Lehrbuch der Mengenlehre Verlag Harri Deutsch
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Lehrbuch der Mengenlehre von R S. Alexandroff Mit 23 Abbildungen m Verlag Harri Deutsch y Inhalt 1. Unendliche Mengen 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. Der Begriff der Menge Teilmengen. Mengenoperationen Eineindeutige Zuordnungen zwischen Mengen. Abbildung einer Menge auf eine andere. Zerlegung einer Menge in Teilmengen. Mengenfamilien und Überdeckungen Sätze über abzählbare Mengen Teilweise geordnete und (linear) geordnete Mengen Vergleich von Mächtigkeiten 13 18 23 27 2. Reelle Zahlen 33 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Die Dedekindsche Definition der Irrationalzahl Schnitte in der Menge der reellen Zahlen. Obere und untere Grenze Das Rechnen mit reellen Zahlen Entwicklung der reellen Zahlen in dyadische Brüche. Die Mächtigkeit des Kontinuums 33 36 40 3. Geordnete und wohlgeordnete Mengen. Transfinite Zahlen 50 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Geordnete Mengen Definition und Beispiele von wohlgeordneten Mengen Grundlegende Sätze über wohlgeordnete Mengen Abzählbare transfinite Zahlen (Zahlen der zweiten Zahlklasse). Der Begriff der Konfinalität. Das Auswahlaxiom Der Wohlordnungssatz (Satz von ZERMELO) Sätze über Kardinalzahlen Reguläre und irreguläre Ordnungszahlen. Über die kleinste Anfangszahl, die mit einem gegebenen Ordnungstypus konfinal ist . . . 50 54 59 4. Metrische und topologlsche Räume 90 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. Definition und elementare Eigenschaften metrischer und topologischer Räume Stetige Abbildungen Zusammenhang Basen und Gewicht topologischer Räume Lineare und ebene Punktmengen Einige klassische Beispiele von metrischen Räumen und ihre Eigenschaften Räume mit abzählbarer Basis Trennungsaxiome Beschränkte Mengen in Rn; die Sätze von BOLZANO-WEIERSTRASS, CANTOR 3.5. 3.6. 3.7. 9 9 10 45 65 73 79 86 90 104 109 119 125 136 146 152 und BOREL-LEBESGÜE. Der Satz von CAUCHY 166 5. Kompakte und vollständige metrische Räume 174 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. Kompaktheit in einem gegebenen Raum und Kompaktheit in sich Stetige Abbildungen von Kompakta Zusammenhang in kompakten Räumen Kompakta als stetige Bilder des Cantorschen Diskontinuums Definition und Beispiele vollständiger metrischer Räume Vervollständigung eines metrischen Raumes Elementare Eigenschaften der vollständigen metrischen Räume Kompaktheit und Vollständigkeit Mengen in kompakten metrischen Räumen, die gleichzeitig Mengen vom Typ F„ und Gf sind 174 180 187 194 202 207 210 211 213 8 Inhalt 6. Bedingungen für den Kompaktheitstyp und Metrisation topologischer R ä u m e 219 6.1. 6.2. Bikompakte R ä u m e Stetige Abbildungen bikompakter R ä u m e 219 228 6.3. Der Satz von W E I E R S T R A S S - S T O N E 230 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. Topologische Produkte und die Sätze von TYCHONOFF Die innere Charakterisierung vollständig regulärer R ä u m e Die maximale bikompakte Erweiterung eines vollständig regulären Raumes Konstruktion aller bikompakten Erweiterungen eines gegebenen vollständig regulären Raumes Zusammenhang und Nulldimensionalität für Bikompakta Einige universelle bikompakte R ä u m e Dyadische Bikompakta Offene Überdeckungen; P a r a k o m p a k t h e i t u n d andere Eigenschaften des Kompaktheitstyps Lokal bikompakte R ä u m e 233 243 247 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. Die Metrisationssätze v o n A L E X A N D R O F F - U R Y S O H N u n d NAGATA-SMIRNOW . . 252 259 264 266 270 284 287 Anhang zu Kapitel 6. Der Satz von der Mächtigkeit bikompakter Räume, die dem ersten Abzählbarkeitsaxiom genügen 291 Anhang A. Projektionsspektren uns Absolutum A.l. A.2. A.3. A.4. A.5. A.6. A.7. Der allgemeine Begriff des inversen Spektrums topologischer Räume. Abstrakte Projektionsspektren 294 Projektionsspektren über Zerlegungsfamilien 301 Das Realisierungstheorem für a b s t r a k t e Spektren 310 Irreduzible abgeschlossene Abbildungen 313 Das Absolutum eines regulären Raumes 314 Extrem unzusammenhängende R ä u m e 321 Koabsolute R ä u m e 324 Anhang B. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichem §. 1. §.2. §.3. §.4. §.5. §.6. §.7. §.8. §.9. 294 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen. Elementare Eigenschaften der stetigen Funktionen Unstetigkeitsstellen erster und zweiter Art. Punkte hebbarer Unstetigkeit Monotone Funktionen Funktionen von endlicher Variation Funktionenfolgen; gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz Das Problem der analytischen Darstellung von Funktionen; der Satz von WEIERSTRASS; Begriff der BAlREschen Klassifikation Die Ableitung Rechts- und linksseitige Ableitungen; die Ableitung nimmt alle Zwischenwerte an; obere und untere Ableitungen Beispiel für eine stetige Funktion, die in keinem Punkte eine Ableitung besitzt Literatur Namen- und Sachverzeichnis 328 328 337 341 343 350 353 360 363 366 369 371
