Abitur BW 2014 - Fit in Mathe Online

Abitur Berufsgymnasium Stochastik 2014 BW
Aufgabe 1
Lösungslogik
Wir bestimmen zunächst die relativen Häufigkeiten für die Zahlen 0, 1, 2, 3.
1.1 Ereignis : Dieses Ereignis tritt nur einmal auf. Die Wahrscheinlichkeit
errechnet sich über die Multiplikation der Einzelereignisse.
Ereignis : Dies ist eine Permutation von vier nicht gleichen Elementen. Ihr
Vorkommen ist 4!.
Ereignis : Wir bilden eine Bernoulli-Kette mit mindestens zweimal 3.
Ereignis : Wir stellen den Ergebnisraum auf und berechnen die
Wahrscheinlichkeit.
1.2.1 Spieler nutzt alle vier Versuche aus:
Es wird dreimal 0 oder 1 gedreht und im vierten Versuch eine beliebige Zahl
(0 ∨ 1 ∨ 2 ∨ 3).
1.2.2 Durchschnittlicher Zahlenwert:
Wir stellen den Spielverlauf für die aufgeführte Strategie in einer Tabelle
auf, berechnen die Einzelwahrscheinlichkeiten und berechnen damit den
Erwartungswert ( ).
Klausuraufschrieb
Tabelle der relativen Häufigkeiten:
Zahl
Relative Häufigkeit
0
0,5
1
0,25
2
0,15
3
0,1
1.1 Wahrscheinlichkeit der Ereignisse , , und :
: Die Zahlen 0, 1, 2, 3 werden in dieser Reihenfolge abgelesen.
( ) = (0) ∙ (1) ⋅ (2) ⋅ (3) = 0,5 ⋅ 0,25 ⋅ 0,15 ⋅ 0,1 = 0,001875
:
Alle vier Zahlen treten je einmal auf.
Permutation von vier unterschiedlichen Elementen tritt 4!-mal auf.
( ) = 4! ⋅ ( ) = 24 ⋅ 0,001875 = 0,045
:
Die 3 tritt mindestens zweimal auf.
( ) = ; , ( ≥ 2) = 1 − ; , ( ≤ 1)
=1−
; ,
( = 0) +
; ,
( = 1)"
4
4
" 0,9 + " 0,1 ∙ 0,9% & = 1 − (0,9 + 4 ∙ 0,1 ∙ 0,9% )
1
0
( ) = 1 − 0,9477 = 0,0523
:
Die Summer der vier Zahlen ist größer als 10.
Ereignisraum:
Ω = {(2; 3; 3; 3), (3; 2; 3; 3), (3; 3; 2; 3), (3; 3; 3; 2), (3; 3; 3; 3)}
( ) = 4 ∙ 0,15 ∙ 0,1% + 0,1 = 0,0007
1.2.1 Spieler nutzt alle vier Versuche aus:
(0 ∪ 1 ,- 1. /01234ℎ) ∩ (0 ∪ 1 ,- 2. /01234ℎ) ∩ (0 ∪ 1 ,- 3. /01234ℎ)
∩ (0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ 3)
(4 /01234ℎ0) = (0,5 + 0,25)% ⋅ (0,5 + 0,25 + 0,15 + 0,1) = 0,4219
=1−#
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1.2.2 Durchschnittlicher Zahlenwert:
Zusammenstellung der Ergebnisse des Spielverlaufs
Spieler beendet Spiel mit
dem ZahlenWert 0 ( = 0).
dem ZahlenWert 1 ( = 1).
dem ZahlenWert 2 ( = 2).
dem ZahlenWert 3 ( = 3).
„Verlauf“ des Spiels
Der Spieler beendet das Spiel erst mit dem
vierten Versuch und dreht dabei den
Zahlenwert 0:
Erster, zweiter und dritter Versuch 0 oder 1
(sonst würde das Spiel mit einer 2 oder 3
enden und nicht fortgesetzt)
Der Spieler beendet das Spiel erst mit dem
vierten Versuch und dreht dabei den
Zahlenwert 1:
Erster, zweiter und dritter Versuch 0 oder 1
(sonst würde das Spiel mit einer 2 oder 3
enden und nicht fortgesetzt)
Es gibt vier Möglichkeiten dafür, dass das
Spiel mit dem Zahlenwert 2 endet:
2 im ersten Versuch;
2 im zweiten Versuch beinhaltet 0 oder 1 im
ersten Versuch;
2 im dritten Versuch beinhaltet 0 oder 1 im
ersten und zweiten Versuch;
2 im vierten Versuch beinhaltet 0 oder 1 im
ersten, zweiten und dritten Versuch;
Es gibt vier Möglichkeiten dafür, dass das
Spiel mit dem Zahlenwert 3 endet:
3 im ersten Versuch;
3 im zweiten Versuch beinhaltet 0 oder 1 im
ersten Versuch;
3 im dritten Versuch beinhaltet 0 oder 1 im
ersten und zweiten Versuch;
3 im vierten Versuch beinhaltet 0 oder 1 im
ersten, zweiten und dritten Versuch;
Berechnung des Erwartungswertes:
78
0
1
( = 78 )
0,2109
0,1055
78 ∙ ( = 78 )
0
0,1055
8
: 78 ∙ ( = 78 )
0
+
0,1055 +
2
0,4102
0,8204
0,8204 +
( = 78 )
0,75% ∙ 0,5
= 0,2109
0,75% ∙ 0,25
= 0,1055
0,15 +
0,75 ⋅ 0,15 +
0,759 ⋅ 0,15 +
0,75% ⋅ 0,15
= 0,4102
0,1 +
0,75 ⋅ 0,1 +
0,759 ⋅ 0,1 +
0,75% ⋅ 0,1
= 0,2734
3
0,2734
0,8202
0,8202
( ) = 1,7461
Auf lange Sicht gesehen erreicht ein Spieler im Durchschnitt den
Zahlenwert 1,7.
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Aufgabe 2
Lösungslogik
2.1 Wahrscheinlichkeit der Ereignisse , , und :
Ereignis : Bernoulli-Experiment mit < = 4 und = = 0,2 für Alkohol mit ≥ 1.
Ereignis : Bernoulli-Experiment mit < = 4 und = = 0,2 für Alkohol mit = 2.
Ereignis : Bernoulli-Experiment mit < = 4 und = = 0,8 für keinen Alkohol mit
≤ 1.
2.2 Prozentzahl neutraler Zuschauer mit Alkohol:
Einfachste Lösung über 6-Feldertafel, siehe Klausuraufschrieb.
Wahrscheinlichkeit für ausgewählten TuS-Fan mit Alkohol:
Bedingte Wahrscheinlichkeit, siehe Klausuraufschrieb.
2.3 Prüfung einer Formel:
Diese Teilaufgabe ist über eine Bernoullikette zu lösen. Wir formulieren diese
Bernoullikette und lösen sie auf, prüfen unser Ergebnis gegen die Angabe des
Sohnes des Einsatzleiters.
Klausuraufschrieb
2.1 Wahrscheinlichkeit der Ereignisse , , und :
( ) = ; ,9 ( ≥ 1) = 1 − ; ,9 ( = 0) = 1 − 0,8 = 0,5904
( ) = ; ,9 ( = 2) = 4" ∙ 0,29 ∙ 0,89 = 0,1536
2
4
( ) = ; ,> ( ≤ 1) = " ∙ 0,2 + 4" ∙ 0,8 ∙ 0,2% = 0,0016 + 0,0256 = 0,0272
0
1
2.2 Prozentzahl neutraler Zuschauer mit Alkohol:
=Alkohol dabei; =kein Alkohol dabei
RWK-Fans
TuS-Fans
Neutrale
:
0,48 ⋅ 0,2 = 0,096
0,3 ⋅ 0,1 = 0,03
0,22 ⋅ 7
0,48 ∙ 0,8 = 0,384
0,3 ⋅ 0,9 = 0,27
0,22 ∙ (1 − 7)
0,15
0,85
:
0,48
0,3
0,22
1,00
0,096 + 0,03 + 0,22 ⋅ 7 = 0,15
0,22 ⋅ 7 = 0,024 ⟹ 7 = 0,109 ≈ 11 %
Etwa 11 % der neutralen Zuschauer haben Alkohol dabei.
Wahrscheinlichkeit für ausgewählten TuS-Fan mit Alkohol:
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
Ereignis BC: Person hat Alkohol dabei
Ereignis D:
Person ist TuS-Fan
H(EFG∩I)
,%∙ ,
EFG (D) = H(EFG) = , J = 0,2
Die Wahrscheinlichkeit, dass von allen Personen, die Alkohol dabei haben eine
zufällig ausgewählte Person ein TuS-Fan ist, beträgt 20 %.
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2.3 Prüfung einer Formel:
Bernoullikette. Gesucht wird <; = = 0,1 (TuS-Fans mit Alkohol)
K; , ( ≥ 2) > 0,6
1 − K; , ( ≤ 1) > 0,6
<
<
1 − M " ∙ 0,1 0,9K + " 0,1 ∙ 0,9KN O > 0,6
0
1
K
KN
1 − (0,9 + < ∙ 0,1 ∙ 0,9 ) > 0,6
Bei der Aufstellung der Bernoullikette hat der Sohn des Einsatzleiters den
Binomialkoeffizienten vergessen.