
• Dividiert man a mit Rest durch 4, so findet man (eindeutige) Zahlen q ∈ Z und
r ∈ {0, 1, 2, 3} mit a = q · 4 + r. Damit folgt:


4 · (4q 2 )
+0 , falls r = 0


 4 · (4q 2 + 2q)
+1 , falls r = 1
x = a2 = (q · 4 + r)2 = 16q 2 + 8qr + r2 =
2 + 4q + 1) +0 , falls r = 2

4
·
(4q



4 · (4q 2 + 6q + 2) +1 , falls r = 3
Als mögliche Reste bei Division von x = a2 durch 4 kommen also nur die Zahlen 0
und 1 in Frage.
• Dividiert man a mit Rest durch 5, so findet man (eindeutige) Zahlen q ∈
r ∈ {0, 1, 2, 3, 4} mit a = q · 5 + r. Damit folgt:

5 · (5q 2 )
+0 , falls



 5 · (5q 2 + 2q)

+1 , falls

2
x = a2 = (q · 5 + r)2 = 25q 2 + 10qr + r2 =
5 · (5q + 4q)
+4 , falls


2 + 6q + 1) +4 , falls

5
·
(5q



5 · (5q 2 + 8q + 3) +1 , falls
Z und
r
r
r
r
r
=0
=1
=2
=3
=4
Als mögliche Reste bei Division von x = a2 durch 5 kommen also nur die Zahlen 0, 1
und 4 in Frage.
Aufgabe Ü4
(a) Nach Folgerung 2.4 ist eine Zahl n ∈ N genau dann eine Primzahl, wenn sie keinen
√
Primteiler p mit 2 ≤ p ≤ n hat:
√
• n = 127 ⇒ n ≈ 11.27 ⇒ zu überprüfende mögliche Primfaktoren: 2, 3, 5, 7, 11
2 - 127
3 - 127
5 - 127
7 - 127
11 - 127
Also: 127 ist eine Primzahl.
√
• n = 129 ⇒ n ≈ 11.36 ⇒ zu überprüfende mögliche Primfaktoren: 2, 3, 5, 7, 11
2 - 127
3 | 127
5 - 127
7 - 127
11 - 127
Also: 129 ist keine Primzahl.
√
• n = 361 ⇒ n = 19 ⇒ 361 = 19 · 19. Also: 361 ist keine Primzahl.
√
• n = 637 ⇒ n ≈ 25.24 ⇒ zu überprüfende mögliche Primfaktoren: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
2 - 637
3 - 637
5 - 637
7 | 637
11 - 637
13 | 637
17 - 637
19 - 637
23 - 637
Also: 637 ist keine Primzahl.
√
• n = 643 ⇒ n ≈ 25.36 ⇒ zu überprüfende mögliche Primfaktoren: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
2 - 643
3 - 643
5 - 643
7 - 643
11 - 643
13 - 643
17 - 643
19 - 643
23 - 643
Also: 643 ist eine Primzahl.
(b)
• Die nächste Primzahl, deren Vielfachen zu streichen sind, ist die 19. Die erste zu
streichende Zahl ist daher 192 = 361. Die nächsten drei Vielfachen 19 · 20, 19 ·
21, 19·22 sind bereits gestrichen worden da sie als Vielfache der zusammengesetzten Zahlen 20, 21, 22 einen Primteiler haben, dessen Vielfache bereits gestrichen
wurden . Die nächste zu streichende Zahl ist daher 19 · 23 = 437. Man sieht, dass
nur noch die Zahlen die Vielfachen von 19 gestrichen werden müssen, die von der
Form 19 · p mit p ∈ P und p ≥ 19 sind. Also:
192 = 361
19·23 = 437
19·29 = 551
19·31 = 589
19·37 = 703
19·41 = 779
• Ebenso werden nun die Zahlen der Form 23 · p mit p ∈ P und p ≥ 23 gestrichen:
232 = 529
23·29 = 667
23·31 = 713
23·37 = 851
23·41 = 943
23·43 = 989
• Ebenso werden nun die Zahlen der Form 29 · p mit p ∈ P und p ≥ 29 gestrichen:
292 = 841
29 · 31 = 899
• Zuletzt ist die Zahl 312 = 961 zu streichen.
19·43 = 817
19·47
Aufgabe Ü5
(a) Division durch 10: p = 10 · k + r mit k ∈ N und r ∈ {0, . . . , 9}.
• Im Fall r ∈ {0, 2, 4, 6, 8} hätte man 2 | p. Dies kann also nicht sein.
• Im Fall r = 5 hätte man 5 | p. Dies kann also nicht sein.
• Die Fälle r = 1, r = 3, r = 7, r = 9 können alle eintreten (Beispiele 11, 13, 17, 19).
(b) Division durch 15: p = 15 · k + r mit k ∈ N und r ∈ {0, . . . , 14}.
• Im Fall r ∈ {0, 3, 6, 9, 12} hätte man 3 | p. Dies kann also nicht sein.
• Im Fall r ∈ {5, 10} hätte man 5 | p. Dies kann also nicht sein.
• Die Fälle r = 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 können alle eintreten (Beispiele 31, 17, 19, 37, 23, 41, 43, 29).
(c) Angenommen es gilt p + 1 = a2 mit p ∈ P und a ∈ Z. Dann folgt:
p = a2 − 1 = (a + 1) · (a − 1)
Dies ist nur möglich, wenn a − 1 = 1 ist, also für a = 2 und p = 3. Die Zahl 3 ist also
die einzige Primzahl, deren Nachfolger eine Quadratzahl ist.
(d) Angenommen es gilt p + 1 = a3 mit p ∈ P und a ∈ N. Dann folgt (Polynomdivision):
p = a3 − 1 = (a2 + a + 1) · (a − 1)
Dies ist nur möglich, wenn a − 1 = 1 ist, also für a = 2 und p = 7. Die Zahl 7 ist also
die einzige Primzahl, deren Nachfolger eine Kubikzahl ist.
Diese Lösungen finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material/azt