Umwandlung gewöhnlicher Bruch Dezimalbruch Erweiterung der Division (für Quotientenwerte Z ) : Bsp.1) a) 3500 : 4 = 875 32 30 28 20 20 -- c)c) b) 35 : 4 = 8 + 3:4 = 8 + Methode 1) oder Methode 2) , ,, ,, 350 350: :44 == 350 350 00: : == 87 8755 ,, ,, , , 3,5 3,5: :44 == 33 500 500: :44== 00875 875 e) 0,35 : 4 = 0 3500 : 4 = 0 0875 usw. SAT/JS , 35 : 4 = 35 00 : = 8 75 32 30 28 20 20 -- d)d) Bsp.2) 3 3 = 8 = 8,75 4 4 130,2 : 14 = 9, 3 126 42 42 -- Bsp.3) 3,6 : 4 = 0, 9 0 36 36 -- Bsp.4) 9 : 125 = Kürzer: 9,000 : 125 = 0,072 0 90 00 900 875 250 250 ---- 3,6 : 4 = 0, 9 36 -(geht auch im Kopf!) Kürzer : 9 : 125 = 0,072 900 875 250 250 ---- Merke : a) Vor dem Herunterholen der 1. Nachkommastelle wird im Quotientenwert das Komma gesetzt. b) Stehen keine Ziffern mehr zum Herunterholen zur Verfügung, so werden an die Reste Nullen angehängt ( Herunterholen von gedachten Endnullen) vgl. LS : S. 34 und S. 98 HA : LS / S. 99 /Nr. 3) a,b,c,d,g,m Nr . 4 ) a,e,g,k,l,m Nr. 5) (kurz besprechen: jeweils Preis für 1kg berechnen- ist oft auch bereits mit angegeben) Anwendung für die Umwandlung in Dezimalbrüche: 3 32 6 0,6 5 52 10 Methode 1) 3 3 : 5 = 0,6 5 Methode2) 3 7 3 35 3,35 20 100 (M.1) 3 7 3 + 7 : 20 = 3 + 0,35 = 3,35 20 ( M.2) 36 12 2 2 2,4 (so am einfachsten!) 15 5 5 1 ? 7 Methode 1 versagt hier, da keine Stufenzahl ein Vielfaches von 7 ist ! 1 1 : 7 = 0, 142857 142857 142857 ..... = 0, 142857 7 ( 2) 10 1.Periode 2.Periode 7 30 28 20 14 sprich : null zur 1.Periode 60 Komma Periode 56 eins vier ... 40 35 50 49 10 7 30 zur 2.Periode ...... a) Keine Vielfaches von 10 bis 60 ist durch 7 teilbar die Division geht nie auf unendlicher D.b. ganz so schlimm ist es aber nicht : b) Rest < 7 nur 6 verschiedene Reste möglich (1,...,6) spätestens nach der 6. Dezimale tritt irgendein Rest zum 2. Mal auf unendlich periodischer D.b. (hier Periodenlänge 6) SAT: 3 22 3 : 22 = 0, 1 3 6 3 6 ... 30 22 80 66 140 132 80 ........ = 0 , 1 36 sprich : null Komma eins Periode drei sechs Hier ergibt sich ein gemischt periodischer D.b mit Periodenlänge 2 (<22) ( 0, 142857 ist ein rein periodischer D.b.) 2 2 : 3 = 0, 6 6 6 ... = 0, 6 3 rein periodischer D.b mit Periodenlänge 1 2 2 : 15 = 0, 1 3 3 .... = 0, 13 JS : (evtl. mit „schriftlicher Division“) 15 gemischt periodischer D.b mit Periodenlänge 1 JS : (geht ohne „schriftliche Division“) JS : (evtl. mit „schriftlicher Division“? nein: ungeschickt!) 3 1 0,2 15 5 HA : LS / S. 105 / Nr. 3) a, b , c , i S. 35 / Nr. 3) ohne d) (nicht immer ist Methode 2 nötig! Vorteil beachten!) Allgemein gilt : 1) Jeder (gewöhnliche) Bruch lässt sich entweder als endlicher Dezimalbruch oder als unendlich periodischer Dezimalbruch schreiben 2) a) Ist der Nenner des (gekürzten) Bruches Teiler einer Stufenzahl, dann kann man durch Erweitern eine Stufenzahl im Nenner herstellen endlicher D.b. Wie erkennt man solche Nenner ? b) 10 = 2 · 5 100 = 2 · 5 · 2 · 5 1000 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 usw. Alle Teiler von Stufenzahlen enthalten als Primfaktoren nur 2 und / oder 5 a) und b) Ein (vollständig gekürzter!) gewöhnlicher Bruch lässt sich genau dann in einen endlichen D.b. umwandeln, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren 2 und / oder 5 enthält . 3) Enthält der Nenner auch andere Primfaktoren außer 2 und 5 , dann ergibt sich bei der Umwandlung stets ein unendlich periodischer D.b. (gekennzeichnet durch eine immer wiederkehrende Zifferngruppe, die Periode.) Es gilt : Periodenlänge < Nenner Anmerkung: Ab der 9. Klasse kommen auch nicht periodische D.b. vor, die entstehen aber nicht durch Division, stellen also keine Brüche dar ! Beginnt die Periode unmittelbar nach dem Komma, so heißt der D.b. rein periodisch (Bsp.: 0, ´1256 ), andernfalls heißt er gemischt periodisch (Bsp.: 0, 12´56 ). Hinweis : D.b. rein periodisch weder 2 noch 5 im Nenner des gew. B. (nicht explizit im LP / Buch) wird hier nicht weiter begründet 5 5 : 3 25 : 3 8, 3 0,83 später ! 6 2 10 10 allgemein : Abspaltung der Primfaktoren 2 und 5 liefert einen rein periodischen D.b. im Zähler und eine Stufenzahl im Nenner durch Kommaverschiebung gemischt periodischer D.b. Begründung an Bsp. wäre : weitere Bsp. : 7 7 endlicher D.b. 40 2225 rein periodischer, unendlicher D.b. (Per.länge < 21) 24 2 4 21 37 21 3 3 endlicher D.b. 175 25 55 4 16 4 8 4 8 gemischt periodischer, unendlicher D.b. (Per.länge < 75) 150 75 355 39 13 13 endlicher D.b. 24 8 222 HA : LS / S. 35 / Nr. 8) + S. 106 / Nr. 14) a) – g) Spezialfälle (lernen!): Ergänzung der Tabelle weiter vorne ! 1 1: 3 0, 3 3 2 2 : 3 0, 6 3 1 = 3 0, 9 3 Für Interessierte : 1 ...... 0, 1 9 2 ...... 0, 2 9 usw. 1 ... 0, 01 99 2 .... 0, 02 99 evtl. Nr. 15) Anwendung : 2, 873 2 873 (usw.) 999 usw. LZK : welche Art von D.b. ergibt sich (Begr.) ? bei einfachen Umwandlungen umwandeln ! 2 ; 3; 8; 7 ; 8 ; 8 ; 7 ; 3 ; 3 ; 4 ; 2; 5 25 15 16 9 125 55 4 8 5 3 11 ; 25 ; 21 22 75 75 Welche der folgenden Quotientenwerte sind sicher falsch (Begr.) : 32 : 7 = 4, 5714286 ? ( liefert z.B. mein TI 31 Demo! ) falsch ! 32 : 7 = 4, 5714286 ? richtig : unendl.per.D.b. mit Periodenlänge <7 : 32 : 7 = 4, 571428 5714286 .... Erklärung : der Rechner rundet (auf 8 Stellen insgesamt, da nicht mehr Platz) nächstes Kapitel weitere Bsp. (Entscheide , ohne zu dividieren; kürzen und evtl. umwandeln ; evtl. mit Methode1) : 21 20 : 21 = 0,952381 ? f: müsste unendlich sein = 1, 05 ? f: müsste endlich sein 20 7 = 0,777 777 8 ? f: müsste unendlich sein 35 : 11 = 3, 18 ? kann stimmen (stimmt) 9 13 : 6 = 2, 1 667649 ? f: Periode zu lang 87 : 25 = 3, 48 ? f: müsste endlich sein 21 21 3 21 21 = 0,0375 ? f: = =0,375 = 0, 357 ? f: = 7 =0,35 60 60 20 56 56 8 HA.: LS / S. 106 / Nr. 17) / Nr. 20) Nr. 20) vorher z.T. mdl. besprechen Formulierungen! Evtl. zu letztem Bsp. von Nr. 20) vorher : 112 7 = 0,4375 (NR) 256 16 Merke : Wenn möglich, dann immer erst kürzen!! Einordnen von per Db : ........... Rundungen : 0, 739 ... 0,7397 (4 D) 0, 739 0, 740 (3D) 0, 02 5400 = 0,02 5400 5400 0,025401 ( 5 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) Runde wie angegeben (mit kurzer Zwischenrechnung) : 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ; 1,23 456 ( 8 D) ; 1,23 456 ( 8 gZ) 2,3 74 (5 D) ; 0,0 70 (4 gZ) ;