Formelsammlung bis Klasse 7

Inhaltsverzeichnis
Seite
1. Zahlen____________________________________________ 1
2. Grundrechenarten___________________________________ 1
3. Rechengesetze______________________________________ 2
4. Maßeinheiten und Umrechnungen_______________________ 3
5. Teilbarkeit natürlicher Zahlen__________________________ 4
6. Bruchrechnung______________________________________ 5
7. Dezimalbruchrechnung_______________________________ 6
8. Rationale Zahlen____________________________________ 8
9. Zuordnungen (proportional, antiproportional, Dreisatz)______ 9
10.Prozent- und Zinsrechnung____________________________ 12
11.Geometrie__________________________________________ 13
 Geometrische Grundbegriffe______________________ 13
 Ebene Figuren (Quadrat, Rechteck)________________ 16
 Räumliche Figuren (Würfel, Quader)_______________ 17
 Symmetrien___________________________________ 18
 Winkel und Winkelmessung______________________ 19
1. Zahlen
= {1;2;3;4;...} Menge der natürlichen Zahlen
0
= {0;1;2;3;4;...} Menge der natürlichen Zahlen mit Null
= {...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...} Menge der ganzen Zahlen
= {alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen} Menge der rationalen Zahlen
= {alle rationalen Zahlen einschließlich der nichtabbrechenden Dezimalzahlen} Menge
der reellen Zahlen
2. Grundrechenarten
Addition:
1. Summand + 2. Summand = Wert der Summe
4
+
7
=
11
Subtraktion:
Minuend – Subtrahend = Wert der Differenz
11
–
7
=
4
Multiplikation:
1. Faktor · 2. Faktor = Wert des Produkts
4
·
7
=
28
Division:
Dividend : Divisor = Wert des Quotienten
28
:
4
=
7
1
3. Rechengesetze
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und die Multiplikation. Es besagt, dass man
beim Addieren bzw. Multiplizieren die Summanden bzw. die Faktoren in der Reihenfolge
vertauschen darf: 4 + 5 + 7 = 5 + 4 + 7 = 7 + 4 + 5 usw.
4 · 5 · 7 = 5 · 4 · 7 = 7 · 4 · 5 usw.
Assoziativgesetz (Klammergesetz)
Das Assoziativgesetz gilt für die Addition und die Multiplikation. Es besagt, dass man
beim Addieren bzw. Multiplizieren beliebig Klammern setzen oder weglassen kann:
2 + 3 + 5 = (2 + 3 ) + 5 = 2 + (3 + 5)
2 · ( 3 · 5) = (2 · 3) · 5 = 2 · 3 · 5
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
Bei dem Distributivgesetz sind Punkt- und Strichrechnung miteinander verbunden:
2 · (3 + 23)
7 · (100 – 3)
= 2 · 3 + 2 · 23
= 7 · 100 – 7 · 3
= 6 + 46
=
700 – 21
=
=
79
52
Weiterhin muss hier beachtet werden, dass folgende Regel gilt: Punktrechnung geht vor
Strichrechnung!
2
4. Maßeinheiten und Umrechnungen
Merke:
Je kleiner die Einheit, desto größer die Zahl – je größer die Einheit, desto kleiner die Zahl
Längeneinheiten:
1km
=
1000m
1m = 10dm
1dm = 10cm
1cm = 10mm
Flächeneinheiten (verwendet bei der Berechnung von Flächen)
1km²
= 100ha
1ha = 100a
1a = 100m²
1m² = 100dm²
1dm² = 100cm²
1cm² = 100mm²
Raumeinheiten (verwendet bei der Berechnung von Volumina)
1m³
=
1000dm³
1dm³
=
1000cm³
1cm³
=
1000mm³
Es gilt:
1dm³ = 1l
3
5. Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Eine natürliche Zahl ist
durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.
durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist (Quersumme: Addiere alle
Ziffern der Zahl: Von 453 ist 4 + 5 + 3= 12 die Quersumme)
durch 4 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist.
durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist.
durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
durch 7 teilbar, wenn man sie in Summanden zerlegen kann, die alle durch 7 teilbar
sind.
durch 8 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten drei Ziffern durch 8 teilbar ist oder wenn
die Zahl durch 2 geteilt wird und dieses Ergebnis dann durch 4 teilbar ist (Beispiel:
296 ist durch 8 teilbar, denn: 296 : 2 = 148 und 148 ist durch 4 teilbar)
durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
4
6. Bruchrechnung
 2 Zähler
Bruch  
 Bruchstric h
 3 Nenner
Erweitern
Beim Erweitern eines Bruches multipliziert man Zähler und Nenner mit der gleichen
2 24
Zahl. Das Erweitern ändert den Wert des Bruches nicht: 
3 3 4
Kürzen
Beim Kürzen eines Bruches dividiert man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.
21 21 : 7 3


Das Kürzen ändert den Wert des Bruches nicht:
28 28 : 7 4
Addition/Subtraktion
Man addiert/subtrahiert Brüche, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt
(man spricht auch von gleichnamig machen), dann die Zähler addiert/subtrahiert und den
Nenner beibehält:
3 5 9 10 19
7
   
1
4 6 12 12 12 12
Bei der Addition/Subtraktion ist es sinnvoll, nach dem Hauptnenner zu suchen: Der
Hauptnenner zweier oder mehrerer Brüche ist der kleinste gemeinsame Nenner dieser
Brüche.
Multiplikation
Man multipliziert Brüche, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner
multipliziert:
2 4 8
 
3 5 15
4 3 35 1 1 5 5
   
Beim Multiplizieren darf man überkreuz kürzen:  
7 8 27 1 2 9 18
Division
Man dividiert Brüche, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten
Bruches multipliziert:
2 5 2 7 14
:   
3 7 3 5 15
Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, vertauscht man Zähler und Nenner: Der Kehrwert
von
2 3
ist .
3 2
5
7. Dezimalbruchrechnung
Dezimalbrüche sind Brüche mit einer Zehnerpotenz im Nenner:
3 132 45237
;
;
usw.
10 100 1000
Man kann diese Brüche in die Dezimalschreibweise umwandeln. Hierzu legt man sich
eine Stellenwerttafel an:
Hundert- Zehntau- Tausend
tausend
Hundert
Zehner
Einer
zehntel
send
HAT ZT
T
H
Z
hunders- tausends-
zehntau-
hundert-
tel
tel
sendstel
tausendstel
h
t
zt
ht
E
, z
3
10
0
, 3
132
100
1
, 3
2
5
, 2
3
4
45237
1000
7



Dezimalschreibweise
Viele Brüche, die keine Zehnerpotenz im Nenner haben, kann man durch Erweitern oder
Kürzen auf eine Zehnerpotenz bringen und dann als Dezimalzahl schreiben:
1 2

 0, 2
5 10
3 75

 0, 75
4 100
4
2

 0, 2
20 10
Dasselbe Ergebnis erreicht man, indem man den Bruchstrich als Teilbarkeitszeichen
verwendet und Zähler und Nenner teilt:
1
 1: 5  0, 2
5
Manche Brüche lassen sich nicht durch Erweitern oder Kürzen auf eine Zehnerpotenz
bringen. Diese Brüche sind periodische Dezimalbrüche: Wenn sich bei der Division von
Zähler durch Nenner die Reste wiederholen, bezeichnet man den entstehenden
Dezimalbruch als periodischen Dezimalbruch:
2
 2 :15  0,133...  0,13 (lies: Null
15
Komma eins Periode drei)
6
Addition/Subtraktion
Bei der Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen werden diese so untereinander
geschrieben, dass Komma unter Komma steht. Dann beginnt man von rechts mit dem
stellengerechten Addieren oder Subtrahieren:
245,12 + 12,03 + 2 + 0,1 =
2 4 5 , 1 2
+
1 2 , 0 3
+
2
+
0 , 1
_______________________
+ 2 5 9 , 2 5
Multiplikation
Beim Multiplizieren von Dezimalbrüchen kann man zunächst die Multiplikation ohne
Berücksichtigung des Kommas durchführen. Danach setzt man das Komma: Das Ergebnis
hat so viele Dezimalen (zu deutsch: Nachkommastellen) wie beide Faktoren zusammen:
2,3
·
4,05
1 Dezimale 2 Dezimalen
=
9,315
3 Dezimalen
Division
Bei der Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch muss zunächst bei
Dividend und Divisor das Komma um so viele Stellen nach rechts verschoben werden, bis
der Divisor eine natürliche Zahl ist:
5,865 : 1,7 =
58,65 : 17 = 3,45
- 51
76
-68
85
-85
0
15: 1,25 =
1500:125 = 12
-125
250
- 250
0
7
8. Rationale Zahlen
Beim Rechnen mit rationalen Zahlen müssen einige Regeln beachtet werden. Diese sind
für die
Addition/Subtraktion
Zunächst gilt: Schreibe die Aufgabe in vereinfachter Schreibweise:
a) (–23) + (+13) = –23 + 13
Nun überlege: Sind die Zeichen unterschiedlich, so subtrahiere den kleineren
Betrag vom größeren und setze das Zeichen des größeren Betrages.
Das Ergebnis von –23 + 13 ist also –10.
b) (–23) – (+13) = –23 – 13
Überlege wieder: Sind die Zeichen in der vereinfachten Schreibweise gleich, so
addiere die Beträge und setze das gemeinsame Vorzeichen.
Das Ergebnis von –23 – 13 ist also –36.
Multiplikation/Division
+·+=+
(+3) · (+4) = +12
– ·–=+
(–3) · (–4) = +12
+· –=–
(+3) · (–4) = –12
–· +=–
(–3) · (+4) = –12
Dieselben Regeln gelten auch für die Division.
8
9. Zuordnungen
In vielen Situationen des täglichen Lebens müssen wir uns die Frage stellen, was eine
bestimmte Anzahl einer Ware kostet. Beispielsweise wird auf dem Wochenmarkt
angegeben, dass 2kg Äpfel 3,99€ kosten. Wenn man nun 5 Äpfel kaufen möchte, die 800g
wiegen, so muss man nun zunächst ermitteln, wie teuer 1kg Äpfel sind. Hierbei ordnet
man also das Gewicht der Äpfel einem Preis zu. Um besser rechnen zu können, erstellt
man eine Tabelle, manchmal stellt man den Sachverhalt auch in einem Schaubild
(Koordinatensystem) dar.
Gewicht Preis
2kg
3,99€
1kg
1,995€
0,8kg
1,596€  1,60€
Da 2kg Äpfel 3,99€ kosten, kostet 1kg die Hälfte von 3,99€ also 1,995€. Streng
genommen gibt es natürlich einen Preis von 1,995€ nicht; da es sich hier aber um ein
Zwischenergebnis handelt, arbeitet man zunächst mit der genauen Zahl weiter und
rundet erst zum Schluss. Will man nun errechnen, wie teuer 800g Äpfel sind, so muss
man die 800g zunächst in die Einheit kg verwandeln. Dies ist ganz wichtig beim
Rechnen mit Zuordnungen: immer in einer Einheit bleiben!
0,8kg Äpfel sind also 0,8mal so teuer wie 1kg Äpfel, also 0,8  1,995€ = 1,596€
 1,60€.
Da sich mit doppelt so vielen Äpfeln auch der Preis verdoppelt, spricht man von einer
proportionalen Zuordnung.
Wenn sich allerdings mit dem Verdoppeln (Verdreifachen/Vervierfachen usw.) der
ersten Größe die zweite Größe halbiert (drittelt, viertelt usw.), spricht man von einer
antiproportionalen Zuordnung. Das ist bei folgendem Beispiel der Fall: 4 Personen
benötigen für das Abernten eines Erdbeerfeldes 12 Stunden. 8 Personen benötigen
dann nur noch die Hälfte der Zeit, also 6 Stunden und 12 Personen (also 3mal so viele)
nur noch ein Drittel der Zeit, also 4 Stunden.
Lösungen von Zuordnungsaufgaben erfolgen oftmals mit Hilfe des Dreisatzes, bei
dem in drei Schritten (oder Sätzen) gerechnet wird.
9
Beispiele:
a) Vier Äpfel kosten 2€. Wie teuer sind sieben Äpfel?
Zur Lösung muss man sich zunächst überlegen, ob es sich um eine proportionale oder
antiproportionale Zuordnung handelt. Hier handelt es sich um eine proportionale
Zuordnung, da mehr Äpfel auch mehr kosten.
Nun beginnt man mit der schematischen Darstellung des Dreisatzes:
1. Satz:
4 Äpfel – 2€
2. Satz:
1 Apfel – 0,5€
3. Satz:
7 Äpfel – 3,50€
Vom ersten zum zweiten Satz teilt man auf beiden Seiten durch vier, um auf den Preis
für einen Apfel zu kommen, und vom zweiten zum dritten Satz multipliziert man auf
beiden Seite mit sieben, um auf den Preis von sieben Äpfeln zu kommen.
Das Schema ist immer dasselbe.
b) 5 Anstreicher streichen eine Hauswand in 3 Stunden. Wie lange benötigen 6
Anstreicher?
Da mehr Anstreicher weniger Zeit benötigen, handelt es sich hier um eine
antiproportionale Zuordnung.
1. Satz:
5 Anstreicher – 3 Stunden
2. Satz:
1 Anstreicher – 15 Stunden
3. Satz:
6 Anstreicher – 2,5 Stunden
Vom ersten zum zweiten Satz teilt man die erste Größe durch 5, um die Zeit für einen
Anstreicher zu berechnen und multipliziert umgekehrt die zweite Größe mit 5, da es
sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt. Vom zweiten zum dritten Satz
multipliziert man die erste Größe mit 6 und teilt umgekehrt die zweite Größe durch 6.
Auch hier ist das Schema immer gleich.
Das Schaubild einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Halbgerade, die im
Punkt
O
(0|0)
des
Koordinatensystems
beginnt.
Das
Schaubild
einer
antiproportionalen Zuordnung ist eine Kurve, die die beiden Achsen weder schneidet
noch berührt und die man Hyperbel nennt.
10
Proportionale Zuordnung
Antiproportionale Zuordnung
11
10. Prozent- und Zinsrechnung
Grundsätzlich gibt es für die Prozentrechnung zwei mögliche Lösungswege: den
Dreisatz und das Rechnen mit der (aus dem Dreisatz hervorgehenden) Formel.
G = Grundwert
Pw = Prozentwert
p% = Prozentsatz
p% 
Pw
G
Pw  p%  G
G
Pw
p%
Wichtig:
Verwandle die Prozentzahl zunächst in die Dezimalzahl um. Dann kannst du mit den
Formeln oder dem Dreieck rechnen. (z.B. 45% = 0,45)
In der Zinsrechnung bei der Berechnung der Jahreszinsen kann man wie in der
Prozentrechnung verfahren. Man benutzt hier allerdings andere Begriffe:
Kapital (entspricht dem Grundwert)
Zinsen (entspricht dem Prozentwert)
Zinssatz (entspricht dem Prozentsatz)
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11. Geometrie
a. Geometrische Grundbegriffe
Strecke
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei
A
Punkten ist die Strecke. Eine Strecke ist also
B
eine gerade Linie.
Die Strecke mit den Endpunkten A und B bezeichnet man kurz mit AB .
Länge
Die Länge einer Strecke AB messen wir mit dem Lineal. Dabei misst man genau
von A bis B.
Gerade
Eine Gerade besitzt keine Endpunkte.
Darum können wir von einer Geraden immer
g
A
B
nur ein Stück zeichnen. Eine Gerade ist unendlich lang.
Geraden werden entweder mit zwei auf ihr liegenden Punkten bezeichnet (AB)
oder mit einem Kleinbuchstaben (z.B. g, h, i...) .
Zueinander senkrechte Geraden
Denke dir eine Gerade auf einem Papier. Wenn du das Papier nun so faltest, dass
ein Teil der Geraden genau auf dem anderen Teil der Geraden liegt, so entsteht
eine Faltlinie, die senkrecht zu der Geraden verläuft.
Anders ausgedrückt:
Zwei Geraden liegen senkrecht zueinander, wenn sie sich unter einem rechten
Winkel schneiden.
Stehen zwei Geraden g und h senkrecht zueinander, so schreibt man kurz:
g  h (gelesen: g senkrecht zu h).
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Abstand
Die kürzeste Entfernung zwischen
dem Punkt P und einer Geraden g
heißt Abstand zwischen P und g.
Den Abstand misst man an der Strecke,
die P senkrecht mit g verbindet.
Zueinander parallele Geraden
Zwei Geraden verlaufen parallel
g
zueinander, wenn sie überall den
gleichen Abstand haben.
h
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Koordinatensystem / Quadratgitter
Wenn man zwei sich senkrecht schneidende Geraden zeichnet und die Achsen in
gleichmäßigen Abständen vom Schnittpunkt ausgehend in alle vier Richtungen
fortlaufend beschriftet, erhält man ein Koordinatensystem / Quadratgitter. Der
Schnittpunkt der Geraden ist der Ursprung des Koordinatensystems.
In einem Koordinatensystem kann man die Lage von Punkten und damit auch von
Geraden und Figuren genau beschreibe und bestimmen.
Punkte werden immer mit zwei Angaben (Koordinaten) beschrieben. Dabei notiert
man zuerst die Zahl, die man vom Ursprung aus nach rechts oder links (also auf
der x-Achse) und dann die Zahl, die man vom Ursprung aus nach oben oder unten
(also auf der y-Achse) abgeht, um zu dem Punkt zu gelangen. Man schreibt für die
Lage des Punktes A z.B. A( x | y ), wobei x die Anzahl der auf der x-Achse
abzugehenden Einheiten angibt und y entsprechend die auf der y-Achse.
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b. Ebene Figuren
1.
Quadrat
Eigenschaften:
Im Quadrat stehen die benachbarten Seiten senkrecht zueinander und alle vier
Seiten sind gleich lang.
Flächeninhalt:
A  aa
Umfang:
U  a  a  a  a  4 a
Besonderheiten:
Die Diagonalen sind gleich lang, sie stehen senkrecht zueinander und sie
halbieren sich gegenseitig.
2.
Rechteck
Eigenschaften:
Im Rechteck stehen die benachbarten Seiten senkrecht zueinander und die
gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang.
Flächeninhalt:
A  a b
Umfang:
U  a  b  a  b  2 a  2b
Besonderheiten:
Die Diagonalen sind gleich lang und sie halbieren sich gegenseitig.
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c. Räumliche Figuren
1.
Würfel
Der Würfel hat sechs quadratische Flächen,
zwölf Kanten und acht Eckpunkte. Seine
Kanten sind gleich lang. Je vier Kanten sind
zueinander parallel.
Volumen: V = a ∙ a ∙ a = a³
Oberfläche: O = 6 ∙ a²
2.
Der
Quader
Quader
hat
sechs
rechteckige Flächen. Je zwei
gegenüberliegende
Rechtecke sind gleich. Je vier
Kanten sind parallel und
gleich lang.
Volumen: V = a∙b∙c
Oberfläche: O = 2∙ a ∙ b + 2∙ a ∙ c + 2 ∙ b ∙ c
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d. Symmetrien
Eine Figur aus zwei spiegelbildlichen Hälften heißt achsensymmetrisch. Die
Trenngeraden der zwei Hälften heißt Symmetrieachse.
Eine Figur, die durch eine halbe Umdrehung in sich selbst überführt werden kann,
nennt man punktsymmetrisch. Der Punkt, um den die Figur gedreht wird, heißt
Symmetriepunkt.
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e. Winkel und Winkelmessung
Zum Messen von Winkeln verwendet man die Maßeinheit Grad. Sie entsteht durch
die Zerlegung eines Kreises in 360 gleiche Teile.
Mithilfe eines Geodreiecks kann man einen gegebenen Winkel messen oder einen
Winkel mit vorgegebener Größe zeichnen.
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