Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik

Titelei
Eichholz / Vilkner
Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik
Titelei
Taschenbuch der
Wirtschaftsmathematik
von
Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang Eichholz und
Prof. Dr.-Ing. Eberhard Vilkner
3., verbesserte Auflage
mit 55 Abbildungen, 208 Beispielen
und zahlreichen Tabellen
FACHBUCHVERLAG LEIPZIG
im Carl Hanser Verlag
Titelei
Autoren
Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang Eichholz
Kapitel 3 bis 7, 9
Hochschule Wismar
Fachhochschule für Technik, Wirtschaft und Gestaltung
Fachbereich Wirtschaft
Prof. Dr.-Ing. Eberhard Vilkner
Kapitel 1, 2, 8
Hochschule Wismar
Fachhochschule für Technik, Wirtschaft und Gestaltung
Fachbereich Wirtschaft
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz für diese Publikation
ist bei Der Deutschen Bibliothek erhältlich
ISBN 3-446-22080-1
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.
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der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet oder verbreitet werden.
Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag
2002 Carl Hanser Verlag München Wien
Internet: http://www.fachbuch-leipzig.hanser.de
Lektorat: Christine Fritzsch
Satz: Dr. rer. nat. Wolfgang Eichholz / Dr.-Ing. Eberhard Vilkner
Druck und Binden: Kösel, Kempten
Printed in Germany
Umschlag Seite2
Grundlagen
G
Lineare Algebra und Optimierung
L
Funktionen, Folgen, Reihen
R
Grundzüge der Finanzmathematik
F
Funktionen mit Einer reellen Variablen
E
Funktionen mit Mehreren Variablen
M
Numerische Verfahren
N
Statistik
S
Ausgewählte Probleme des OR
O
Tafeln
T
Vorwort und Benutzerhinweise, Seite 5
Vorwort
Dieses Kompendium auf dem Gebiet der Wirtschaftsmathematik stellt eine
Brücke zwischen den mathematischen Verfahren und den wirtschaftlichen
Anwendungen in komprimierter Form dar. Es enthält die wichtigsten Formeln, Gesetze und Verfahren aus der Wirtschaftsmathematik. Zahlreiche,
ausführlich durchgerechnete Beispiele verdeutlichen die mathematischen
Zusammenhänge. Das Taschenbuch wendet sich sowohl an Studenten wirtschaftlicher Fachrichtungen als auch an die in der Praxis tätigen Wirtschaftswissenschaftler. Es ist nützlich als Nachschlagewerk beim Lösen von
Übungsaufgaben, bei der Prüfungsvorbereitung, bei Klausuren sowie bei der
Bearbeitung von praktischen Problemstellungen. Das Buch ist somit auch für
die berufliche Weiterbildung von Interesse.
Durch die Softwareentwicklung wird der Zugang zu mathematischen Verfahren und somit auch zu immer komplizierteren wirtschaftlichen Modellen
erleichtert. Dem trägt das Kapitel 7 Rechnung, in dem ein kleiner Einblick in
Begriffe und Methoden der numerischen Mathematik gegeben wird.
Die Kapitel 8.2 und 9 entstanden unter Mitwirkung von Prof. Dr. oec. habil.
Hans-Jürgen Hochgräfe, Hochschule Wismar, Fachbereich Wirtschaft, wofür
wir ihm recht herzlich danken möchten. Wir danken Herrn Prof. Dr. Manfred
Kiy, Fachhochschule Köln, Fachbereich Wirtschaft, für die vielen guten
Hinweise. Dank gilt auch Herrn Dr.-Ing. Steffen Naake, Chemnitz, für die
Anfertigung der Abbildungen der Kapitel 1, 2 und 8 und Frau Christine
Fritzsch vom Fachbuchverlag Leipzig für die gute Zusammenarbeit.
Für Anregungen, Verbesserungen und Kritiken aus dem Leserkreis sind die
Verfasser dankbar, denn wir wünschen uns, dass dieses Buch für Studium
und Beruf ein zuverlässiger Ratgeber ist.
Zur 3. Auflage
Unser Dank gilt erneut den Lesern unseres Taschenbuchs, die mit Hinweisen und Ergänzungswünschen zur Verbesserung beigetragen haben.
Die Kapitel Lineare Algebra und Optimierung sowie Numerische Verfahren wurden überarbeitet. Alle anderen Abschnitte wurden durchgesehen
und verbessert. Neu aufgenommen wurde eine Integraltafel.
Über die Homepage des Verlages http://www.fachbuch-leipzig.hanser.de
gelangt der Leser zu weiteren Aufgaben mit Lösungen.
Wolfgang Eichholz
Eberhard Vilkner
Benutzerhinweise
Das Taschenbuch ist einfach und übersichtlich gestaltet. Trotzdem sollen
folgende Hinweise die Arbeit mit dem Taschenbuch erleichtern.
(1)
(2)
(3)
(4)
Die neun Kapitel und die Tafeln sind mit Hilfe des Daumenregisters
(auf jeder ungeraden Seite) schnell zu finden. Die Inhalte der Buchstaben stehen auf der zweiten Umschlagseite.
Die Überschriften der einzelnen Abschnitte in drei Ebenen sind im
Inhaltsverzeichnis enthalten. Überschriften vierter Ebene in den
Abschnitten sind entsprechend hervorgehoben.
Verweise beziehen sich auf die entsprechenden Abschnitte.
Ein umfangreiches Sachwortverzeichnis am Ende des Buches erleichtert das Auffinden gesuchter Begriffe.
(5)
Begriffserklärungen und Definitionen sind grau unterlegt ohne
schwarzen Rahmen.
(6) Sätze und wichtige Formeln wurden grau unterlegt mit schwarzem
Rahmen.
(7) Abbildungen und Beispiele werden innerhalb der Kapitel fortlaufend
numeriert.
(8) Bemerkungen sind kursiv geschrieben.
(9) Auf den inneren Umschlagseiten sind Ableitungen und Grundintegrale
sowie diskrete und stetige Verteilungen zusammengefasst.
(10) Auf Abkürzungen wurde weitestgehend verzichtet.
Bezeichnungen befinden sich im jeweiligen Abschnitt. Einige wenige Bezeichnungen und Abkürzungen sind im Folgenden erklärt.
Bezeichnungen
Abkürzungen
:
=
...
bez.
bzw.
d. h.
i. Allg.
max
min
u. a.
u. Ä.
vgl.
z. B.
p. a.
ergibt sich aus, bzw. definiert als
ist gleich
ist ungefähr gleich
ungleich
und so weiter (bis)
für alle
es existiert ein
ist Element aus (der Menge)
ist nicht Element aus (der Menge)
Summenzeichen
Produktzeichen
bezüglich
beziehungsweise
das heißt
im Allgemeinen
Maximum
Minimum
und andere(s)
und Ähnlich(-es)
vergleiche
zum Beispiel
pro anno ( je Jahr)
Inhaltsverzeichnis
1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.6
1.7
1.8
1.9
1.9.1
1.9.2
1.9.3
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reelle Zahlen R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Axiome und Rechenregeln in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summen- und Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fakultät, Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichungen, Ungleichungen (eine Variable) . . . . . . . . . . . . .
Lineare geometrische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
13
14
15
16
16
19
20
21
23
25
30
30
30
31
2
Lineare Algebra und Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.4
2.5
2.5.1
2.5.2
2.6
2.6.1
Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Begriff, Berechnung für n 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entwicklungssatz von Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Besondere Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenwerte, Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösbarkeitsbedingung linearer Gleichungssysteme . . . . . . .
Basistransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen in der Wirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Ungleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösen linearer Ungleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
32
34
34
37
37
37
42
43
44
44
45
46
47
52
55
56
56
57
61
61
8
Inhaltsverzeichnis
2.6.2
2.6.3
2.6.4
Lösen linearer Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simplexmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dualität in der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
67
74
3
Funktionen, Folgen, Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verknüpfungen und Verkettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundfunktionen einer reellen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
79
80
81
82
84
86
4
Grundzüge der Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfache Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zinseszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Investitionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschreibungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Abschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Degressive Abschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Progressive Abschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kursrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurs einer Annuitätenschuld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurs einer Ratenschuld . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurs einer gesamtfälligen Schuld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.7
4.7.1
4.7.2
4.7.3
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.4.4
5.4.5
5.4.6
5.5
5.5.1
5.5.2
5.5.3
5.5.4
89
92
96
99
101
104
104
106
109
110
110
111
112
Funktionen mit einer reellen Variablen . . . . . . . . . . . 114
Grenzwert von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Anwendung der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Differenzial und Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Grenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Wachstumsrate und Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Newton-Verfahren (Tangentenverfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Taylorscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Regel von Bernoulli-L'Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Untersuchung von Funktionen mit Hilfe ihrer Ableitungen127
Stetigkeit und Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Monotonieverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Extremwertbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Krümmungsverhalten und Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Inhaltsverzeichnis
9
5.5.5
5.6
5.6.1
5.6.2
5.6.3
5.6.4
5.6.5
5.6.6
5.7
5.7.1
5.7.2
5.7.3
Anwendung in der Wirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uneigentliches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integration stückweise stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendung der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Separable Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . .
130
132
132
134
135
136
137
138
140
140
140
142
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . 144
Begriff und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Partielle Ableitungen, Gradient, Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . 145
Vollständiges Differenzial, Fehlerrechnung und Elastizität . . 146
Extremwertbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Extremwerte mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Methode der kleinsten Quadrate (MkQ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7
Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.5.1
7.5.2
7.5.3
7.6
7.7
7.8
7.9
7.9.1
7.9.2
7.9.3
7.10
Fehlerarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zahlendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundbegriffe der Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fixpunktiteration bei nichtlinearen Gleichungen . . . . . . . . . .
Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . .
Iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme . . . . . . . .
Direkte Lösungsverfahren der linearen Algebra . . . . . . . . . . .
Lösungsverfahren für Bandmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pseudolösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klassische Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Splineinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bézier-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Differenziation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
154
155
156
159
159
160
161
163
163
164
165
166
167
170
172
8
Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.1
8.1.1
8.1.2
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Diskrete Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10
Inhaltsverzeichnis
8.1.3
8.2
8.2.1
8.2.2
8.2.3
8.2.4
8.2.5
8.3
8.3.1
8.3.2
8.3.3
Stetige Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beschreibende (deskriptive) Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Univariate Datenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bi- und multivariate Datenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maß- und Indexzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestands- und Bewegungsmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitreihenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schließende (induktive) Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundgesamtheit und Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistische Schätzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistische Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
196
196
209
220
223
226
235
235
237
242
9
Ausgewählte Probleme des OR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Standortproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spezielle LO-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transportproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zuordnungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rundreiseproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reihenfolgemodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algorithmus von Johnson-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeilenbewertungsverfahren (n 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Netzplanmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitplanung nach Critical Path Method (CPM) . . . . . . . . . . .
Standardmodell für offene Wartesysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deterministische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stochastische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
Tafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verteilungsfunktion der standardisierten
Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chi-Quadrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zinsberechnungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabelle ausgewählter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
9.1
9.2
9.2.1
9.2.2
9.3
9.4
9.4.1
9.4.2
9.5
9.5.1
9.5.2
9.6
9.7
9.7.1
9.7.2
9.7.3
T1
T2
T3
T4
T5
246
247
247
251
253
255
256
258
259
259
260
264
266
266
267
270
272
273
274
275
276
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
1
1
Grundlagen
1.1
Mengen
G
Der Mengenbegriff
Eine Menge íst nach CANTOR die Gesamtheit bestimmter, wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens,
wobei von jedem dieser Objekte eindeutig feststeht, ob es dazu gehört oder nicht. Die Objekte heißen Elemente.
Zwei Mengen A und B über einem gegebenen Grundbereich sind
gleich, wenn jedes Element der Menge A auch Element der Menge B
ist und umgekehrt, A = B.
Eine Menge A heißt Teilmenge oder Untermenge einer Menge B,
wenn jedes Element von A auch Element von B ist, A B.
Eine Menge M heißt leer, wenn sie kein Element enthält, M = .
Mengenoperationen
Die Mengenoperationen werden in der Abbildung 1.1 durch die VENNschen Diagramme graphisch unterstützt.
erstellt von ciando
Die Vereinigung A B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die mindestens einer der beiden Mengen A oder B angehören.
Der Durchschnitt A B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl A als auch B angehören.
Bemerkung
Zwei Mengen A und B mit A B = werden als disjunkte Mengen bezeichnet.
Die Differenz A \ B zweier Mengen A
und B ist die Menge aller Elemente
von A, die nicht zu B gehören.
A B:
A B:
A \ B:
A:
Abbildung 1.1
Gegeben sei eine Grundmenge S und eine Teilmenge A von S, A S.
Die Differenz A = S \ A heißt Komplementärmenge von A bezüglich S.
12
1 Grundlagen
Geordnete Paare, Produktmenge, Abbildung
Ein geordnetes Paar (a, b) ist die Gesamtheit von zwei Elementen
a und b, wobei die Reihenfolge zu berücksichtigen ist.
Zwei geordnete Paare (a, b) und (c, d) heißen genau dann gleich,
wenn gleichzeitig a = c und b = d gelten.
Analog werden geordnete Tripel (a, b, c) bzw. geordnete n-Tupel
(a1, a2, ..., an) definiert.
Bemerkung
Es gilt für a b: (a, b) (b, a).
M1 und M2 seien Mengen. Die Menge aller geordneten Paare (x1, x2)
mit x1 M1 und x2 M2 heißt Produktmenge (auch: Kreuzmenge,
Kreuzprodukt, kartesisches Produkt) M1 x M2 von M1 und M2.
Eine Teilmenge der Produktmenge M1 x M2 zweier gegebener
Mengen M1 und M2 wird als Abbildung A aus M1 in M2 bezeichnet.
Ist A eine Abbildung aus M1 in M2, so wird die Menge aller x1M1,
für die ein x2 derart existiert, dass (x1, x2) A ist, der Definitionsbereich (DB) DA von A genannt.
Die Menge aller x2 M2, für die ein x1 M1 derart existiert, dass
(x1, x2) A ist, wird Wertebereich (WB) WA von A genannt.
Bemerkung
Stimmt der Definitionsbereich DA einer Abbildung A mit der Menge M1
überein, DA = M1, so wird die Abbildung als A von M1 bezeichnet.
Stimmt andererseits der Wertebereich WA einer Abbildung A mit der
Menge M2 überein, WA = M2, so wird die Abbildung als A auf M2 bezeichnet.
Für eine Abbildung A aus M1 in M2 wird die Menge (x2, x1) mit
x2 M2, x1 M1 und (x1, x2) A als Umkehrabbildung oder
inverse Abbildung A1 von A bezeichnet.
Eine Abbildung A aus M1 in M2 heißt eindeutig, wenn jedem Element x DA nur ein Element y WA zugeordnet wird.
Eine Abbildung A heißt eineindeutig oder umkehrbar eindeutig,
wenn sowohl A als auch A1 eindeutig sind.
Eine eindeutige Abbildung A wird Funktion genannt.
1.2 Aussagenlogik
1.2
13
Aussagenlogik
Eine Aussage p ist die Beschreibung eines Sachverhaltes. Der Aussage können die Wahrheitswerte wahr ( W ) oder falsch ( F ) zugeordnet werden.
Durch Verknüpfungen von Aussagen ergeben sich neue Aussagenverbindungen:
Aussagenverbindung
Name
Kurzzeichen
nicht p
p und q
p oder q
wenn p, so q
p genau dann, wenn q
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
p
pq
p
q
pq
pq
Die Negation wird als einstellige, die weiteren als zweistellige Aussagenverbindungen bezeichnet.
Die Wahrheitswerte der Aussagenverbindungen sind in der folgenden
Zusammenstellung enthalten:
p
p
p
q
pq
p
q
pq
pq
W
F
F
W
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
F
F
W
W
W
F
W
F
W
W
W
F
F
W
Aussagenlogische Gesetze, Identitäten bzw. Tautologien sind Aussagenverbindungen, die bei beliebiger Belegung der Wahrheitswerte
für die beteiligten Aussagen den Wahrheitswert W annehmen.
Aussagenlogische Gesetze
p
p
(p q) (q p)
(p q) (q p)
(p q) (q p)
( p q) p q
(p q) r p (q r) p q r
(p q) r p (q r) p q r
((p q) r)(p (q r))( p q r)
p (q r) (p q)
(p r)
( p q) p q
p (q r) (p q) (p r)
(p q) ( p q)
(p q) q p p p
p p
G
14
1 Grundlagen
1.3
Zahlenmengen
komplexe Zahlen
reelle Zahlen
rationale Zahlen
ganze Zahlen
natürliche Zahlen
nicht reelle Zahlen
irrationale Zahlen
nicht ganze Zahlen
negative Zahlen
Die Umkehrung von Rechenoperationen führt zur Erweiterung von Zahlenmengen. So ist zum Beispiel die Subtraktion als Umkehrung der
Addition in der Menge der natürlichen Zahlen nicht immer ausführbar.
Darum werden die negativen Zahlen eingeführt. Die Division als Umkehrung der Multiplikation führt zur Einführung der rationalen Zahlen.
Schließlich führen die Umkehrungen des Potenzierens, das Logarithmieren und Radizieren in die Menge der irrationalen bzw. der komplexen
Zahlen. Die komplexen Zahlen bestehen aus einer reellen und aus einer
imaginären Komponente. Im Allgemeinen führt die Grenzwertbildung
zur Menge der reellen Zahlen.
Zahlenmengen
N
N+
Z
Q
R
+
R
C
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der positiven natürlichen Zahlen
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der positiven reellen Zahlen
Menge der komplexen Zahlen
1.4 Zahlensysteme
1.4
15
Zahlensysteme
Positionssysteme
Eine Ziffer ist ein Zeichen aus einem Zeichenvorrat von B verschiedenen
Zeichen, denen als Zahlenwerte die ganzen Zahlen 0, 1, ..., B 1 zugeordnet werden, B > 1.
Für das übliche Dezimalsystem ist B = 10. Weitere gebräuchliche Positionssysteme sind das Dualsystem mit B = 2, das Oktalsystem mit B = 8
und das Hexadezimalsystem mit B = 16. Die folgende Übersicht zeigt
den Zahlenaufbau verschiedener Positionssysteme:
dual
oktal
dezimal
hexadezimal
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
22
23
24
25
26
27
30
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Zahlendarstellung einer ganzen Zahl z im Positionssystem mit B = b
n
z a k b k = (an bn + an1 bn1 + ... + a1 b1 + a0 b0 )
k 0
Ziffer:
Schreibweise der Zahl z :
ak {0, 1, 2, ..., b}, an 0
z = an an1 ... a1 a0
G
16
1 Grundlagen
Umrechnung in andere Positionssysteme
Die Umrechnung von Zahlen eines Positionssystems in ein anderes Positionssystem wird als Konvertierung bzw. als Rekonvertierung bezeichnet
und soll an einem Beispiel gezeigt werden, das den allgemeinen Algorithmus erkennen lässt.
Beispiel 1.1
Es soll z = 7510 in das Dualsystem konvertiert werden.
Lösung
75 : 2 = 37 Rest 1, d.h. a0 = 1
z0 = 75
37 : 2 = 18 Rest 1, d.h. a1 = 1
z1 = 37
18 : 2 = 9 Rest 0, d.h. a2 = 0
z2 = 18
9 : 2 = 4 Rest 1, d.h. a3 = 1
z3 = 9
4 : 2 = 2 Rest 0, d.h. a4 = 0
z4 = 4
2 : 2 = 1 Rest 0, d.h. a5 = 0
z5 = 2
1 : 2 = 0 Rest 1, d.h. a6 = 1
z6 = 1
z = 7510 = 10010112
Die Probe zeigt die Rekonvertierung
6
5
4
3
2
1
0
z = 10010112 = 1 2 + 0 2 + 0 2 + 1 2 + 0 2 + 1 2 + 1 2
= 64 + 8 + 2 + 1 = 7510
1.5
1.5.1
Reelle Zahlen R
Axiome und Rechenregeln in R
Das Rechnen in der Menge der reellen Zahlen R basiert auf einigen
Axiomen (unbeweisbare Annahmen) und daraus ableitbaren und beweisbaren Rechenregeln.
Es werden zwei Operationen (Addition und Multiplikation) erklärt, die
den folgenden 11 Axiomen genügen:
Axiom 1: Für a, b R existiert genau ein s R mit s = a + b
(Addition).
Axiom 2: Für a, b, c R gilt: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
(Assoziativgesetz bez. der Addition).
Axiom 3: Es gibt genau ein Element 0 R, sodass für alle a R gilt: a + 0 = a
(Nullelement bez. der Addition).
Axiom 4: Zu jedem a R gibt es genau ein inverses Element a R,
sodass gilt: a + (a) = (a) + a = 0
(inverses Element bez. der Addition).
Axiom 5: Für a, b R gilt: a + b = b + a
(Kommutativgesetz bez. der Addition).
Axiom 6: Für a, b R existiert genau ein p R mit p = a b
(Multiplikation).
1.5 Reelle Zahlen R
17
Axiom 7: Für a, b, c R gilt: (a b) c = a (b c) = a b c
(Assoziativgesetz bez. der Multiplikation).
Axiom 8: Es gibt genau ein Element 1 R, sodass für alle a R gilt: a 1 = a
(Einselement bez. der Multiplikation).
Axiom 9: Zu jedem a R, a 0 gibt es genau ein inverses Element
1
1
1
R, sodass gilt: a =
a=1
a
a
a
(inverses Element bez. der Multiplikation).
Axiom 10: Für a, b R gilt: a b = b a
(Kommutativgesetz bez. der Multiplikation).
Axiom 11: Für a, b, c R gilt: a (b + c) = a b + a c
(Distributivgesetz).
Subtraktion und Division sind Umkehroperationen zur Addition
a
1
bzw. Multiplikation: a b := a + ( b), a : b =
:= a .
b
b
Die Potenz ist eine mehrfache Multiplikation:
an = a n := a a ... a, n Faktoren, n N
Stufe
Bezeichnungen
+
:
a+b=c
ab=c
a b=c
a :b=q
ab = p
Summand +
Minuend Faktor
Dividend :
Basis hoch
Summand
Subtrahend
Faktor
Divisor
Exponent
=
=
=
=
=
Summe
Differenz
Produkt
Quotient
Potenz
1
1
2
2
3
Bemerkung: Die Operation höherer Stufe hat Vorrang, falls nicht durch
Klammern etwas anderes angezeigt wird. Klammern werden von innen
nach außen abgearbeitet.
Rechenregeln in R
( a) = a
a = ( 1) a
ab = a b = a ( b) = ( a) b
ab = ( a) ( b)
(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d
a
a
a
b
b
b
a a
, b0
a :b b b
( a :b ) Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a b)2 = a2 2ab + b2
(a + b) (a b) = a2 b2
G
1 Grundlagen
18
Multiplikation und Division von Brüchen
a c ac
b d bd
ac a
bc b
b ab a
b
c
c
c
a
a da
b db
„kürzen durch c “ „erweitern mit d “
a
b a
c bc
a
b a d ad
c b c bc
d
a ac
,
b
b
c
b, c, d 0
Addition von Brüchen
a b a b
c c
c
a c ad bc
b d
bd
Multiplikation und Division „mit 0“
a0 = 0a = 0
0
0 mit a 0
a
a
0 a=0b0
b
ab=0a=0
b=0
a
- nicht definiert
0
Partialdivision (Division von Summen)
(0) Dividend und Divisor nach fallenden Potenzen einer allgemeinen
Größe (*) ordnen.
(1) Division der potenzhöchsten Terme.
(2) Rückmultiplikation mit dem gesamten Divisor.
(3) Subtraktion des Ergebnisses (2) vom Dividenden.
(4) Abbruch, falls das Ergebnis der Subtraktion (3) eine kleinere Potenz
bez. (*) hat, als die vom Divisor, sonst erneut mit (1) beginnen.
Beispiel 1.2
( 9a 6a b 2ab + b ) : ( 3a + 2b ) = 3a 4ab + 2b +
3
2
2
3
( 9a + 6a b
3
2
2
)
12a b 2ab + b
2
2
( 12a b 8ab
)
2
2
3
6ab + b
2
3
(6ab + 4b )
2
3
3b
3
2
3b 3
3a 2b
1.5 Reelle Zahlen R
19
Betrag einer Zahl
a, a 0
a : a , a 0
a 0
a a
a b a b
a b ab
1.5.2
Summen- und Produktzeichen
Summen- und Produktzeichen sind abkürzende Operationszeichen für
Summationen bzw. Produktbildungen.
n
ai : am am1 an ,
i m
n
i 1
n 1
n m,
1
n
! ai : am am1 an ,
i m
0
ai a1 ,
ai ai an1 ,
i 1
n, m Z
ai : 0,
i 1
i1
nm
n, m Z
Doppelsumme
n
m
aik
i 1 k 1
a11 + a12 + ... + a1m
+ a21 + a22 + ... + a2m
+
+
+ an1 + an2 + ... + anm
Rechenregeln
n
n
n
i 1
i 1
(ai bi ) ai bi
i 1
n
n
i 1
i 1
c ai c ai
n
i 1
i 1
n
i 1
i 1
! c ai c n ! ai
i 1
m
n
k 1 i 1
n
n
! c cn
aik aik
i 1 k 1
n
n
c nc
i 1
n m
n
! (ai bi ) ! ai ! bi
i 1
G