1. ¨Ubungsserie Spieltheorie

TU Ilmenau
Institut für Mathematik, Diskrete Mathematik
Jens Schreyer
Sommersemester 2017
1. Übungsserie Spieltheorie
Aufgabe 1
Wir betrachten folgendes Zahlenlotto:
n Spieler schreiben je eine Zahl auf einen Zettel. Derjenige Spieler, der mit seinem
Tip am nächsten an 32 des Durchschnittswertes der Zahlen gelegen hat, erhält einen
Gewinn von n. Sind mehrere Spieler gleich nah dran, so wird der Gewinn geteilt.
Man stelle das Spiel in Normalform dar und bestimme alle Nash-Gleichgewichte,
falls:
(a) natürliche Zahlen von 2 bis 100,
(b) ganze Zahlen von 0 bis 100,
(c) reelle Zahlen größer oder gleich 0,
(d) reelle Zahlen,
(e) ganze Zahlen
gewählt werden dürfen.
Aufgabe 2 (Cournot’sches Duopol)
Zwei Erdbeerfarmer i = 1, 2 ernten auf ihren Feldern jeweils xi Mengeneinheiten,
wobei ihnen Kosten Ki = x2i entstehen. Es wird vorausgesetzt, dass beide Bauern
den gesamten Ertrag verkaufen können. Der dabei erzielbare Preis ist von der Gesamtmenge der Erdbeeren abhängig und beträgt p = 120 − 2(x1 + x2 ). Beide Bauern
wollen ihren jeweiligen Gewinn maximieren.
(a) Man stelle die Situation als 2-Personenspiel in Normalform G(N, A, u) dar.
(b) Man bestimme die besten Antworten für Bauer 1 und 2 in Abhängigkeit von
der Produktionsmenge des Konkurrenten.
(c) Man bestimme alle Nash-Gleichgewichte des Spieles.
1
Aufgabe 3 (Cournot-Oligopol)
Wir betrachten die allgemeinere Situation:
n Produzenten produzieren ein homogenes Gut. Bei der Produktion einer Menge xi
des Gutes entstehen dem Produzenten i Kosten von Ki (xi ). Die Kostenfunktionen
Ki werden dabei als streng monoton wachsend, zweimal stetig differenzierbar und
konvex angenommen.
Es existiere ein Marktmechanismus, der dazu führt, dass die gesamte angebotene
n
P
Menge m =
xi zu einem Preis p(m) gekauft wird. Die Preisfunktion sei dai=1
bei streng monoton fallend, ebenfalls zweimal stetig differenzierbar und es gelte
lim p(m) = 0.
m→∞
(a) Man gebe eine Normalform des Spieles an.
(b) Man begründe, dass sich die Aktionsmenge jedes Spielers auf eine kompakte
und konvexe Menge beschränken läßt.
(c) Mit Hilfe des Satzes von Nikaido-Isoda zeige man, dass es ein Nash Gleichgewicht gibt, falls:
X
X
x∗j +xi )−Ki00 (xi ) ≤ 0.
x∗j +xi )+2·p0 (
∀i ∈ N ∀x∗−i ∈ A−i ∀xi ∈ Ai : xi ·p00 (
j6=i
j6=i
Aufgabe 4 (Potentialspiele)
Es sei G = (N, A, u) ein Normalforspiel. Eine Funktion Φ : A → R heißt
(a) exakte Potentialfunktion, falls ∀a ∈ A ∀i ∈ N ∀bi ∈ Ai :
ui (a−i , bi ) − ui (a) = Φ(a−i , bi ) − Φ(a)
(b) gewichtete Potentialfunktion, falls es Zahlen wi > 0 i ∈ N gibt, so dass ∀a ∈
A ∀i ∈ N ∀bi ∈ Ai :
wi · (ui (a−i , bi ) − ui (a)) = Φ(a−i , bi ) − Φ(a)
(c) ordinale Potentialfunktion, falls ∀a ∈ A ∀i ∈ N ∀bi ∈ Ai :
sgn(ui (a−i , bi ) − ui (a)) = sgn(Φ(a−i , bi ) − Φ(a))
Das Spiel G heißt Potentialspiel, falls es eine ordinale Potentialfunktion besitzt.
Man beweise folgende Aussagen:
(a) Jede exakte PF ist eine gewichtete PF, und jede gewichtete PF ist eine ordinale
PF.
2
(b) Jedes endliche Potentialspiel besitzt ein (reines) Nash-Gleichgewicht. Man gebe ein Verfahren zum Auffinden solcher Gleichgewichte an.
Aufgabe 5 (Ein Verkehrsflussspiel)
Jeden Morgen muss eine Menge N von Pendlern von ihren Wohnorten zu ihren Arbeitsplätzen gelangen. Dabei kann eine Menge M von Straßen(Straßenabschnitten)
benutzt werden. Die Verweildauer eines Pendlers auf der Straße s ∈ M hängt von
der Anzahl der Leute ab, die diese benutzen. Ziel jedes Pendlers ist es, so schnell
wie möglich die Strecke zum Arbeitsplatz zurückzulegen. Formal sind also gegeben:
• N = {1, ..., n} Pendlermenge
• M = {1, ...m} Straßenmenge
• cs : N → R Verweildauerfunktion für jede Straße s ∈ M
(a) Man konstruiere aus den gegebenen Größen ein Normalformspiel G = (N, A, u)
(b) Man gebe eine Potentialfunktion für G an.
Hinweis: Für eine Straße die von k Pendlern benutzt wird, addiere man jeweis
die Dauern von einem bis zu k Nutzern.
(c) Man berechne ein Nash-Gleichgewicht für den Verkehrsfluss auf folgendem
Netzwerk, welches von 3 Pendlern von S nach T benutzt wird. Die Zahlen an
jeder Kante geben dabei die Verweildauer bei 1/2/3 Benutzern an.
X
2/
5
3/
3/
/
2
6
1/2/8
S
4/
6/
7
T
5
1/
Y
3
/6