Formale Sprachen und Automatentheorie - ¨Ubungsblatt 4

Formale Sprachen und Automatentheorie Übungsblatt 4
May 16, 2015
Abgabe bis zum 18.5. um 16:00 Uhr per mail an [email protected]
(bitte als pdf oder txt).
1 Endliche Automaten und Grammatiken
Obwohl uns noch der Beweis fehlt, haben wir gesehen, dass man für einen
gegebenen endlichen Automaten eine entsprechende Typ-3 Grammatik konstruieren kann, die die selbe Sprache beschreibt wie der Automat.
Gib für jeden der folgenden Automaten seine Sprache L(A) an. Verwende
dann das Konstruktionsschema aus der Vorlesung um eine entsprechende Typ3-Grammatik G anzugeben, so dass gilt L(A) = L(G). Erkläre dein Vorgehen:
Gib jeweils an wie Nichtterminale, Terminale, Startsymbol und Produktionsregeln der Grammatik zu stande kommen.
1.1 Automaten
a
start
0
b
Figure 1: (A)
1
start
0
b
a
c
1
Figure 2: (B)
a
start
0
c
a
1
c
2
c
b
Figure 3: (C)
2 Induktionsbeweis
2.1 Aufbau eines Induktionsbeweises
Induktionsbeweise werden durch das Induktionsprinzip
∀P ((P (0)∀n ∈ n(P (n) → P (n + 1))) → ∀z ∈ nP (z))
legitimiert. Dieses besagt, dass, wenn eine Aussage P für 0 gilt und sich zeigen
lässt, dass P von n+1 aus P von n folgt, dann gilt P für alle natürlichen Zahlen.
Im allgemeinen spricht man also davon, dass man eine Behauptung per Induktion über die natürlichen Zahlen beweist. Falls n im speziellen Beweiskontext eine Bedeutung hat, spricht man auch von dieser (z.B. von Induktion über
die Wortlänge, Induktion über die Anzahl von Elementen usw.).
Zu einem Induktionsbeweis gehören 4 Bestandteile:
1. eine zu Beweisende Behauptung
2. eine Induktionsbasis (meist P (0), vergleichbar mit dem trivialen Fall bei
Rekursion)
3. die Induktionsvoraussetzung
4. der Induktionsschritt
Im Induktionsschritt wird gezeigt, dass P (n + 1) aus P (n) folgt. Die Induktionsvoraussetzung bedeutet, dass wir während des Induktionsschritts annehmen dürfen, dass P (n) gilt.
2
2.2 Aufgabe
2M bezeichnet die Potenzmenge von M. D.h. 2M ist die Menge aller Teilmengen von M. Die Kardinalität einer Menge, |M |, bezeichnet die Anzahl ihrer
Elemente.
Beweise durch Induktion über die Kardinalität, dass
|2M | = 2|M |
für jede Menge M gilt!
Mit anderen Worten: Beweise, dass die Kardinalität der Potenzmenge einer
beliebigen Menge gleich 2 potenziert mit der Kardinalität dieser Menge ist! Für
den Beweis dürfen bereits bekannte Mittel wie z.B. Mengen- oder arithmetische
Operationen, intensionale Mengenschreibweise, Potenzregeln usw. verwendet
werden.
Zusätzlich könnte folgende Definition hilfreich sein: Mn = 1, ..., n (mit
|Mn | = n)
Mn enthält also alle Zahlen von 1 bis n, so dass M genau n Elemente hat.
Gebt für den Beweis alle vier Bestandteile an und erklärt eure Zwischenschritte. Falls ihr nicht weiterkommt, gilt wie immer: Keine Panik, schreibt auf
wo ihr Probleme habt und sammelt Fragen für das Tutorium.
Tipp: 2x = 2 · 2x−1
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