Kombinatorik

Kombinatorik
Oder wie man richtig zählt...
Stiftsschule Engelberg, Schuljahr 2016/2017
Stiftsschule Engelberg
1
PAM
4. OG — Schuljahr 2016/2017
Produktregel
Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten ergibt sich als Produkt aus der Anzahl der Möglichkeiten, die bei jeder
Entscheidung getroffen werden kann.
Produktregel für n Plätze Bestehen k1 Möglichkeiten, den ersten Platz zu belegen, k2 den zweiten etc.
bis kn den n-ten Platz, so gibt es
k1 · k2 · ... · kn
Möglichkeiten, die n Plätze mit Elementen zu belegen.
Aufgaben
1 – 11, p. 112/113 (Algebra 2)
1
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2
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4. OG — Schuljahr 2016/2017
Permutationen und Variationen, English: permutations
In diesem Kapitel untersuchen wir geordnete Stichproben. Die Reihenfolge oder Ordnung ist in diesen Fällen
wichtig!
2.1
Permutationen ohne Wiederholung
Beispiel 1: Karten anordnen Vier Karten mit den Ziffern 1, 2, 3 und 4. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, die vier Karten nebeneinander anzuordnen.
Es gibt die folgenden Möglichkeiten
1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432
2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421
4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321
Dies kann wie folgt berechnet werden (Produktregel):
4 · 3 · 2 · 1 = 4! = 24
Beispiel 2: 7 Personen platzieren
gibt es?
7 Personen sollen sich auf 7 Stühle setzen. Wie viele Möglichkeiten
Dies ist die gleiche Situation wie vorher. Möglichkeiten: 7! = 5040.
Beispiel 3: Zahlen aus 5 Ziffern
viele Zahlen gibt es?
Aus den Ziffern 1,2,3,4,5 sollen 5-stellige Zahlen gebildet werden. Wie
Dies ist wiederum die gleiche Situation. Möglichkeiten: 5! = 120.
Beispiel 4: Autos parkieren
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 Autos auf 10 Parkplätzen zu parkieren?
Anzahl der Möglichkeiten: 10! = 30 6280 800
Beispiel 5: Lose aus einer Urne ziehen In einer Urne befinden sich n Lose, nummeriert von 1 bis n.
Aus dieser Urne werden n Lose gezogen und nicht wieder zurückgelegt (d.h. es sind keine Wiederholungen
möglich). Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Lose zu ziehen?
Anzahl der Möglichkeiten: n!
2
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4. OG — Schuljahr 2016/2017
Permutationen ohne Wiederholung
Die allgemeine Situation lautet: n verschiedene Gegenstände sollen auf n Plätze verteilt werden. Wie viele
Möglichkeiten gibt es?
Diese Grundaufgabe nennt man Permutation ohne Wiederholung. Die Anzahl der Permutationen P (n)
ist
P (n) = n · (n − 1) · ...3 · 2 · 1 = n!
2.2
Permutationen mit Wiederholung
Beispiel 1: Karten anordnen Vier Karten (Farben: rot, rot, grün, blau resp. Zahlen 1, 1, 2, 3). Bestimme
die Anzahl der Möglichkeiten, die vier Karten nebeneinander anzuordnen.
Im Vergleich zu den Permutationen ohne Wiederholung, sind die beiden 1 nicht unterscheidbar. Es gibt die
folgenden Möglichkeiten
1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321
2113, 2131, 2311
3112, 3121, 3211
Dies kann wie folgt berechnet werden:
4!
= 12
2!
Beispiel 2: Wörter bilden
Aus den Buchstaben T,O,M,T,O sollen ”Wörter” gebildet werden.
Es gibt
5!
= 30
2! · 2!
verschiedene Wörter.
Permutationen mit Wiederholung
Die allgemeine Situation lautet: n Gegenstände, bei denen n1 , n2 , ..., nk gleich sind (mit n1 + n2 + ... + nk = n
sollen auf n Plätze verteilt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Diese Grundaufgabe nennt man Permutation mit Wiederholung. Die Anzahl ist
n!
n1 ! · n2 ! · ... · nk !
3
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Aufgaben
Lösungen
16. a) 24, b) 12, c) 12
17. a) 120, b) 24, c) 48
18. a) 165’888, b) 41’472
19. a) 3’113’510’400 , b) 387’448’320. Stelle
4
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2.3
PAM
4. OG — Schuljahr 2016/2017
Variationen ohne Wiederholung
Beispiel 1: Karten anordnen Fünf Karten (Farben: rot, grün, blau, magenta, schwarz resp. Zahlen
1,2,3,4,5). Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, drei Karten nebeneinander anzuordnen, wobei jede Farbe
(Ziffer) nur einmal verwendet werden darf (ohne Wiederholung).
Es gibt die folgenden Möglichkeiten
123, 124, 125, 132, 134, 135, 142, 143, 145, 152, 153, 154
213, 214, 215, 231, 234, 235, 241, 243, 245, 251, 253, 254
...
Dies kann wie folgt berechnet werden:
5·4·3=
5!
= 60
2!
Beispiel 2: 7 Personen platzieren
gibt es?
Möglichkeiten: 7 · 6 · 5 · 4 =
7!
3!
7 Personen sollen sich auf 4 Stühle setzen. Wie viele Möglichkeiten
= 840.
Beispiel 3: Zahlen aus 9 Ziffern Aus den Ziffern 1 – 9 sollen 5-stellige Zahlen gebildet werden. Jede Ziffer
darf nur einmal verwendet werden. Wie viele Zahlen gibt es?
Möglichkeiten: 9 · 8 · 7 · 6 · 5 =
9!
4!
Beispiel 4: Autos parkieren
= 150 120.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 Autos auf 6 Parkplätzen zu parkieren?
Anzahl der Möglichkeiten: 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 =
10!
4!
= 1510 200.
Beispiel 5: Lose aus einer Urne ziehen In einer Urne sind n Lose, nummeriert von 1 bis n. Aus dieser
Urne werden k Lose gezogen und nicht wieder zurückgelegt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Lose zu
ziehen?
Anzahl der Möglichkeiten:
n · (n − 1) · (n − 2) · ... · (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
Variationen ohne Wiederholung
Die allgemeine Situation lautet: n verschiedene Gegenstände sollen auf k Plätze verteilt werden (n > k). Wie
viele Möglichkeiten gibt es?
Diese Grundaufgabe nennt man Variation ohne Wiederholung. Die Anzahl der Variationen ohne Wiederholung V (k, n) ist
V (k, n) = n · (n − 1) · (n − 2) · ... · (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
5
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4. OG — Schuljahr 2016/2017
Permutation: Spezialfall der Variation ohne Wiederholung
Die Permutation ohne Wiederholung ist ein Spezialfall der Variation. Es gilt
P (n) = V (n, n) oder n! =
n!
n!
=
(n − n)!
1
TI nspire
Der entsprechende Befehl auf dem TI nspire ist TI: nPr(n,k)
2.4
Variationen mit Wiederholung
Beispiel 1: Karten anordnen Fünf Karten (Farben: rot, grün, blau, magenta, schwarz resp. Ziffern
1,2,3,4,5). Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, drei Karten nebeneinander anzuordnen, wobei die gleiche Farbe (Ziffer) mehrmals gebraucht werden darf (mit Wiederholung).
Es gibt die folgenden Möglichkeiten
111, 112, 113, 114, 115, 121, 122, 123, 124, 125, 131, 132, 133, 134, 135, 141, 142, 143, 144, 145
...
Dies kann wie folgt berechnet werden:
5 · 5 · 5 = 53 = 125
Beispiel 2: Zahlen aus 9 Ziffern Aus den Ziffern 1 – 9 sollen 5-stellige Zahlen gebildet werden. Jede Ziffer
darf mehrmals verwendet werden. Wie viele Zahlen gibt es?
Möglichkeiten: 95 = 590 049.
Beispiel 3: Lose aus einer Urne ziehen In einer Urne sind n Lose, nummeriert von 1 bis n. Aus dieser
Urne werden k Lose gezogen und wieder zurückgelegt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Lose zu ziehen?
Anzahl der Möglichkeiten:
nk
Variationen mit Wiederholung
Die allgemeine Situation lautet: n verschiedene Gegenstände sollen auf k Plätze verteilt werden. Der Gegenstand darf mehrmals verwendet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Diese Grundaufgabe nennt man Variation mit Wiederholung. Die Anzahl der Variationen mit Wiederholung V (k, n) ist
V (k, n) = nk
6
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Aufgaben
Lösungen
20. 60
21. 1296
22. 59’049
23. a) 120, b) 40, c) 40, d) 20, e) 50
24. a) 24, b) 100
25. a) 9000, b) 4536, c) 2187, d) 900, e) 810, f) 100
26. a) 120, b) 240, c) 120
7
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Stiftsschule Engelberg
3
PAM
4. OG — Schuljahr 2016/2017
Binomialkoeffizient
Definition 1 (Binomialkoeffizient). Der Binomialkoeffizient ist definiert als
n
n!
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1)
=
=
k
(n − k)! k!
k!
Eigenschaften des Binomialkoeffizienten
Symmetrieeigenschaft Für n = 7 und k = 2 gilt
7
7!
7!
7
=
=
=
2
5! 2!
2! 5!
5
Allgemein ausgedrückt gilt:
Satz 1. Symmetrie der Binomialkoeffizienten:
n
n
=
k
n−k
Beweis. Dies folgt aus der Definition:
n
n!
n!
n!
n!
n
=
=
=
=
=
k
(n − k)! k!
k! (n − k)!
(n − n + k)! (n − k)!
(n − (n − k))! (n − k)!
n−k
Spezielle Werte für k = 0 und k = n
7
7!
7!
=
=
=1
0
7! · 0!
7! · 1
Für n = 7 folgt für k = 0 und k = n = 7
und
7!
7
7!
=
=1
=
7
0! · 7!
1 · 7!
Allgemein:
Satz 2.
n
n
=
=1
0
n
Beweis. Auch dies folgt aus der Definition:
n
n!
1
=
=
=1
0
n! 0!
0!
8
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Prinzip des Pascal’schen Dreiecks
7
7
8
+
=
2
3
3
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4. OG — Schuljahr 2016/2017
Für n = 7 und k = 2 gilt
Allgemein:
Satz 3.
n
n
n+1
+
=
k
k+1
k+1
Beweis.
n
n
n!
n!
+
=
+
k
k+1
(n − k)! k! (n − k − 1)! (k + 1)!
n! (k + 1)
n! (n − k)
n! (k + 1 + n − k)
(n + 1)!
=
+
=
=
=
(n − k)! (k + 1)! (n − k)! (k + 1)!
(n − k)! (k + 1)!
(n − k)! (k + 1)!
Aufgaben
27, 28, 29, 34, 35, 36
TI nspire
Der entsprechende Befehl auf dem TI nspire ist
TI: nCr(10,5)
9
n+1
k+1
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4
4.1
PAM
4. OG — Schuljahr 2016/2017
Kombinationen (k-elementige Teilmengen)
Kombinationen ohne Wiederholung
Beispiel 1: Teilmengen
gibt es?
Gegeben sei die Menge A = {a, b, c, d, e}. Wie viele Teilmengen mit 3 Elementen
Wir erstellen eine Liste
T1 = {a, b, c}
T2 = {a, b, d}
T3 = {a, b, e}
T4 = {a, c, d}
T5 = {a, c, e}
T6 = {a, d, e}
T7 = {b, c, d}
T8 = {b, c, e}
T9 = {b, d, e}
T10 = {c, d, e}
Bei den Teilmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle. Würde man die Anzahl der ’3-BuchstabenWörter’ mit den Buchstaben a,b,c,d,e bilden, so gäbe es viel mehr Möglichkeiten:
abc, cab, bac, bca, cab, cba
abd, adb, bad, bda, dab, dba
abe, aeb, bae, bea, eab, eba
acd, adc, cad, cda, dac, dca
ace, dec, cae, cea, eac, eca
ade, aed, das, dea, ead, eda
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb
bce, bec, cbe, ceb, ebc, ecb
bde, bed, dbe, deb, ebd, edb
cde, ced, dce, dec, ecd, edc
Die Anzahl der Möglichkeiten lässt sich für die Wörter als Variation ohne Wiederholung berechnen. Es sind
5!
= 60
2!
Nun berechnen wir die Anzahl der Teilmengen. Der Unterschied zu den Wörtern besteht darin, dass z.B. zu
den Wörtern abc, cab, bac, bca, cab, cba nur eine Teilmenge T1 = {a, b, c} gehört. Wenn man also von den Anzahl
Wörtern ausgeht, dann hat man jede Teilmenge 6-mal gezählt. Die Buchstaben abc lassen sich auf 6 Arten zu
einem ’Wort’ zusammensetzen. Dies entspricht der Permutation der 3 Buchstaben, also 3!.
Damit berechnet sich die Anzahl der Teilmengen zu
60
5!
5
5
=
=
=
= 10
6
2! · 3!
2
3
10
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4. OG — Schuljahr 2016/2017
Beispiel 2: Mannschaften bilden Aus den 5 Personen ’Anita’, ’Bruno’, ’Carlo’, ’Daniel’, ’Emily’ soll die
Anzahl der Möglichkeiten berechnet werden, eine Mannschaft mit 3 Personen zu bilden. Diese Aufgabe lässt
sich genau gleich lösen, wie das erste Beispiel. Es gibt also auch 10 verschiedene Mannschaften.
Beispiel 3: Swisslotto
Beim Swisslotto sind 45 Kugeln mit den Nummern 1 bis 45 in einem Behälter. Es werden zufällig 6 Kugeln
gezogen und der Grösse nach geordnet. Wie viele mögliche Tipps gibt es?
Auch diese Situation führt auf die gleiche Art von Fragestellung. Es geht darum aus einer Menge (in diesem
Falle die Zahlen von 1 bis 45) die Anzahl der Teilmengen mit 6 Elementen zu bestimmen. Dies ist wiederum
45
= 80 1450 060
6
Beispiel 4: Lose aus einer Urne ziehen In einer Urne befinden sich n Lose, nummeriert von 1 bis n. Aus
dieser Urne werden k Lose gezogen und nicht wieder zurückgelegt. Die Reihenfolge des Ziehens spielt keine
Rolle. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Lose zu ziehen?
Anzahl der Möglichkeiten:
n
k
11
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4. OG — Schuljahr 2016/2017
k-elementige Teilmengen
Aus einer Menge mit n Elementen soll die Anzahl der k-elementigen Teilmengen bestimmt werden. Diese
ergeben sich aus
n
C(k, n) =
k
In der Kombinatorik nennt man diese Grundaufgabe auch Kombination ohne Wiederholung. Ohne Wiederholung bedeutet, dass jedes Element nur einmal verwendet werden darf.
Aufgaben
38 – 49
Aufgaben
12
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13
4. OG — Schuljahr 2016/2017
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PAM
Lösungen
34. 45
35. 120
36. 37. 120
38. a) 715, b) 589, c) 336
39. 455
40. a) 120, b) 35, c) 21, d) 50, e) 110
41. 39
42. 23
43. a) 455, b) 335
44. -
14
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5
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4. OG — Schuljahr 2016/2017
Der binomische Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz ist eine Verallgemeinerung der binomischen Formeln. Aus
(a + b)1
= a+b
=
1
0
2
(a + b)2
= a2 + 2ab + b2
=
(a + b)3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
=
(a + b)4
= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
=
a1 +
1
1
b1
a2 +
2
ab +
2
2
b2
2
3 3
3 2
3
3 3
0 a + 1 a b + 2 ab + 3 b
3
4 4
4 3
4 2 2
4
0 a + 1 a b + 2 a b + 3 ab +
0
1
4
4
b4
folgt
Satz 4. Binomischer Lehrsatz
n n
n n−1
n n−2 2
n
n
n n
n
2 n−2
n−1
(a + b) =
a +
a
b+
a
b + ... +
a b
+
ab
+
b
0
1
2
n−2
n−1
n
Beweis. Die binomische Formel kann mit vollständiger Induktion bewiesen werden.
Siehe z.B. http://www.mathepedia.de/Binomischer Satz.aspx
Aufgaben
53, 55, 61, 62
15