Logik für Informatiker (WS 09/10) - Institut für Informatik Augsburg

Universität Augsburg
Prof. Dr. W. Vogler
Logik für Informatiker (WS 09/10)
Übungsblatt 3 (Abgabe bis 11.11.2009, 13:45 Uhr in der
Vorlesung)
Aufgabe 1
(11 Punkte)
1. Zeigen oder widerlegen Sie, dass die folgende Eigenschaft für alle Interpretationen I und
alle Formeln A, B gilt:
I |= A → B ⇔ I 6|= A oder I |= B
Betrachten Sie in jedem Fall beide Implikationen ⇒ und ⇐ .
Für eine Widerlegung ist oft ein Gegenbeispiel angemessen.
2. Zeigen oder widerlegen Sie wie in 1. I |= ∀ x ∀ y A ⇔ I |= ∀ y ∀ x A
3. Zeigen oder widerlegen Sie I, β |= ∀ x A ⇒ I, β |= ∃ x A
4. Gilt auch ∀ x ∈ M : A |= ∃ x ∈ M : A?
Bringen Sie dazu die beiden Formeln“ in eine formal zulässige Form.
”
Aufgabe 2
(9 Punkte)
0
2
2
Gegeben ist eine F, P-Signatur mit F = {n}, F = {f } und P = {P }, F = F 0 ∪ F 2 ,
P = P 2.
Seien I eine Interpretation für diese Signatur mit
• D = N,
• nI = 0
• P I (x, y) ⇔ x > y,
• f I (x, y) = x · y.
und β eine Belegung mit β(x) = 3, β(y) = 2.
Werten Sie die folgende Formel schrittweise aus. Es können mehrere Auswertungsschritte
auf eine Aussage angewendet werden. Führen Sie alle parallel möglichen Auswertungsschritte
gleichzeitig durch.
1. P (x, n) → ∀ x ¬ (f (x, y) = y)
Gegeben ist eine F, P-Signatur mit F 0 = {1}, F 2 = {+}, P 2 = {elem}, F = F 0 ∪ F 2 ,
P = P 2 . Als Grundmenge für eine Interpretation I betrachten wir die natürlichen Zahlen N
und endliche Mengen von natürlichen Zahlen, also Elemente aus der Potenzmenge P(N).
I interpretiert die Symbole wie folgt:
• 1I ist die leere Menge.
• x +I y ist folgendermaßen definiert:
– Wenn x und y Zahlen sind, ist +I die normale Addition auf Zahlen.
– Wenn x und y Mengen sind, ist +I die Vereinigung
– andernfalls (ein Argument ist eine Zahl, das andere eine Menge) bedeutet +I das
Einfügen der Zahl in die Menge.
• elemI (x, y) ⇔ x ist Element von y.
Ist die folgende Formel wahr? Werten Sie die Formel schrittweise aus und berücksichtigen Sie
sowohl den Fall, dass Variablen mit Mengen belegt sind, als auch den Fall, dass Variablen mit
Zahlen belegt sind.
2. I |= x + 1 = x
Sei β eine Belegung mit β(y) = ∅ für alle Variablen y. Werten Sie folgende Formel aus:
3. I, β |= ∀ x ¬ elem(x, 1)
Aufgabe 3
(3 Punkte)
Die Enterprise fliegt zu Forschungszwecken zum weitgehend unbekannten Planet Warlüg. Man
weiß bisher nur, dass sich das Volk in drei Stämme unterteilt, die Polis, welche immer die
Wahrheit sagen, die Uzys, notorische Lügner und die Yras, die je nach Lust und Laune die
Wahrheit sagen oder lügen. Captain Archer und Sub-Commander T’Pol beamen sich auf den
Planeten und begegnen drei Einheimischen. Dem äußeren Erscheinungsbild nach zu urteilen
ist jeder der drei Stämme vetreten.
Archer : “Von welchem Stamm seid ihr?“
Der erste sagt: Der dritte ist ein Uzyt.“
”
Der zweite sagt: Der erste ist ein Polit.“
”
Der dritte sagt: Ich bin ein Yrat.“
”
Archer zu T’Pol: So kommen wir nicht weiter.“
”
T’Pol blickt Archer verständnislos an: Aber es ist doch offensichtlich, wer von welchem
”
Stamm kommt.“
Nämlich? Führen Sie eine Fallunterscheidung über die Stammeszugehörigkeit des ersten Einheimischen durch und prüfen Sie für jeden Fall vollständig, ob der Dialog so stattgefunden
haben kann.
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