Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen Vorlesung 8 – 07.12

Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 8 – 07.12.2012
Themen Syntax und Semantik der Prädikatenlogik erster Stufe.
Literatur Die Grundlagen der Prädikatenlogik finden Sie in nahezu allen Büchern
mit dem Wort ,,Logik“ im Titel. Eine kleine Auswahl:
[1] Dassow, Jürgen: Logik für Informatiker. Vieweg, 2005. – ISBN 3519005182
[2] Heinemann, Bernhard ; Weihrauch, Klaus:
Einführung. Teubner, 1992. – ISBN 3519122480
Logik für Informatiker. Eine
[3] Rautenberg, Wolfgang: Einführung in die Mathematische Logik: Ein Lehrbuch. 3.
überarb. Auflage. Teubner, 2008. – ISBN 3834805785
[4] Schöning, Uwe: Logik für Informatiker. 5. Auflage. Spektrum, 2000. – ISBN
3827410053
Aufgaben
1. Prädikatenlogische Formeln
Welche der folgenden Objekte sind prädikatenlogische Formeln? Begründen Sie
Ihre Antwort!
(a) P (x)
(b) f (x)
(c) ∀xP (f (y)) ∨ Q
(d) P (∃x Q(x) ∨ ¬Q(x))
2. Formalisieren prädikatenlogischer Aussagen
Beschreiben Sie die folgenden Sachverhalte jeweils durch eine prädikatenlogische
Formel. Geben Sie die intendierte Bedeutung der vorkommenden Funktions- und
Prädikatsymbole an. Sind Ihre Formeln gültig/erfüllbar/unerfüllbar?
(a) Alle Fische können schwimmen.
(b) Es gibt eine Person, die genau denjenigen hilft, die sich nicht selbst helfen.
(c) Eine Zahl ist interessant, wenn alle kleineren Zahlen uninteressant sind.
3. Modelle
Geben Sie ein Modell mit endlichem und eines mit unendlichem Universum an:
F = ∃x ¬P (x, f (x)) ∧ ∀x ∀y (P (f (x), f (y)) → P (x, y)) ∧ ∀y ∃x P (y, f (x))
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Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 8 – 07.12.2012
4. Erfüllbarkeit und Gültigkeit
Seien F , G und H prädikatenlogische Formeln und x eine freien Variable in allen
dreien. F sei gültig, G unerfüllbar und H weder gültig noch unerfüllbar. Welche
Möglichkeiten gibt es für die folgenden Formeln?
gültig unerfüllbar weder noch
¬F ∨ G
∀x F
∃x F
∀x H
∃x G
¬∀x H
5. Zusatzaufgabe: Prädikatenlogik zweiter Stufe
Geben Sie eine prädikatenlogische Formel F zweiter Stufe (d.h. Sie dürfen über
Prädikate und Funktionen quantifizieren) mit dem zweistelligen Prädikat P an,
welche genau dann unter einer Struktur A = (UA , IA ) wahr wird, wenn diese
P A = {(u, u)) : u ∈ UA } (das Gleichheitsprädikat) setzt.
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