Multiplikation von Vektoren

Multiplikation von Vektoren
Man muss stets einen Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor multiplizieren, der gleich viele
Elemente hat:
a  1 2 3
 4
 
b   5
 6
 
Das Ergebnis ist eine Zahl, das sog. „Skalarprodukt“:
c  a  b  1 4  2  5  3  6  4  10  18  32
Es wurde das erste Element des ersten Vektors mit dem ersten Element des zweiten Vektors
multipliziert. Hinzuaddiert wurde das Produkt aus dem zweiten Element des ersten Vektors
und dem zweiten Element des zweiten Vektors (u.s.w.).
Ein Beispiel: Aktien
Auf dem Parkett werden folgende Werte gehandelt: ABC (Preis: 136 Geldeinheiten), DEF
(1040 GE) und GHI (40 GE). Von ABC liegen 30 Aktien vor, von DEF 50 und von GHI 20
Stück.
Die Stückzahlen stellen wir als Zeilenvektor dar:
a   30 50 20
Die Kurse sind unser Spaltenvektor:
 136 


k  1040 
 402 


Nun wollen wir berechnen, was unsere Aktien wert sind:
 136 


a  k   30 50 20   1040 
 402 


 30 136  50 1040  20  402
 64120
Multiplikation von Matrizen
Zwei Matrizen werden multipliziert, indem jeder Zeilenvektor der ersten Matrix mit jedem
Spaltenvektor der zweiten Matrix multipliziert wird.
Man kann also nur Matrizen multiplizieren, bei denen gilt:
A: mxr-Matrix
B: rxn-Matrix
Das Ergebnis ist dann eine mxn-Matrix.
 a11 a12

 a21 a22
 a31 a32
 a
 41 a42
a13 
 c11 c12 
  b11 b12  

a23  
  c21 c22 
 b21 b22  
 c31 c32 
a33  
  b31 b32  


a43 
 c41 c42 
c32  a31  b12  a32  b22  a33  b32
Aktien, Fortsetzung
Nun sollen am Folgetag noch mal der Wert des Aktienpaketes berechnet werden. Die Preise
haben sich jedoch geändert. Dadurch wird aus dem Vektor k die Matrix K:
a   30 50 20
 136 140 


K  1040 1050 
 402 450 


 136 140 


a  K   30 50 20   1040 1050 
 402 450 


  30 136  50 1040  20  402 30 140  50 1050  20  450 
  64120 65700 
Am ersten Tag ist das Aktienpaket also 64120 GE wert, am zweiten Tag dann 65700 GE.
Aktien, Fortsetzung
Nun gibt es vier verschiedene Aktienpakete. In dem ersten sind 30x ABC, 50x DEF sowie
20x GHI. In dem zweiten sind 60x ABC, 70x DEF und kein GHI. In dem dritten sind 15
ABC-Aktien, keine von DEF aber 25 von GHI. Das vierte Paket besteht aus 10 ABC-Aktien,
30 DEF-Aktien sowie ebenfalls 30 GHI-Aktien.
Dadurch wird der Vektor a auch zu einer Matrix:
 30 50 20 


60 70 0 

A
 15 0 25 


 10 30 30 
 136 140 


K  1040 1050 
 402 450 


 30 50 20 

  136 140 
60
70
0
  1040 1050 
A K  

 15 0 25  

402
450

 10 30 30  


 64120 65700 


80960 81900 


 12090 13350 


 44620 46400 