Merkheft - ASH

Merkheft – Merkheft – Merkheft
A Brüche und Dezimalzahlen
2
B Zuordnungen
4
C Prozentrechnung
6
D Winkel
8
E Grundkonstruktionen – Dreieckskonstruktionen
11
F Vierecke – Formenkunde
14
G Flächen
15
H Größen – Maßeinheiten
22
I Positive und negative Zahlen
23
J Gleichungen
23
K Zinsrechnung
26
L Pythagoras
28
M Gerade Körper (Quader, Zylinder u. a.)
29
N Spitze Körper (Pyramide, Kegel)
31
O Kugel
33
2
Wiederholung
A Brüche und Dezimalbrüche (= Kommazahlen)
Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen muss der Hauptnenner gesucht werden, dann
werden die Brüche auf den Hauptnenner erweitert und addiert oder subtrahiert.
5
7
5
21
25
46
16
8
4 5 4
9
 10
 10
10
6
30
30
30
30
15
9
5
7
10
21
34
21
13
4 9 4
8 4
4
12
8
24
24
24
24
24
(10 weniger 21 „geht nicht“, daher Umwandlung von einem Ganzen in
24
)
24
Bei der Multiplikation und Division ist kein Hauptnenner nötig. Dafür müssen die gemischten
Zahlen in Brüche umgewandelt werden.
1 22
11 86
7 
3

(7 mal 3 plus 1)
(3 mal 25 plus 11)
3 3
25 25
Nun gilt die Regel »Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner ». Vor dem Ausmultiplizieren
kürzen. Bei der Division gilt die Regel „Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem
Kehrwert malnimmt“.
11
5
1 7 22 15 55
3
7 1 
 
 13
3 8
3 8
4
4
1
Kürzen: 15 und 3 durch 3, 22 und 8 durch 2 !
4
2
4
5
1 50 25 50 12 8
2
5 :2 
:


 2
9 12 9 12
9 25 3
3
3
Kürzen: 50 und 25 durch 25, 9 und 12 durch 3
1
Bei Addition und Subtraktion von Kommazahlen muss Komma unter Komma stehen !
17,475
4750,8
+
804,3
875,225
+
0,0125
1100
+
75
25,18
+
9,44
9,375
-------------------------------------------17,305  435,68
***
**
Im Ergebnis 5 Kommastellen von hinten abzählen !
10331,18 : 215 = 48,0.....
860
-----1731
1720
------111
jetzt im Ergebnis ein Komma !
3
Wenn man durch eine Kommazahl teilt, muss das Komma im Teiler beseitigt werden, indem
man mit 10, 100, 1000 .... erweitert. Das Komma „wandert“ dann in beiden Zahlen um 1, 2, 3 ....
Stellen nach rechts.
177,7355 : 4,75 =
17773,55 : 475 =
erweitern mit 100 (Komma 2 Stellen nach rechts)
175,4 : 0,775 =
175400 : 775 =
erweitern mit 1000 (Komma 3 Stellen nach rechts)
Ergänzung zu A Brüche und Dezimalbrüche
Jeder gewöhnliche Bruch lässt sich in eine Kommazahl verwandeln, indem man den Zähler
durch den Nenner teilt.
1
1
3
3
 1 : 2  0,5
 1 : 4  0,25
 3 : 4  0,75
 3 : 5  0,6
2
4
4
5
1
1
3
3
3  3,5
5  5,25
7  7,75
4  4,6
2
4
4
5
1
 1 : 3  0, 3
(sprich: Null-Komma-Periode-drei)
3
4
 4 : 9  0, 4
9
1
 1 : 6  0,16
(sprich: Null-Komma-eins-Periode-sechs)
6
4
 4 : 11  0, 36 (sprich: Null-Komma-Periode-drei-sechs)
11
5
 5 : 7  0, 714285
7
Auch jede Kommazahl lässt sich in einen gewöhnlichen Bruch verwandeln.
7
3
4
2
0,7 =
4,3 = 4
5,4 = 5  5
10
10
5
10
13
47
75
3
2
0,13 =
6,47 = 6
2,75 = 2
100
100
100
4
117
125
1
7
0,117 =
7,125 = 7
1000
8
1000
7
27
3
4
0, 7 =
4, 27 = 4
9
99
11
Bei drei Periodenstellen heißt der Nenner 999 usw.
Bei einer vorperiodischen Zahl wie 0,8 3 multipliziert man die Zahl mit 10 und erhält somit eine
reinperiodische Zahl (8, 3 ). Diese verwandelt man wie oben und dividiert anschließend wieder
durch 10.
Bei 0,46 2 entsprechend mal hundert und zum Schluss geteilt durch 100.
4
B Zuordnungen (Dreisatz)
B1 Proportionale Zuordnung = direkter Dreisatz
Eine 72 m² -Wohnung kostet 468 € Miete. Wie teuer ist bei gleichem Preis eine 80 m² Wohnung?
mehr m²
mehr €, daher proportional
m²
€
72
468
:9
:9
8
• 10
proportionale, daher gleiche Operatoren
(: 9 und • 10)
• 10
80
x
468  10
9
x = 520 (€)
==========
x=
Auch hier hilft beim Ausrechnen das Kürzen !
B2 Antiproportionale Zuordnungen = umgekehrter
Dreisatz
Bei einer Geschwindigkeit von 75 km/h benötigt Herr Schneider für eine Strecke 6 Stunden.
Wie viele Stunden benötigt er bei einer Geschwindigkeit von 90 km/h für die gleiche Strecke?
mehr Geschwindigkeit
weniger Zeit, daher antiproportional
Geschwind.
Zeit
75
6
•5
:5
15
•6
antiproportional, daher entgegengesetzte
Operatoren.
:6
90
x
x=
65
6
x = 5 (h)
=======
Beispiele für Zuordnungen:
proportionale Zuordnungen: -je mehr man kauft, umso mehr muss man bezahlen
-je mehr € man umtauscht, umso mehr Dollar erhält man
-je mehr Mitglieder ein Verein hat, umso mehr Beitrag
nimmt er ein
-je mehr Personen ein Theater besuchen, umso mehr Eintritt
müssen sie bezahlen
antiproportionale Zuordnungen: -je mehr Arbeiter (Bagger, Pumpen usw.) arbeiten, umso
weniger Zeit benötigt man
-je mehr Abstand man bei Bäumen (Sträuchern) wählt,
umso weniger Bäume (Sträucher) benötigt man
-je mehr Zeichen in einer Reihe stehen, umso weniger
Reihen braucht man für ein Referat
5
Bei allen Aufgaben hilft dir der „gesunde Menschenverstand“
B Zuordnungen (Nachtrag)
B3 Veränderungen
Eine Arbeit kann von einer Firma in 72 Tagen erledigt sein. Dafür setzt man 40 Arbeiter ein.
Nach 24 Tagen muss die Arbeit so beschleunigt werden, dass sie nach weiteren 40 Tagen
fertig ist. Wie viele Arbeiter müssen zusätzlich zur Baustelle geschickt werden?
Zeit
Arbeiter
72
Neubeginn
Nach 24 Tagen sind
es noch 48 Tage
40
48
40
:6
•6
8
•5
:5
40
40  6
5
x = 48 (Arb)
=========
x
x
Es müssen zusätzlich 8 Arbeiter zur Baustelle geschickt werden.
B4 Zusammengesetzte Zuordnungen
12 Näherinnen fertigen bei täglich 9 stündiger Arbeitszeit 288 Blusen. Die Firma erhält einen
Auftrag über 320 Blusen. Wegen anderweitiger Verpflichtungen kann an diesem Auftrag
allerdings nur 7½ Stunden täglich gearbeitet werden. Wie viele Näherinnen braucht man dann
für diesen Auftrag?
Arbeitszeit – Blusen
9 – 288
:6
12
: 36
1,5 –
• 6 : 36
8
•5
• 40
7,5 – 320
12  6  40
36  5
x = 16 (Näh.)
==========
Näherinnen
: 5 • 40
x
x
Für diesen Auftrag benötigt man 16 Näherinnen.
Diese Zuordnung ist besonders schwierig, weil ein Bereich proportional und der andere
antiproportional ist.
6
C Prozentrechnung
Prozente können nicht nur über Formeln, sondern wie proportionale Zuordnungen über den
Dreisatz errechnet werden (siehe oben).
C1 Der Prozentwert wird gesucht:
Ein Handwerksgeselle verdient brutto 1875 €. Nach erfolgreichen
Tarifverhandlungen erhält er 2,4% mehr Lohn. Wie viel verdient er
nach der Lohnerhöhung?
1875 €
2,4%
P
P = 1875 • 0,024
P = 45,00 (E)
===========
NR: 1875 • 0,024
3750
7500
45,000
1875 € + 45 € = 1920 €
Antwort: Der Handwerksgeselle erhält nach der Lohnerhöhung
1920 €.
C2 Der Grundwert wird gesucht:
An einer Schule sind 93 Schüler im 7. Schuljahr. Das sind 15%
aller Schüler. Wie viele Schüler sind an der Schule?
G
15%
G = 93 : 0,15
G = 620 (Sch.)
===========
93 Sch.
NR: 9300 : 15 = 620
90
30
30
0
Antwort: Die Schule wird von 620 Schülern besucht.
7
C3 Der Prozentsatz wird gesucht:
Bei einer Polizeikontrolle werden 320 PKW untersucht. 40 PKW
wiesen erhebliche Mängel auf. Wie viel Prozent waren das?
320 PKW
p=
p%
40
320
p = 12,5%
========
40 PKW
NR: 40 : 320 = 0,125
Antwort: 12,5% der PKW wiesen Mängel auf.
C4 Prozentuale Veränderungen
Sehr häufig kommt es in der Prozentrechnung zu prozentualen Veränderungen:
-Preis steigt von 55 € auf 58 €
-Miete steigt von 450 € auf 480 €
-Lohn steigt um 2,7%
-Schülerzahl sinkt um 14%
-19% Mehrwertsteuer usw.
Bei all diesen Fällen ist es sinnvoll, mit erhöhten oder verminderten Prozentsätzen zu rechnen.
Ist der Grundwert gesucht, muss mit erhöhten oder verminderten Prozentsätzen gerechnet werden.
Grundwert ist bei allen Aufgaben der Ausgangswert, also der alte Lohn, die alte Miete, der
alte Preis, der bisherige Preis, die bisherige Schülerzahl, der ursprüngliche Lohn, der Preis
ohne MWSt. usw.
a) Jemand verdiente bisher 1750 € und erhält eine Lohnerhöhung von 3%. Was
verdient er danach?
1750 €
103%
P
b) Eine Jeans kostete bisher 75 € und wird um
25% billiger. Wie teuer ist die Jeans dann?
P = 1750 • 1,03
P = 1802,50 (€)
============
c) Eine Schülerzahl steigt von 550 Schüler
auf 594 Schüler. Um wie viel Prozent ist
die Zahl gestiegen?
550 Sch.
p%
594 Sch.
P = 75 • 0,75
P = 56,25 (€)
===========
d) Ein Preis sinkt von 85 € auf 74,80 €. Um wie
viel Prozent ist der Preis gesunken?
594
 1,08
550
p = 108%
========
Die Zahl stieg um 8%.
p
75 €
85 €
75%
p%
P
74,80 €
74,80
 0,88
85
p = 88%
=======
Der Preis ist um 12% gesunken.
p
8
e) Nach einer Mieterhöhung von 7,5% bezahlt f) Nach einer Preissenkung von 35% kostet
jemand 516 €. Wie viel hat er vorher beein Anzug noch 210,60 €. Wie teuer war der
zahlt?
Anzug vorher?
G
107,5%
516 €
G
65%
210,60 €
G = 516 : 1,075
G = 480 (€)
=========
G = 210,60 : 0,65
G = 324 €
========
g) Eine Rechnung lautet über 5355 €. Hierin
ist die MWSt. schon enthalten.
Wie hoch ist der Preis ohne MWSt?
G
116%
5355 €
Grundsätzlich gilt:
vorher
nachher
D Winkel
Die Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet:
α (alpha), β (beta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), φ (phi)
Die Winkelarten:
a) spitzer Winkel: Der Winkel liegt zwischen 0° und 90°.
S
b) rechter Winkel: Der Winkel hat genau 90°.
S
9
c) stumpfer Winkel: Der Winkel liegt zwischen 90° und 180°.
S
d) gestreckter Winkel: Der Winkel hat genau 180°.
S
e) überstumpfer Winkel: Der Winkel liegt zwischen 180° und 360°.
S
10
Winkel an Geraden: a) Scheitelwinkel: α = γ und β = δ
b) Nebenwinkel (=180°): z. B. α + β = 180°
Winkel an geschnittenen Parallelen:
Stufenwinkel sind gleich groß, z. B. α = α1 oder β = β1
Wechselwinkel sind gleich groß, z. B. γ = α1 oder δ = β1
11
E Geometrische Grundkonstruktionen
a) Mittelsenkrechte errichten (Strecke halbieren)
1. zeichne die Strecke AB : AB
2. nimm eine Strecke in den Zirkel, die größer ist
als die Hälfte von AB
3. schlage mit diesem Radius Kreisbögen um A und B
4. du erhältst die Punkte P1 und P2
5. verbinde P1 und P2
6. M ist der Mittelpunkt der Strecke AB
P1
M
A
B
P2
b) Winkel halbieren
1. trage auf den beiden Schenkeln mit dem Zirkel gleiche Strecken ab
2. du erhältst die Punkte S1 und S2
3. schlage nun Kreisbögen um S1 und S2
4. du erhältst den Punkt P 5. die Verbindungsstrecke SP halbiert den Winkel
S1
P
S
S2
c) Lot fällen
1. zeichne eine Gerade g und wähle einen Punkt P
2. schlage von P aus mit dem Zirkel Kreisbögen, diese schneiden g in S 1 und S2
3. errichte nun über der Strecke S 1 S 2 die Mittelsenkrechte (siehe a))
4. diese schneidet P und ist das Lot von P auf die Gerade g
12
P
g
S1
S2
d) Parallele im bestimmten Abstand
1. zeichne eine Gerade g
2. errichte auf der Geraden g zweimal eine
Mittelsenkrechte (siehe a)) [auch mit Geodreieck möglich]
3. trage auf beiden Mittelsenkrechten gleiche Strecken ab (Geo-Dreieck)
4. du erhältst die Punkte P1 und P2
5. die Gerade durch P1 und P2 ist die Parallele zu g
P1
P2
g
e) Parallele durch einen Punkt P
1. zeichne eine Gerade g
2. wähle einen Punkt P außerhalb
der Geraden und einen Punkt A,
der auf der Geraden liegt
3. schlage um A einen Kreisbogen
mit dem Radius AP
4. dieser Kreisbogen schneidet g in B
5. schlage nun Kreisbögen mit dem
Radius AP um B und um P
6. du erhältst den Punkt Q
7. die Verbindung durch P und Q ist
eine Parallele zu g
Q
P
g
A
B
13
E Konstruktionen (Nachtrag) –
Dreieckskonstruktionen
Grundsätzlich: Vor jeder Konstruktion eine Skizze anfertigen! Markiere dir gegebene Größen
C
farbig!
γ
b
a
α
A
c
β
B
1. Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel (wsw)
c–α–β
oder a – β – γ oder b – α – γ
(Bedenke: bei 2 Winkeln kann man den dritten ausrechnen)
Konstruktion: - Seite zeichnen
- die Winkel antragen
- die Schenkel der Winkel schneiden sich im dritten Punkt des Dreiecks
2. Zwei Seiten und der eingeschlossenen Winkel (sws)
c–α–b
oder
b–γ–a
oder
a–β–c
Konstruktion: - 1. Seite zeichnen
- Winkel antragen und gleichzeitig 2. Seite abmessen
3. Drei Seiten (sss)
Konstruktion: - beginne mit der Seite c
- nimm die Strecken a und b in den Zirkel und schlage Kreisbögen
(mit a um B und b um A)
Bevor du die Strecke in den Zirkel nimmst, muss
die Strecke ins Heft gezeichnet werden.
4. Zwei Seiten und der Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt
(ssw)
Beispiele: a = 6,5 cm; b = 5,5 cm; dann α oder c = 8 cm; b = 6 cm; dann γ usw.
Konstruktion: - beginne mit der kürzeren Seite
- trage den entsprechenden Winkel ab
- schlage dann einen Kreisbogen (Zirkel) mit der zweiten Seite um den
entsprechenden Punkt
Auch hier gilt: Strecke erst ins Heft zeichnen, dann in den Zirkel nehmen.
14
Grundsätzlich: Orientiere dich an der Skizze, wo die
Seiten bzw. die Winkel liegen.
F Die Familie der Vierecke
a) Quadrat
b) Rechteck
a
b
a
-alle 4 Seiten gleich lang
-4 Rechte Winkel
-Diagonalen gleich lang
-Diagonalen halbieren einander
-Diagonalen stehen senkrecht aufeinander
-4 Symmetrieachsen
c) Rhombus (Raute)
δ
a
-die gegenüberliegenden Seiten gleich lang
-4 Rechte Winkel
-Diagonalen gleich lang
-Diagonalen halbieren einander
-Diagonalen stehen nicht senkrecht aufein.
-2 Symmetrieachsen
d) Rhomboid (Parallelogramm)
γ
δ
γ
a
α
b
β
α
β
a
-alle 4 Seiten gleich lang
-α + β = 180°
a
-die gegenüberliegenden Seiten gleich lang
-α + β = 180°
-α = γ und β = δ
-α = γ und β = δ
-Diagonalen nicht gleich lang
-Diagonalen halbieren einander
-Diagonalen stehen senkrecht aufeinander
-2 Symmetrieachsen
-Diagonalen nicht gleich lang
-Diagonalen halbieren einander
-Diagonalen stehen nicht senkrecht aufein.
-keine Symmetrieachsen
e) Drachen
f) Trapez
c
δ
d
δ
γ
c
α
γ
a
d
b
b
β
α
β
a
-a = d und b = c
-β = δ
-Diagonalen stehen senkrecht aufeinander
-1 Symmetrieachse
-a parallel zu c
-α + δ = 180° und β + γ = 180°
-keine Symmetrieachse
15
G Flächen
A Quadrat
a
Fläche
A=a•a
Umfang:
u=4•a
(= a²)
a
(1) Eine quadratische Fläche hat eine Seitenlänge von 23 m. Berechne Fläche und Umfang!
A=a•a
u=4•a
!!! Eventuelle Nebenrechnungen beachten !!
A = 23 • 23
u = 4 • 23
A = 529 (m²)
u = 92 (m)
===========
========
(2) Eine quadratische Fläche hat einen Umfang von 124 m. Berechne die Seitenlänge!
u=4•a
124 = 4 • a
│:4
31 = a (m)
=========
(3) Eine quadratische Fläche hat einen Flächeninhalt von 144 m². Berechne die Seitenlänge!
A=a•a
144 = a²
│ √ (Wurzel ziehen)
12 = a (m)
=========
Hinweis: Wenn du das Wurzelziehen noch nicht kannst, so frage dich: Welche Zahl ergibt mit
„sich selbst malgenommen“ den Wert 144?
B Rechteck
Fläche:
A=a•b
Umfang:
u=2•a+2•b
b
a
(1) Ein Rechteck ist 17,5 m lang und 12,8 m breit. Berechne Fläche und Umfang!
A=a•b
u=2•a+2•b
Nebenrechnungen
A = 17,5 • 12,8
u = 2 • 17,5 + 2 • 12,8
beachten !!!
A = 224 (m²)
u = 35 + 25,6
===========
u = 60,6 (m)
==========
16
(2) Ein Rechteck hat eine Fläche von 847 cm². Es ist 35 cm lang. Wie breit ist das Rechteck?
A=a•b
847 = 35 • b
│ : 35
NR: 847 : 35 =
24,2 = b (cm)
===========
Wenn die Länge a gesucht wird, rechnet man genau so.
(3) Ein Rechteck hat einen Umfang von 80 cm. Es ist 16,4 cm breit. Wie lang ist das Rechteck?
u=2•a+2•b
80 = 2 • a + 2 • 16,4
80 = 2 • a + 32,8
│ - 32,8
( 80 – 32,8 )
47,2 = 2 • a
│:2
( 47,2 : 2)
23,6 = a (cm)
===========
C Parallelogramm (Rhomboid)
[Raute = Rhombus] [wenn alle 4 Seiten gleich lang sind]
Umfang: u = 2 • a + 2 • b
beim Rhombus:
u=4•a
b
Fläche:
hb
ha
A=g•h
Als Grundlinie wird meist die Seite a
genommen, dann ist h = ha.
Es kann auch die Seite b als Grundlinie genommen werden, dann allerdings mit der Höhe hb.
a
Zur Flächen- und Umfangsberechnung: siehe Rechteck.
D Dreieck
b
h = hc
a
b
c
u=a+b+c
a
h = hc
c
Grundlinie malHöhe
2
gh
A
2
A
Hinweis: Als Grundlinie g wird oft die Seite c genommen, dann ist hc die Höhe h !
Natürlich können auch die beiden anderen Seiten a und b als Grundlinie genommen
werden, dann aber mit den Höhen ha oder hb!
17
Dies ist vor allem bei einem rechtwinkligen Dreieck wichtig: Hier können die beiden
Seiten, die den Rechten Winkel bilden (Katheten) als Grundlinie g und Höhe h genommen werden.
(1) Ein dreieckiger Acker hat eine Länge (=g) von 125 m und eine Breite (=h) von 94 m.
Wie groß ist die Fläche des Ackers?
gh
A
NR: 125 • 47
Die Ausrechnung wird vereinfacht,
2
125  94
A
wenn man die 2 im Nenner gegen eine
2
A = 5875 (m²)
der beiden Zahlen im Zähler kürzt. Hier
===========
sind das die Zahlen 2 und 94.
(2) Von der Fläche zur Grundlinie oder Höhe!
A = 175 cm²; g = 28 cm; h = x;
gh
2
28  h
175 
2
175  2
h
28
12,5 = h (cm)
==========
A
NR: 350 : 28 = oder
175 : 14 =
(3) Wenn die Grundlinie g ausgerechnet wird, rechnet man wie unter (2).
E Trapez
Das Trapez ist ein Viereck mit einem parallelen Seitenpaar. Die parallelen Seiten nennt man a
und c, den Abstand zwischen ihnen h !
d
c
d
h
b
a
a
u=a+b+c+d
c
b (= h)
A
(a  c)  h
2
18
(1) a = 24 m; c = 9 m; h = 5 m; A = x;
(a  c)  h
NR: 33 • 2,5
Rechnung durch möglichst viel Kopfrechnen
2
(24  9)  5
A
vereinfachen. Aber Vorsicht: Die 2 im
2
A = 82,5 (m²)
Nenner darf nur gegen den Wert von h ge===========
kürzt werden.
Auch beim Rechnen mit dem TR ist Vorsicht geboten: Entweder mit den (- und )- Tasten des
Rechners arbeiten oder nach der Addition (hier 24 + 9) kurz auf die = - Taste drücken.
A
(2) Wir berechnen die Höhe h: A = 207 cm² ; a = 33 cm; c = 13 cm; h = x;
(a  c)  h
2
(33  13)  h
207 
2
207  2
h
46
9 = h (cm)
=========
A
33 + 13 im Kopf oder schriftlich addieren
207 : 23
(46 und 2 kürzen!!!)
(3) Wir berechnen a oder c: A = 39,375 m² ; a = x; c = 7,2 m; h = 3,5 m;
(a  c)  h
2
(a  7,2)  3,5
39,375 
2
A
39,375  2
 a  7,2
3,5
22,5 = a + 7,2
15,3 = a (m)
==========
39,375•2 und dann :3,5 oder 39,375 : 1,75
minus 7,2 (22,5 – 7,2)
19
F Kreis
u
r
d
Der Durchmesser d ist doppelt so lang wie der Radius r. Der Radius r ist also halb so lang wie
der Durchmesser. Immer genau überlegen, ob der Radius oder der Durchmesser gegeben sind.
u=d•π
A = r² • π
(1) r = 28 m; u = x; A = x;
u=d•π
u = 56 • 3,14
u = 175,84 (m)
============
A = r² • π
A = 28² • 3,14
A = 2461,76 (m²)
==============
(2) Vom Umfang zum Durchmesser: u = 54,95 cm; d = x;
u=d•π
54,95 = d • 3,14
17,5 = d (cm)
============
(: 3,14 – also 54,95 : 3,14)
(3) Von der Fläche zum Radius: A = 3846,5 m²; r = x;
A = r² • π
3846,5 = r² • 3,14
1225 = r²
35 = r (m)
==========
(: 3,14 – also 3846,5 : 3,14)
(√ Wurzel ziehen mit dem TR)
20
G Kreisring
r1
r2
Grundsätzlich kann man die Fläche eines Kreisringes berechnen, indem man 2 Kreisflächen
voneinander subtrahiert. Also: großer Kreis minus kleiner Kreis ! Die Formel lautet:
A = (r1² – r2²) • π
(1) r1 = 35 cm; r2 = 25 cm; A = x;
A = (r1² – r2²) • π
A = (35² – 25²) • 3,14
A = 1884 (cm²)
=============
Vorsicht bei TR: Entweder mit (- und )- Tasten
rechnen oder nach 25² kurz die = - Taste betätigen !
(2) r1 gesucht: A = 77,715 m²; r1 = x; r2 = 7,5 m;
A = (r1² – r2²) • π
77,715 = (r1² – 7,5²) • 3,14
24,75 = r1² – 56,25
81 = r1²
9 = r1 (m)
==========
(: 3,14 – also 77,715 : 3,14 ; 7,5² ausrechnen)
(+ 56,25 – also 24,75 + 56,25)
(√ Wurzel ziehen)
(Probe: r1 > r2 ???)
21
(3) r2 gesucht: A = 262,975 cm²; r1 = 18 cm; r2 = x;
A = (r1² – r2²) • π
262,975 = (18² – r2²) • 3,14
83,75 = 324 – r2²
– 240,25 = – r2²
240,25 = r2²
15,5 = r2 (cm)
============
(: 3,14 – also 262,975 : 3,14 ; 18² ausrechnen)
( – 324 – also 83,75 – 324)
(Gleichung mal minus 1 • (–1) )
(√ Wurzel ziehen)
(Probe: r2 < r1 ??? )
Man kann die Aufgaben (2) und (3) auch folgendermaßen ausrechnen:
r1 gesucht: Man berechnet sich mit r2 die Fläche des kleinen Kreises. Dann addiert man dazu
die Kreisringfläche. Nun erhält man die Fläche des großes Kreises. Anschließend
berechnet man sich den Radius r1 (siehe dazu auch Kreis).
r2 gesucht: Man berechnet sich mit r1 die Fläche des großen Kreises. Dann subtrahiert man
hiervon die Kreisringfläche. Nun erhält man die Fläche des kleinen Kreises. Anschließend berechnet man sich den Radius r2 (siehe dazu auch Kreis).
H Kreisausschnitt
a
r
b
b=u•
a
360
b=d•π•
a
360
(1) r = 15 cm; α = 125°; b = x; A = x;
a
b=d•π•
360
b = 30 • 3,14 •
125
360
b = 32,708 (cm)
=============
A = r² • π •
a
360
A = r² • π •
a
360
A = 15² • 3,14 •
125
360
A = 245,3125 (cm²)
================
22
(2) α ausrechnen:
b = 50,24 cm; r = 24 cm; α =x
b=d•π•
a
360
50,24 = 48 • 3,14 •
a
360
( • 360 ; : 48 ; : 3,14 )
120 = α (°)
A = 753,6 cm² ; r = 24 cm; α = x;
A = r² • π •
a
360
753,6 = 24² • 3,14 •
a
360
( • 360 ; : 24² ; : 3,14 )
150 = α (°)
==========
H Größen
H1 Längenmaße
1 km = 1000 m
1 m = 10 dm
1 dm = 10 cm
Besonderheit: 1 Zoll = 1 inch = ca 2,5 cm
1 cm = 10 mm
H2 Flächenmaße
1 km² = 100 ha 1 ha = 100 a 1 a = 100 m² 1 m² = 100 dm² 1 dm² = 100 cm²
1 cm² = 100 mm²
Besonderheit in Landwirtschaft: 1 Morgen
1 ha = 4 Morgen 1 Morgen = 25 a
Vorstellungen: Wandtafel in der Klasse = 4 m²; Fläche Klasse = ca 50 m²;
Fläche Fußballplatz = ca 7500 m²
H3 Raummaße
1 km³ = 1 000 000 000 m³
!!! 1 dm³ = 1 Liter !!!
1 m³ = 1000 dm³
!!!
1 dm³ = 1000 cm³
1 cm³ = 1000 mm³
1 cm³ = 1 ml (Milliliter) !!!
Vorstellungen: Klassenraum = ca 150 m³; 1 Bierglas = 200 cm³
H4 Gewichte
1 Tonne = 1000 kg
1 kg = 1000 g
1 g = 1000 mg (Milligramm)
Besonderheit: 1 Zentner = 50 kg; 1 Dezitonne (dt) = 1 Doppelzentner (dz) = 100 kg
23
Vorstellungen: 1 Tafel Schokolade = 100 g; Gewicht eines Normalmenschen = 75 kg;
Mittelklassewagen = ca 1,2 Tonnen
I Positive und negative Zahlen
Der Zahlenstrahl
–13 –12 –11 –10 –9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
–130 –120–110–100 –90 –80 –70 –60 –50 –40 –30 –20 –10
0
10
20
30
a) Addition und Subtraktion
Bei Addition und Subtraktion gelten folgende Vereinfachungen (Die Klammern um den
ersten Term kann man grundsätzlich weglassen):
+(+ ) ergibt + : (–15) + (+23) = –15 + 23 = +8
+(– ) ergibt –: (+25) + (–37) = +25 – 37 = –12
–(+ ) ergibt – : (–21) – (+15) = –21 – 15 = –36
–(– ) ergibt + : (+14) – (–10) = +14 + 10 = +24
Bei längeren Termen vereinfache nach der obigen Regel. Dann addiere zuerst alle
positiven Zahlen, dann subtrahiere die Summe der negativen Zahlen.
Beispiel:
(–12) – (+15) + (+22) + (–11) – (–17) + (–21) + (+13) + (–25) =
–12 – 15 + 22
– 11 + 17 – 21 + 13 – 25 =
+ 52 – 84 = – 32
Bei Kommazahlen gilt das Gleiche:
(+17,3) – (+20,5) + (–8,75) + (+17,25) – (+8,45) =
+ 17,3 – 20,5 – 8,75 + 17,25 – 8,45 =
+ 34,55 – 37,7 = – 3,15
NR: 17,3 + 17,25 = 34,55 und 20,5 + 8,75 + 8,45 = 37,7
b) Multiplikation und Division
Bei Multiplikation und Division gelten die gleichen Regeln:
+ mal + ergibt + : (+7) • (+3) = +21
(+35) : (+7) = +5
+ mal – ergibt – : (+11) • (–4) = –44
(+56) : (–14) = –4
– mal + ergibt – : (–9,5) • (+6) = – 57
(–135) : (+27) = –5
– mal – ergibt + : (–12) • (–5) = +60
(–54) : (–9) = +6
c) Punkt– vor Strichrechnung (bzw. zuerst die Klammern)
(–17) + (+6) • (–8) = –17 + (–48) = –17 – 48 = –65
(–60) : [(–8) + (–7)] = (–60) : (–15) = +4
J Gleichungen
1.
6x – 8 = 3x – 32
3x – 8 = – 32
3x = – 24
x = –8
======
– 3x (auf beiden Seiten 3x abziehen)
+ 8 (auf beiden Seiten 8 dazuzählen)
: 3 (auf beiden Seiten durch 3 teilen)
24
Beachte: Im letzten Schritt wird immer durch die Zahl
geteilt, die vor „x steht“
a) 1,5 x = 7,5 (geteilt durch 1,5) → x = 5
b) – 7x = 42 (geteilt durch minus 7) → x = – 6
2
2
3
x  8 (geteilt durch gleich „mal “) → x = 12
c)
3
3
2
2.
10 + 7x – 19 – 4x = 10x + 8 – 5x – 34
linke und rechte Gleichungsseite zusammenfassen;
linke Seite: 7x und – 4x ist 3x; 10 und – 19 ist – 9
rechte Seite: 10x und – 5x ist 5x; 8 und – 34 ist – 26
3x – 9 = 5x – 26
– 5x (s. o.)
– 2x – 9 = – 26
+ 9 (s. o.)
– 2x = – 17
:(–2) (s. o.)
x = 8,5
=====
3.
3 • (x + 6) + 2 • (x + 1) = 40
3x + 18 + 2x + 2
= 40
5x + 20
= 40
5x = 20
x = 4
=====
4.
4x – 5 ∙ (x – 12) = 50 + 9 ∙ (9 – x) – 11
4x – 5x + 60
= 50 + 81 – 9x – 11
– 1x + 60 = – 9x + 120
8x + 60 = 120
8x = 60
x = 7,5
=======
T
Klammern ausmultiplizieren
T
– 20
:5
T
Auch hier Klammern ausmultiplizieren, aber
Vorsicht bei der ersten Klammer. Hier
T
müssen die Vorzeichen beachtet werden.
(minus 5 mal x und minus 5 mal minus12)
weiter wie unter 2.
+ 9x
– 60
:8
Gleichungen
Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du eine ziemlich komplizierte Gleichung lösen kannst.
Solltest du einmal eine einfachere Gleichung lösen müssen, so beginne einfach mit den
Schritten 2, 3 oder 4 oder....
6 •(10 – 3x) + 4 •(4x + 15) = 90 – 3 •(2x + 5) + 65
│T
1. Zuerst musst du alle Klammern ausmultiplizieren. Bei der ersten Klammer musst du dazu
rechnen: 6 mal 10 = 60 und 6 mal minus 3x = -18x. Bei der zweiten Klammer: 4 mal 4x = 16x
und 4 mal 15 = 60. Die dritte Klammer auf der rechten Seite der Gleichung ist schwierig, denn
hier musst du folgendes rechnen: minus 3 mal 2x = -6x und minus 3 mal 5 = -15. Nun sieht die
Gleichung folgendermaßen aus:
60 – 18x + 16x + 60 = 90 – 6x – 15 + 65
│T
25
2. Nun musst du auf der linken Seite der Gleichung und danach auf der rechten Seite der
Gleichung gleichartige Terme zusammenfassen, das heißt links:
60 + 60 = 120 und minus 18x + 16x ergibt minus 2x.
Auf der rechten Seite ergibt sich: Da du nur minus 6x hast, sind das auch – 6x und du musst
noch rechnen: 90 – 15 + 65 = 140. Nun sieht die Gleichung folgendermaßen aus:
120 – 2x = 140 – 6x
│+ 6x
3. Nun beginnt das „Sortieren“ der Gleichung. Gewöhne dir an, die Glieder mit x nach links zu
sortieren, dafür die Absolutzahlen nach rechts. Du hast im Unterricht gelernt, dass du
-6x auf der rechten Seite mit dem Kommando (+6x) wegbekommst. Die 120 auf der linken Seite
bekommst du mit dem Kommando (-120) weg. Achte bei dem Kommando +6x darauf, dass auf
der linken Seite –2x stehen: -2x + 6x = 4x. Nun ergibt sich:
120 + 4x = 140
│–120
4. Nun beseitige 120 mit dem Kommando –120. Du kannst übrigens die beiden Schritte
(+6x und – 120) zu einem Schritt vereinigen:
4x = 20
│:4
5. Im letzten Schritt wird die Gleichung immer durch die Zahl geteilt, die vor x steht, hier also 4.
Nun hast du die Lösung:
x = 5
=========
Wenn es bei 5. heißt: Es wird immer durch die Vorzahl von x geteilt, dann meint man auch
immer: also z. B. –3x = 12 (geteilt durch –3 ergibt x = -4) oder
2,5x = 6 (geteilt durch 2,5 ergibt x = 4)
2
2
3
x  8 (geteilt durch , also mal ergibt x = 12)
Das gilt selbst bei Brüchen:
3
3
2
Wichtig für das Lösen von Gleichungen ist, dass du dich im Bereich der positiven und negativen
Zahlen gut auskennst. Solltest du einmal größere Terme zusammenfassen müssen, so mache
dir im Heft eine Nebenrechnung.
Weitere Beispiele:
(1)
4x + 3•(5x – 7) + 12 = 8 •(3x – 4) + 33
Klammern links und rechts ausmultipliz.
4x + 15x – 21 + 12 = 24x – 32 + 33
Terme links und rechts zusammenfassen:
19x – 9 = 24x + 1
Auf beiden Seiten –24x
– 5x – 9 = 1
Auf beiden Seiten + 9
– 5x = 10
Geteilt durch –5
x = –2
=======
T
T
–24x
+9
: (–5)
26
(2)
Klammer rechts ausmultiplizieren:
Terme links und rechts zusammenfassen:
Auf beiden Seiten + 27x
Auf beiden Seiten + 8
Geteilt durch 34
12x – 21 – 5x + 13 = 9 •(10 – 3x) – 30
12x – 21 – 5x + 13 = 90 – 27x – 30
7x – 8 = 60 – 27x
34x – 8 = 60
34x = 68
x=2
=====
T
T
+27x
+8
:34
(3) Sollte eine Gleichung einfacher sein (z. B. keine Klammern enthalten) so beginne sofort mit
Schritt 2. Bei noch einfacheren Gleichungen beginne mit Schritt 3 oder 4. Hier ein Beispiel:
30 – 33x – 42 + 47x + 4 = 19x – 37 – 21x – 13 + 10x T
zusammenfassen:
–8 + 14x = 8x – 50
–8x
auf beiden Seiten –8x
–8 + 6x = –50
+8
auf beiden Seiten +8
6x = –42
:6
geteilt durch 6
x = –7
K Zinsrechnung
Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Hinzu kommt der Faktor Zeit.
Dabei gilt für die Zeit: Jeder Monat wird mit 30 Tagen gerechnet, egal, ob Januar oder Februar. Deshalb hat ein Jahr 360 Tage, nämlich 12 • 30 Tage.
In der Zinsrechnung wird mit der sogenannten Kip-Formel gearbeitet:
Z
K i p
100  360
Dabei steht: Z für Zinsen (grundsätzlich ein Geldbetrag in €)
K für Kapital (Sparguthaben; Darlehen; Kredit usw.)
i für Zinstage (3 Monate=90 Tage; ½ Jahr = 180 Tage; 1 Monat = 30 Tage)
p für Zinssatz (z. B. 2,5% für Sparguthaben; 7% für Kredite usw.)
1. Zinsen gesucht: Petra hat auf ihrem Sparbuch ein Guthaben von 1500 €. Die Bank gibt ihr
einen Zinssatz von 3%. Wie viel Zinsen erhält Petra in 8 Monaten?
K i p
100  360
1500  240  3
Z
Werte einsetzen:
100  360
Ausrechnen, wobei das Ausrechnen durch Kürzen sehr erleichtert wird: 1500 und 100 durch
100; 240 und 360 durch 120 usw.
Z = 30 (€)
========
Formel ansetzen:
Z
27
2. Kapital gesucht: Herr Franke erhält von seinem angelegten Sparguthaben monatlich
160 € an Zinsen. Wie hoch ist das Kapital, wenn es mit 6% verzinst
wird?
Formel ansetzen:
Werte einsetzen:
K i p
100  360
K  30  6
160 
100  360
160  100  360
K
30  6
32000 = K (€)
===========
Z
(Formel umstellen; K „isolieren“)
(kürzen !!!)
3. Genauso verfährt man, wenn i oder p gesucht sind. Also auch hier: Formel umstellen !!!
4. Rechnen mit Daten: Wie viele Zinstage sind:
a) 11. 3. bis 24. 9. ? 11. 3. bis 11. 9. sind 6 Monate, also 180 Tage, vom 11. 9. bis zum
24. 9. sind noch einmal 13 Tage, also insgesamt 193 Tage.
b) 20. 2. bis 9. 9. ?
20. 2. bis 20. 9. sind 7 Monate, also 210 Tage, vom 20. 9. bis
zum 9. 9. 11 Tage zurück, also insgesamt 199 Tage.
Zinseszinsrechnung
Von Zinseszinsen spricht man, wenn eine Verzinsung über mehrere Jahre läuft und ab dem 2.
Jahr die Zinsen der Vorjahre mitverzinst werden. In der Zinseszinsrechnung rechnen wir mit
folgender Formel:
Kn = K0 • q
Dabei gilt: Kn ist das Endkapital
K0 ist das Anfangskapital
q ist der Zinsfaktor
Natürlich muss das Endkapital größer sein als das Anfangskapital: Kn > K0.
q ist immer eine Zahl größer 1, denn q ergibt sich aus Zinssatz p und Jahren n, und zwar:
Bei einer Verzinsung von 5% über 6 Jahre gilt:
q = 1,056 = 1,3401
Die Zahl 1,056 lässt sich mit dem Taschenrechner über die xy-Taste errechnen. Wir lesen diese
Zahl aus der Zinseszinstabelle ab, und zwar in der Spalte 5% sowie der Zeile 6 Jahre.
1. Endkapital gesucht
Jemand legt 10 000 € für 7 Jahre zu 4% fest an. Wie groß ist das Kapital nach 7 Jahren.
Kn = K0 • q
Kn = 10 000 • 1,3159
Kn = 13 159 (€)
============
[Spalte 4% und Zeile 7 Jahre]
28
2. Anfangskapital gesucht
Herr Meurer hatte eine größere Erbschaft zu 5% angelegt. Nach 10 Jahren erhält er einen
Betrag von 68 413,80 € ausgeszahlt. Wie hoch war die Erbschaft?
Kn = K 0 • q
68 413,80 = K0 • 1,6289
42 000 = K0 (€)
============
[q  Spalte 5% und Zeile 10 Jahre]
│: 1,6289
3. Zinssatz gesucht
4. Zeit in Jahren gesucht
3. Bernd legt 30 000 € 6 Jahre lang fest an. Nach dieser Zeit erhält er 35 823 € ausbezahlt.
4. Bernd legt 30 000 € zu 7% an. Nach einer bestimmten werden ihm 42 078 € ausbezahlt.
3. Wie hoch war der Zinssatz?
4. Wie viele Jahre war das Geld angelegt?
Kn = K 0 • q
35 823 = 30 000 • q
1,1941 = q
In der Zeile 6 Jahre so lange nach
rechts „gehen“, bis 1,1941 erscheint.
Dann oben Zinssatz ablesen.
Ergebnis: p = 3%
======
K n = K0 • q
42 078 = 30 000 • q
│: 30 000
1,4026 = q
In der Spalte 7% so lange nach unten „gehen“,
Bis 1,4026 erscheint. Dann links die Jahre
ablesen.
Ergebnis: n = 5 Jahre
==========
L Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man die beiden Seiten, die den Rechten Winkel
bilden, Katheten. Die Seite, die dem Rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse.
Der griechische Mathematiker Pythagoras (ca. 500 v. Chr.) fand folgende Besonderheit
heraus:
Kath.
Kath.
Hypot.
Kath.
Hypot.
Kath.
Kath.
Hypotenuse
Kath.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat genau so groß wie die beiden
Kathetenquadrate zusammen.
Beispiele: a)
b)
13 cm
4m
3m
5m
5² = 3² + 4²
12 cm
13² = 12² + 5²
5 cm
29
Der Satz des Pythagoras lässt sich in vielen Situationen anwenden:
gleichseitiges Dreieck
gleichschenkliges Dreieck
Quadrat
w.
w. usw
Dachgiebel usw
Raute
Rechteck
Verwende dabei immer den Ansatz:
Hypotenusenquadrat = Kathetenquadrat + Kathetenquadrat
egal, was gesucht ist, also:
x² = 11,5² + 13,5²
( Hypotenuse gesucht )
oder
25² = 24² + b²
( Kathete gesucht )
M Gerade Körper
Alle Geraden Körper berechnet man mit 2 allgemeinen Formeln:
V = G • hk
Volumen = Grundfläche mal Körperhöhe
Oberfläche = 2 mal Grundfläche + Mantelfläche
O=
(Für O bietet sich auch eine Addition der Einzelflächen an)
2•G+M
1. Der Quader
V = G • hk
V = a • b • hk
hk
O=2•G+M
O = 2 • a • b + u • hk
b
a
Die Oberfläche besteht aus 6
Rechtecken, von denen immer
2 gleich groß sind.
30
Der Würfel ist ein besonderer Quader. Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang.
Hier gilt also: Länge = Breite = Höhe. Das Volumen lässt sich deshalb so berechnen:
V = a • a • a (a³). Die Oberfläche besteht aus 6 gleich großen Quadraten.
2. Die Dreiecksäule
hk
hk
h
h
g
g
V=G•h
O=2•G+M
gh
2 g h
• hk
O=
+ u • hk
2
2
Die Oberfläche der Dreiecksäule besteht aus 2 gleich großen Dreiecken und aus 3 Rechtecken.
V=
3. Die Trapezsäule
c
hk
h
a
V = G • hk
O=2•G+M
31
V=
(a  c)  h
• hk
2
O=
2  (a  c)  h
+ u • hk
2
Die Oberfläche besteht aus 2 gleich großen Trapezen und aus 4 Rechtecken.
4. Der Zylinder
hk
hk
d
r
d
r
V = G • hk
V = r² • π • hk
O=2•G+M
O = 2 • r² • π + u • hk
Die Oberfläche besteht aus 2 gleich großen Kreisen und der rechteckigen Mantelfläche.
Die Länge der Mantelfläche ist der Umfang des Kreises und die Breite die Körperhöhe h k.
N Spitze Körper
a) quadratische Pyramide
GrundflächemalKörperhöhe
3
G  hk
V=
3
a  a  hk
V=
3
Oberfläche: Quadrat + 4 gleichgroße Dreiecke
Für die Dreiecksfläche benötigst du ha.
ha kann mit dem Satz des Pythagoras errechnet werden.
Beachte: hk, Hälfte von a und ha bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Volumen =
s
s
hk
ha
a
a
32
b) rechteckige Pyramide
s
s
hk
hb
ha
b
Oberfläche:
Die Oberfläche besteht aus einem
Rechteck und 4 Dreiecken, von denen
jeweils 2 gleichgroß sind. Für die Drei-
a
Volumen =
GrundflächemalKörperhöhe
3
ecksfläche benötigst du ha und hb.
G  hk
3
a  b  hk
V=
3
ha und hb können mit “Pythagoras” er-
V=
rechnet werden. Für ha brauchst du die
Hälfte von b und für hb die Hälfte von a.
c) Kegel
GrundflächemalKörperhöhe
3
G  hk
V=
3
Volumen =
V=
s
r ²    hk
3
s
O=G+M
hk
G ist ein Kreis: A = r² •π
Für M gilt: M = π • r • s
r
33
O Die Kugel
O = d² • π
V=
d³ 
6
d
für d³ benutze die x³-Taste auf dem Taschenrechner
Beispiele: d = 5 (cm)
d³ = 125 (Eingabe: 5 – x³ )
Vom Volumen zum Durchmesser:
V = 904,32 cm³; d gesucht
d³ 
6
d ³  3,14
904,32 =
•6; : 3,14
6
3
1728 = d³
(dritte Wurzel; siehe Taschenrechner)
12 = d (cm)
===========
Hinweis: Die dritte Wurzel „macht“ „hoch 3“ rückgängig
4³ = 64, deshalb ist 3 64 = 4
V=