1 Inhalt..........................................................

1
Inhalt..................................................................................................................................... 3
2
Einleitung................................................... .'.........................................................................8
2.1
3
4
Verwendete mathematische Symbole und Funktionen.......................................... 10
Grundlegendes zu Primzahlen.......................................................................................... 14
3.1
Für Eilige: Was wissen wir sicher?........................................................................... 16
3.2
Für Eilige: Was vermuten wir, haben dafür jedoch keinen Beweis?..................... 17
3.3
Für Eilige: Was ist noch unbekannt?.........................................................................18
3.4
Für Eilige: Was ist neu?............................................................................................. 19
Spezielle Arten von Primzahlen....................................................................................... 20
4.1
Primzahl-Zwillinge................................................................................................... 20
4.2
Primzahl-Drillinge und -Vierlinge.............................................................................23
4.3
Primzahl N-Linge....................................................................................................... 25
4.4
Korrelationen der Endziffern in aufeinander folgenden Primzahlen....................31
4.5
Mersenne-Primzahlen...............................................................................................33
4.5.1
GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search............................................ 38
4.6
Fermat-Primzahlen....................................................................................................39
4.7
Glückliche Primzahlen...............................................................................................41
4.8
Vollkommene Zahlen................................................................................................. 43
4.8.1
Allgemeines und Definition...............................................................................43
4.8.2
Eigenschaften.................................................................................................... 44
4.9
Sophie-Germain-Primzahlen.....................................................................................46
4.9.1
4.10
Berechnung und Eigenschaften........................................................................ 47
Fibonacci-Zahlen und andere rekursive Folgen..................................................... 48
4.10.1
Lineare Rekursion: Ein mächtiges Instrum ent................................................51
4.10.2
Fibonacci-Primzahlen und Fibonacci Pseudo-Primzahlen.............................61
4.10.3
Meta-Fibonacci-Folgen......................................................................................62
4.11
Carmichael- und Knödel-Zahlen............................................................................... 63
4.12
Mirp-Primzahlen........................................................................................................64
4.13
Wagstaff-Primzahlen................................................................................................. 64
4.14
Wieferich-Primzahlen................................................................................................66
4.15
Wilson-Primzahlen....................................................................................................68
4.16
Wolstenholme-Primzahlen....................................................................................... 70
4.17
RG-zahlen (= rekursiv gödelisiert)........................................................................... 71
4.17.1
GOCRON-Typ 6 (.Prime-OCRONS')..................................................
4.17.2
GOCRON-Typ 4 (mit den Symbolen /2 7 * '/P y A') ............................................ 75
71
5
Einschub: Die Riemannsche Zeta-Funktion ( (s ).............................................................78
5.1
Allgemeines................................................................................................................ 78
5.2
Die verschiedenen Darstellungen von £ (s ).............................................................84
5.3
Die Produktdarstellung von £(s) im Komplexen.................................................... 86
5.4
Eine unerwartete Produktdarstellung einer etwas anderen £ (s)......................... 92
5.5
Eine Zähl-Funktion für die Anzahl der Nullstellen................................................. 95
5.6
Die Zeta-Funktion und das Quantenchaos: Eine Brücke zur Physik..................... 98
6
Einschub: Die Riemann-Funktion R (s )......................................................................... 102
7
Ein paar wichtige zahlentheoretische Funktionen........................................................103
7.1
Die Omega-Funktionen: Anzahl der Primfaktoren............................................... 103
7.2
Die Liouville-Funktion.............................................................................................105
7.3
Die Tschebyschew-Funktion...................................................................................107
7.4
Die Eulersche Phi-Funktion.....................................................................................110
7.4.1
Berechnung und graphische Darstellungender Phi-Funktion......................110
7.4.2
Eigenschaften der Phi-Funktion.....................................................................112
7.5
8
Die Teilersummenfunktion (Sigma-Funktion)......................................................114
7.5.1
Definition, Eigenschaften................................................................................ 114
7.5.2
Graphische Darstellungen der Sigma-Funktion............................................117
7.6
Die Ramanujansche Tau-Funktion......................................................................... 121
7.7
Die Mertens-Funktion..............................................................................................125
7.8
Das Radikal............................................................................................................... 127
7.9
Ramanujan-Summen............................................................................................... 128
7.9.1
Definition.......................................................................................................... 129
7.9.2
Eigenschaften................................................................................................... 133
7.9.3
Erweiterung auf R ........................................................................................... 134
Funktionen zur Berechnung von Primzahlen............................................................... 137
8.1
Funktionen, die exakt alle Primzahlen liefern.......................................................137
8.2
Funktionen, die immer Primzahlen liefern............................................................138
8.3
Funktionen, deren positive Wertemengen die Menge der Primzahlen sind......138
8.4
Rekursive Formeln...................................................................................................139
8.5
Funktionen, deren .Nullstellen' oder Minimas bei Primzahlen liegen.................140
8.5.1
3 *(x)-Funktion................................................................................................ 140
8.5.2
Reed-Jameson-Funktion.................................................................................. 141
8.5.3
Sonstige zahlentheoretische Funktionen mit Nullstellen bei Primzahlen.. 142
8.6
Formeln zur Berechnung der Anzahl von Primzahlen......................................... 143
8.7
Formeln zur Berechnung der n-ten Primzahl........................................................149
8.8
Formeln zur Berechnung der n-ten Nicht-Primzahl.............................................149
9
Jetzt wird’s interessant: vierdimensionale Kugeln und Primzahlen........................... 151
9.1
Zweite Dimension: Kreise und ganzzahlige Gitterpunkte....................................153
9.1.1
9.2
Formeln und Eigenschaften............................................................................ 156
Dritte Dimension: Kugeln und Gitterpunkte........................................
9.2.1
9.3
Formeln und Eigenschaften............................................................................ 164
Vierte Dimension: Hyperkugeln und Gitterpunkte auf ,Glomes‘..........................165
9.3.1
10
158
Formeln und Eigenschaften............................................................................ 173
Von OCRONS und GOCRONS: Gödel lässt grüßen......................................................174
10.1
Was sind OCRONS bzw. GOCRONS?....................................................................... 174
10.1.1
Summendarstellung in Zahlensystemen.......................................................175
10.1.2
Produktdarstellung mit Primfaktoren..........................................................176
10.2
OCRONS mit Prim-Operator................................................................................... 178
10.2.1
OCRONS mit Prim-„P" und „*"-Operator........................................................ 179
10.2.2
OCRONS mit Prim-„P",
10.2.3
OCRONS mit Prim-„P", „*"- „A‘‘- und „Q"-Operator....................................... 199
10.2.4
OCRONS mit Prim- und Nicht-Prim-Operator............................................... 199
10.3
11
und „A"-Operator................................................ 181
Die Welt der OCRON-Wesen und mathematischer Sprengstoff.......................... 205
Primzahlen und die „Matrix"-Software: Eine Gesetzmäßigkeit?..............................211
11.1
12
Regeln für Differenzen n-ter Ordnung...................................................................211
Die ABC-Vermutung....................................................................................................220
12.1
Allgemeines..............................................................................................................220
12.2
ABC-Vermutung und GOCRONs: Eine Verbindung?............................................. 224
12.3
Die Menge Mabc und ihre Ebenengleichung......................................................... 229
13
Primzahlen in den Naturwissenschaften...................................................................233
13.1
Primzahlen im DNA-Code........................................................................................233
13.2
Spektrale Eigenschaften von .Primzahl-Signalen'.................................................236
14
Primzahlen und Online-Banking................................................................................ 239
14.1
Die RSA-Verschlüsselung........................................................................................ 239
14.2
Die Sicherheit der RSA-Methode............................................................................ 244
14.3
Rechenbeispiele zur RSA-Ver- und Entschlüsselung............................................245
15
Primzahlen in der Musik............................................................................................. 249
15.1
Eulers Konsonanztheorie und der Gradus Suavitatis........................................... 249
15.1.1
Mathematische Eigenschaften des Gradus Suavitatis.................................. 253
15.1.2
Das .Zurechthören' von komplexen oder irrationalen Intervallen............. 254
15.2
16
Primzahlen als rhythmische Muster...................................................................... 255
Primzahlen in der Poesie.............................................................................
16.1
258
Haikus und Tankas.................................................................................................. 258
16.2
Sestine...................................................................................................................... 260
16.3
Zum Nachdenken..................................................................................................... 264
17
Primzahlen und außerirdische Lebensformen......................................................... 266
17.1
18
Die Arecibo-Botschaft........................................................ ;................................... 268
Sonstiges...................................................................................................................... 270
18.1
Die Zahl 12................................................................................................................270
18.2
Die Zahl 313............................................................................................................. 271
18.3
Primzahlen und Kunst.............................................................................................272
19
Schlussbetrachtung......................................................................................................273
20
Anhang..........................................................................................................................274
20.1
Die Catalansche Vermutung....................................................................................274
20.2
Statistische Auffälligkeiten der Endziffern in der Primzahlfolge.........................275
20.3
Eine interessante Folge: Die Perrin-Folge............................................................. 277
20.4
Weitere Vermutungen über Primzahlen................................................................279
20.5
Primzahl n-Tupel: Konstellationen von Primzahlen.............................................280
20.6
Explizite Lösungen aus Kapitel 4.10.1................................................................... 283
20.7
Weitere Abbildungen zu RG-Folgen....................................................................... 285
20.8
Virtuelle OCRONs..................................................................................................... 288
20.9
Weitere ungelöste mathematische Probleme....................................................... 292
20.9.1
Euklid-Mullin Sequenz.................................................................................... 292
20.9.2
Aliquot-Sequenzen.......................................................................................... 293
20.9.3
Faktorisierung von Zahlen............................................................................. 312
20.10
Tabellen................................................................................................................318
20.10.1
Anzahl der Primzahlen bis zu einer Grenze N (Pi(n))...............................318
20.10.2
Mersenne-Primzahlen................................................................................. 322
20.10.3
Fermat-Primzahlen..................................................................................... 323
20.10.4
Entartung von Typ4-0CR0Ns und -EOCRONs........................................... 324
20.10.5
Nullstellen der Ramanujanschen Tau-L-Funktion................................... 326
20.10.6
abc-Vermutung: Fitparameter und C3-Werte von Ebenengleichungen
verschiedener Gödelisierungsmethoden....................................................................... 327
20.11
Mathematica-Programme....................................................................................330
20.11.1
Vergleich der Anzahl Von Primzahl-Zwillingen, -Cousins und SexyPrimzahlen mit der Formel von Hardy-Littlewood.......................................................330
20.11.2
RG-Folgen..................................................................................................... 331
20.11.3
Riemannsche Zeta-Funktion....................................................................... 332
20.11.4
Reed Jameson und Perrin-Folgen...............................................................334
20.11.5
Gitterpunkte auf n-Spheres (n-dimensionalen Kugeln)............................ 335
20.11.6
Ausweitung und Statistik für Primzahl-Differenzen................................ 341
20.11.7
abc-Vermutung.............................................................................................342
20.11.8
Sonstige Mathematica-Programme............................................................342
20.11.9
OCRONs- und abc-Vermutung: Programm-Bibliothek............................. 344
20.11.10
Sound-Routinen........................................................................................... 346
20.11.11
RSA-Verschlüsselung und Entschlüsselung.............................................. 347
20.11.12
Aliquot-Sequenzen.......................................................................................354
20.11.13
Die Arecibo-Nachricht................................................................................. 355
20.11.14
Korrelationen in den letzten Ziffern der Primzahlfolge........................... 356
Literaturverzeichnis.............................................................................................................. 358
Abbildungsverzeichnis.......................................................................................................... 359
Tabellenverzeichnis............................................................................................................... 3 64
Sachverzeichnis......................................................................................................................366
Computerprogramme - CD....................................................................................................370
Animationen....................................................................................................................... 370
Mathematica-Notebooks....................................................................................................370
Sounds................................................................................................................................. 371
Grafiken...............................................................................................................................371
Danksagungen........................................................................................................................ 372