Document

Bernoulli-Experimente sind Zufallsexperimente mit nur zwei verschiedenen möglichen
Ausgängen. Diese Experimente haben weitere Eigenschaften wie folgt:
Bei jeder n-fachen Wiederholung solcher Experimente, gibt es auch nur zwei
verschiedenen Ausgängen
Bei solchen Experimenten treten das Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p und das
komplementäre Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 – p ein.
Bei einer n-fachen Ausführung des Mehrstufen-Experiments tritt das Ereignis A in jeder
Stufe mit der gleichen konstanten Wahrscheinlichkeit p = P(A) = const. ein.
Die n Stufen des Experiments sind von einander unabhängig.
Beispiel 12ba
Bei jeder Wiederholung des Zufallsexperiments „Wurf einer homogenen Münze“ sind nur die
beiden sich gegenseitig ausschließende Ereignisse:
A : Wappen
A : Zahl
mit den Wahrscheinlichkeiten:
p = P(A) = ½
und
q = P( A ) = ½
möglich.
Beispiel 22a
In einer Urne befinden sich 4 blaue und 8 weiße Kugeln. Es werden 3 Kugeln nacheinander Mit
Zurücklegen gezogen.
a) Handelt es sich beim diesem Zufallsexperiment um ein Bernoulli-Experiment?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „A: Ziehung einer blauen Kugel“ bzw.
„ A : Ziehung keiner blauen Kugel“ in jeder Stufe des 3-Stufen-Experiments?
c) Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es für das Ereignis:
E 1 : Eine blaue Kugel bei 3 Ziehungen mit Zurücklegen.
d) Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es für das Ereignis:
E 2 : Zwei blaue Kugel bei 3 Ziehungen mit Zurücklegen.
e) Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es für das Ereignis:
E 3 : Drei blaue Kugel bei 3 Ziehungen mit Zurücklegen.
f) Wie viele Ziehungsmöglichkeiten gibt es für das Ereignis:
E 0 : Keine blaue Kugel bei 3 Ziehungen mit Zurücklegen.
g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse:
E 0 ; E 1 ; E 2 bzw. E 3
1
Lösung:
A
4/12
4/12
A
8/12
A
A
4/12
8/12
A
4/12
A
8/12
A
A
8/12
4/12
A
8/12
A
4/12
A
A
8/12
4/12
8/12
X:
Anzahl der
gezogenen blauen
Kugeln (mit
Zurücklegen)
f(x) :
Wahrscheinlichkeits
-Funktion der
diskreten
Zufallsvariable X
(
f x
k
)
k = 0
A
xk
x0 = 0
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
f (x k ) = p k
8 8 8
⋅
⋅
12 12 12
=
n = 3
A
3⋅
4 8 8
⋅
⋅
12 12 12
512
≈ 0,29 = 768 ≈ 0,44
1728
1728
3⋅
=
4 4 8
⋅
⋅
12 12 12
384
≈ 0,22
1728
4 4 4
⋅
⋅
12 12 12
=
64
≈ 0,03
1728
512
768
384
64
1728
= 1
+
+
+
=
1728
1728
1728
1728
1728
a) Ja, es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment, denn:
Es gibt in jeder Stufe nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse: „A: Ziehung
einer blauen Kugel“ und A : Ziehung keiner blauen Kugel.
Ferner bleibt durch das Zurücklegen der Kugeln nach jeder Ziehung die Wahrscheinlichkeit
für das Ereignis A bzw. A konstant.
b) p = P(A) = 4/12
und
q = P( A ) = 1 – p = 8/12
2
c) Es gibt 3 mögliche Anordnungen für das Ereignis:
E 1 : Eine blaue Kugel bei 3 Ziehungen mit Zurücklegen.
n!
3!
=
= 3
( n − k )! k !
( 3 − 1 ) ! 1!
d) Es gibt 3 mögliche Anordnungen für das Ereignis:
E 2 : Zwei blaue Kugel bei 3 Ziehungen mit Zurücklegen.
n!
3!
=
= 3
( n − k )! k !
( 3 − 2 )! 2 !
e) Es gibt eine mögliche Anordnung für das Ereignis:
E 3 : Drei blaue Kugel bei 3 Ziehungen mit Zurücklegen.
n!
3!
=
= 1
( n − k )! k !
( 3 − 3 )! 3 !
f) Es gibt eine mögliche Anordnung für das Ereignis:
E 0 : Keine blaue Kugel bei 3 Ziehungen mit Zurücklegen.
n!
3!
=
= 1
( n − k )! k !
( 3 − 0 )! 0 !
g) Für das Ereignis E 0 ist keine blaue Kugel vorhanden. Also gilt
(
P E
0
) = P (A A A ) =
8
8
8
= 1⋅
⋅
⋅
12 12 12
3
8
12
Für das Ereignis E 1 sind eine blaue Kugel und 2 weiße Kugeln vorhanden. Also gilt
(
P E
1
) = P (A A A )
4
=
8
(
8
)
P AAA
+
8
4
(
P AAA
+
8
8
8
)
4
3⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
⋅
+
12 12 12
12 12 12
12 12 12
4
12
2
8
⋅
12
Für das Ereignis E 2 sind 2 blaue Kugeln und eine weiße Kugel vorhanden. Also gilt
(
P E
2
) = P (A A A )
=
4
⋅
4
⋅
8
12 12 12
+
+
(
P AAA
4
⋅
8
⋅
)
4
12 12 12
+
+
(
P AAA
8
⋅
4
⋅
)
4
12 12 12
=
3⋅
4
12
2
⋅
8
12
Für das Ereignis E 3 sind 3 blaue Kugeln vorhanden. Also gilt
3
4 4 4
4
P E 3 = P(AAA) =
⋅
⋅
= 1⋅
12 12 12
12
(
)
Bemerkung: Hier wurden jeweils Abkürzungen verwendet, z.B. wurde P( A
P(A A A) abgekürzt.
A
A ) durch
3
Ein Bernoulli-Experiment mit den beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen A und
A werde n-mal nacheinander ausgeführt. Seien weiter:
p = P(A) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A bei einer einzelnen Stufe des
Experiments eintritt.
X die diskrete Zufallsvariable, die bezeichnet wie oft A bei den n Versuchen eintritt.
Dabei kann X die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . n annehmen.
Die n Versuche beeinflussen sich gegenseitig nicht, daher sind die Ereignisse A und
A unabhängig von einander. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das A k-mal und
A (n – k)-mal eintreten, gegeben durch:
P(AA
A AA
k - mal
A ) = p
k
q
n−k
= p
k
(1 − p ) n − k
( n − k ) - mal
Nun gibt es C ( n , k ) =
n!
k ! (n − k ) !
Möglichkeiten zur Anordnung von k identischen
Ereignisse A und (n – k) identischen Ereignissen A aus insgesamt n Ereignissen. (Kapitel 3
Kombinatorik) .
Somit erhalten wir die sog. Binomialverteilung
Binomialverteilung
Gegeben ist ein n-stufiges Bernoulli-Experiment. Seien dabei p = P(A) bzw. q = P( A )
mit q = 1 – p die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses A bzw. des GegenEreignisses A bei jeder einzelnen Stufe des Bernouli- Experiments.
Und sei X die diskrete Zufallsvariable, die die Anzahl der Versuche (Stufen) beizeichnet, in
denen das Ereignis A eintritt, und die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . n annehmen kann.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem n-stufigem Bernoulli-Experiment das
Ereignis A k-mal eintritt (und das komplementäre Ereignis A (n – k)-mal eintritt), gegeben
durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) =
n!
⋅p
k ! ( n − k )!
k
⋅q
⋅p
i
n−k
=
n
k
⋅p
k
⋅q
n−k
Die Verteilungsfunktion der Binomial-Verteilung ist:
k
F (xk
)
= P ( X ≤ k ) = F (k ) =
i = 0
n
i
⋅q
n−i
4
Stabdiagramme für einige Binomialverteilungen
n = 4 , p = 0,5
n = 4 , p = 0,3
n = 4 , p = 0,9
n = 6 , p = 0,3
n = 6 , p = 0,5
n = 6 , p = 0,9
Satz 1) Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung
Der Erwartungswert der Binomialverteilung für einen n-Stufen-Bernoulli-Experiment lautet:
n
µ
xk ⋅f (xk
=
)
k
n
k ⋅f (k
=
)=
k
k⋅
k
n!
k ! ( n − k )!
⋅p
k
⋅q
n−k
= n⋅ p
Die Varianz der Binomialverteilung für einen n-Stufen-Bernoulli-Experiment lautet:
n
σ
2
f (xk )⋅ (xk
=
−µ
)2
=
k
k
n!
k ! ( n − k )!
⋅ p k ⋅q n − k ⋅ (k − µ )2 = n ⋅ p ⋅ q
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Teilaufgaben mit Hilfe der
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomilaverteilung, wenn es möglich ist!
a) In einer Urne befinden sich 2 weiße und 8 schwarze Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen 3 schwarze Kugeln zu ziehen?
b) In einer Urne befinden sich 2 weiße und 8 schwarze Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen 2 weiße Kugeln zu ziehen?
c) In einer Urne befinden sich 2 weiße und 8 schwarze Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen 5 schwarze Kugeln zu ziehen?
d) In einer Urne befinden sich 2 weiße 3 schwarze und 5 blaue Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen 3 blaue Kugeln zu ziehen?
a) f (3 ) =
4!
8
⋅
3 ! (4 − 3 ) !
10
3
8
⋅ 1−
10
4!
2
b) f (2 ) =
⋅
2 ! (4 − 2 ) !
10
c) nicht möglich.
2
4!
5
⋅
3 ! (4 − 3 ) !
10
3
d) f (3 ) =
2
⋅ 1−
10
5
⋅ 1−
10
4−3
=
256
625
=
96
625
=
1
4
4−2
4−3
5
Beispiel 3a2ba
In einer Urne befinden sich 4 blaue und 8 weiße Kugeln. Es werden 3 Kugeln nacheinander
Ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 3 gezogenen Kugeln 2 blaue Kugeln
sind?
Lösung
2/10
3/11
8/10
3/10
8/11
4/12
7/10
3/10
8/12
4/11
7/10
4/10
7/11
6/10
E 2 : Zwei blaue Kugel bei 3 Ziehungen ohne Zurücklegen.
( )
P E2 =
4 3 8
4 8 3
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
12 11 10
12 11 10
8 4 3
⋅
⋅
=
12 11 10
3⋅
8 4 3
12
⋅
⋅
= 0,218
=
12 11 10
55
Beispiel 3b2ba
In einer Urne befinden sich 4 blaue und 8 weiße Kugeln. Es werden 3 Kugeln nacheinander
Ohne Zurücklegen gezogen.
Wie könnte man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 3 gezogenen Kugeln 2 blaue
Kugeln sind, ohne den Wahrscheinlichkeitsbaum bestimmen?
Lösung
Wir entnehmen der Urne mit 12 Kugeln nacheinander 3 Kugeln ohne Zurücklegen. Dies ist auf
12 !
= 220 verschieden Arten möglich. Denn die Reihenfolge der Ziehung wird
3 ! (12 − 3 ) !
nicht berücksichtigt
A B C D E F
H I J K L
G
Ziehung von 3 Kugeln ohne Zurücklegen
A
B
A
B
A
B
C
D
E
.
.
.
.
.
.
J
K
L
Anzahl der Möglichkeiten für die Ziehung ohne
Zurücklegen von 3 Kugeln unter 12 Kugeln:
12
3 !
(12
!
−
3
)!
=
220
6
Unter den 3 gezogenen Kugeln sollen sich genau 2 blaue und 1 weiße befinden.
Die 2 blauen müssen daher aus den 4 blauen Kugeln in der Urne stammen. Diese können
4!
= 6 verschieden Arten gezogen werden.
daher auf
2 ! (4 − 2 ) !
Die eine weiße muss dann aus den 8 weißen Kugeln in der Urne stammen. Diese kann
8!
= 8 verschieden Arten gezogen werden.
daher auf
1! (8 − 1) !
C
C
C
F
F
F
J
K
J
K
J
K
Anzahl der Möglichkeiten für die Ziehung ohne
Zurücklegen von 2 blauen Kugeln unter 4 blauen Kugeln:
2 !
A
B D
E
4 !
−
(4
G H
2
I
6
=
)!
L
Anzahl der Möglichkeiten für die Ziehung ohne
Zurücklegen einer weißen Kugeln unter 8 weißen Kugeln
1 !
8 !
− 1
(8
)!
=
8
Da es 3 Kugeln gezogen werden, von denen 2 blau und eine weiß sind, gibt es also:
4!
2 ! (4 − 2 ) !
⋅
8!
1! (8 − 1) !
= 6 ⋅ 8 = 48
verschiedene Möglichkeiten diese Kugeln aus der Urne zu entnehmen.
12 !
= 220 Fälle bei der Ziehung ohne Zurücklegen von 3
3 ! (12 − 3 ) !
Kugeln aus dieser Urne gibt, erhalten wir folgende Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
Da es insgesamt
E 2 : Zwei blaue Kugel bei 3 Ziehungen ohne Zurücklegen.
( )
P E2
=
4!
2 ! (4 − 2 ) !
⋅
8!
1! (8 − 1) !
12 !
3 ! (12 − 3 ) !
=
6⋅8
12
= 0,218
=
220
55
7
Hypergeometrische Verteilung
Gegeben sind N Objekte, darunter M Objekte mit der Eigenschaft A und [N – M ] Objekte
mit der Eigenschaft. A (nicht-A) .
Und sei X die diskrete Zufallsvariable, die die Anzahl der Objekte mit der Eigenschaft A
beizeichnet, und die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . n annehmen kann.
Werden n Objekte zufällig ohne Zurücklegen gezogen (ausgewählt), so ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass es unter den n gezogenen Objekten k Objekte mit der
Eigenschaft A vorhanden sind, gegeben durch die hypergeometrische Verteilung mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
M!
f (xk
)=
P ( X = k ) = f (k ) =
⋅
k ! ( M − k )!
[ n − k ]!
⋅
[ N − M ]!
( [N − M ] − [n − k ] )!
N!
n ! ( N − n )!
f (xk
)=
M
N−M
⋅
k
n− k
P ( X = k ) = f (k ) =
N
n
Die Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung ist:
M
k
F (xk
)
= P ( X ≤ k ) = F (k ) =
i
⋅
N−M
n− i
N
n
i = 0
Satz 2) Erwartungswert und Varianz der hypergeometrischen Verteilung
Der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung lautet:
n
xk ⋅f (xk
µ =
)
k ⋅f (k
=
k
k
) = n⋅
M
N
Die Varianz der hypergeometrischen Verteilung lautet:
n
σ
2
f (xk
=
k
)⋅ (xk
−µ
)
2
f (k )⋅ (k − µ
=
k
)2 = n ⋅
M
N
1 −
M
N − n
N
N −1
8
Poisson-Verteilung
Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) =
µ
k
k!
⋅e
−µ
heißt Poisson-Verteilung.
X kann die Werte x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . annehmen.
Dabei ist der Parameter
der Erwartungswert dieser Verteilung.
Die Varianz dieser Verteilung ist:
² =
Bemerkung:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist unsymmetrisch. Sie wird dagegen für große
symmetrisch.
nahezu
Stabdiagramme für einige Poisson-Verteilungen
=1
=3
=5
Satz 3) Übergang von der Binomial- zur Poisson-Verteilung
Sei die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X durch die Binomialverteilung gegeben.
Für n
∞ , p
0 wobei vorausgesetzt wird, dass n p = const. ist, kann die
Binomialverteilung in guter Näherung durch die Poisson-Verteilung ersetzt werden.
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) =
Dabei ist der Erwartungswert:
lim
n → ∞
p → 0
n!
k ! ( n − k )!
⋅p
k
⋅ (1 − p )
n−k
=
µ
k
k!
⋅e
−µ
q
=n p
9
Bemerkungen
Tritt in einem Bernoulli-Experiment ein Ereignis A mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit
p auf, so kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A k-mal eintritt, durch die
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung gegeben werden, anstatt diese mit Hilfe
der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung zu bestimmen.
Numerische Analysen zeigen, dass die Binomilaverteilung näherungsweise durch die
Poisson-Verteilung ersetzt werden darf, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
n > 10
und
p < 0,1
Aufgabe 2a
In einer Urne befinden sich 1 blaue und 499 weiße Kugeln. Es werden 1000 Kugeln
nacheinander Mit Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „A: Ziehung einer blauen Kugel“
Berechnen Sie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung die
Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse E k, dass man in diesem 1000-stufigen Versuch:
a) keine blaue Kugel zieht.
b) eine blaue Kugel zieht.
c) 2 blaue Kugeln zieht.
d) 500 blaue Kugeln zieht.
e) 1000 blaue Kugeln zieht.
Lösung:
p = P(A) = 1 / 500 = 0,002
a) P (E 0 ) = f (0 ) =
1000 !
1
⋅
0 ! (1000 − 0 ) !
500
b) P(E 1) = f (1) = 0,2706
d) P(E 500) = f (500) = 3,251
0
⋅ 1−
1
500
1000 − 0
= 0,135
c) P(E 2) = f (2) = 0,2709
10
– 1051
e) P(E 1000) = f (1000) = 1,071
10
– 2699
Aufgabe 3a
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Aufg. 2 mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion
der Poisson-Verteilung.
Lösung:
Bestimmung von :
= n p = 1000 ( 1 / 500 ) = 2
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:
20
⋅ e − 2 = 0,135
a) P (E 0 ) = f (0 ) =
0!
b) P(E 1) = f (1) = 0,2706
d) P(E 500) = f (500) = 3,63
c) P(E 2) = f (2) = 0,2706
10
– 985
e) P(E 1000) = f (1000) = 3,603
10
– 2268
10
!
Poisson-Prozesse sind Zufallsexperimente, die über einen kontinuierlichen Zeitraum
stattfinden. Um die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl von Erfolgen innerhalb eines
Zeitintervalls der Länge t zu finden, unterteilen wir das Intervall in n Teile mit den jeweiligen
Breiten t , so dass gilt:
t = n⋅ t
Ein Poisson-Prozess hat folgende Eigenschaften:
Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg innerhalb eines kleinen Teilintervalls t ist: α ⋅ t .
Dabei ist α eine Konstante.
Die Wahrscheinlichkeit für mehr als einen Erfolg innerhalb des kleinen Teilintervalls t ist
sehr klein und vernachlässigbar.
Die n Teile (Stufen) des Prozesses (Experiments) sind von einander unabhängig. Somit
ist die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg in einer Stufe unabhängig von dem Ergebnis in der
Stufe davor. Damit sind Poissonprozesse gedächtnislos.
Diese Eigenschaften unterliegen auch denen von Bernoulli-Experimenten, die durch die
Binomial-Verteilung mit n = t / t und p = α ⋅ t beschrieben werden. Folglich gilt für
den Mittelwert:
µ = n⋅p =
t
∆t
⋅
( α⋅ ∆t ) = α ⋅t
Da
der Mittelwert der Poisson-Verteilung ist, gibt die konstante Rate α die
durchschnittliche Anzahl von Erfolgen in der Zeiteinheit an.
Poisson-Prozesse und Poisson-Verteilung
Sei die Anzahl von Erfolgen in einem Poisson-Prozess gegeben durch die diskrete
Zufallsvariable X . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann gegeben durch die PoissonVerteilung:
(α ⋅ t ) k
P ( X = k ) = f (k ) =
k!
⋅e
− α ⋅ t
=
µ
k
k!
⋅e
−µ
mit X = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . .
Dabei ist der Parameter
= α ⋅ t der Erwartungswert dieser Verteilung.
Die konstante Rate α gibt die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen in der Zeit-Einheit an
und t ist das Zeit-Intervall für den Poisson-Prozess.
11
Beispiel 4
Der radioaktive Zerfall eines chemischen Elements, bei der die einzelnen Atomkerne mit einer
kleinen Wahrscheinlichkeit zerfallen kann durch einen Poisson-Prozess beschrieben werden.
Denn die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atomkerne ist sehr gering im vergleich zur
großen Anzahl der insgesamt vorhandenen Kerne.
Bei einem speziellen Präparat zerfallen im Mittel pro Minute 3 Kerne.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Zählgerät 5 Zerfälle pro Minute zu
registrieren?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Zählgerät mehr als 3 Zerfälle pro Minute
zu registrieren?
Lösung:
a) Die Rate α = 3 gibt dabei an, wie viel Atomkerne durchschnittlich in der Zeiteinheit (pro
Minute) zerfallen. Das Zeit-Intervall hat die Länge t = 1 (Minute), so dass gilt:
= α ⋅t= 3⋅1 = 3
P ( X = 5) = f (5) =
35
⋅e
5!
− 3
= 0 , 1008
b)
P(X >3) = 1 − P (X ≤3) =
30
= 1 −
= 1 −
0!
[1
e
−3
[ f (0 )
1 −
+
31
1!
e
−3
+ 3 + 4,5 + 4,5 ]e
+ f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3 ) ]
+
−3
Stabdiagramm der Poisson-Verteilung für
32
2!
e
−3
+
33
3!
e
−3
= 0 , 352
=3
f(k)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
k
12
Aufgabe 4
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Zählgerät beim radioaktiven Zerfall des speziellen
Präparats aus dem vorigen Beispiel (Bsp. 4) 5 Zerfälle in 2 Minuten zu registrieren?
Lösung:
Das Zeit-Intervall hat nun die Länge t = 2. Somit ist der Mittelwert
P ( X = 5) = f (5) =
65
5!
⋅e
− 6
= α ⋅t= 3⋅2 = 6
= 0 , 160
" #
Beispiel 5
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, erstmal nach 4 Würfen einer inhomogenen Münze mit der
folgenden Eigenschaft eine „Zahl“ zu erhalten?
A : Zahl bzw. A : Wappen
p = P(A) =
bzw. q = P( A ) =
Lösung:
q·q·q·p =
·
·
·
= 0,098
Geometrische Verteilung
Seien p bzw. q mit q = 1 – p die Wahrscheinlichkeiten für einen Erfolg bzw. einen
Misserfolg der unabhängigen Versuchen (Stufen) in einem Bernouli-Experiment.
Dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsvariable X für die Anzahl der
Versuche bis zum Eintreten des ersten Erfolgs gegeben durch die Wahrscheinlichfunktion
der geometrischen Verteilung:
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) = p ⋅ q
k − 1
mit X = x k = k = 0 ; 1 ; 2 ; . . . .
Der Erwartungswert dieser Verteilung ist: µ =
Die Varianz dieser Verteilung ist: σ
2
=
1
p
1− p
p2
13