MSG-Hausaufgaben Serie 25 - Mathematik und ihre Didaktik

MSG-Hausaufgaben Serie 25
Abgabe: 13.05.2015
Lucas Mann
Aufgabe 1. Wir wollen ein 8 × 8-Schachbrett mit den folgenden beiden Steinen belegen:
Zeige, dass wir dann auf jeden Fall eine gerade Anzahl von den rechten Steinen (sogenannte TTetrominos) benötigen.
Aufgabe 2. Beantworte die folgenden Fragen, indem du entweder eine Belegung des Rechtecks
mit den gewünschten Steinen angibst, oder zum Beispiel durch geschickte Färbung des Rechtecks
widerlegst, dass es eine gibt (du musst eventuell mehr als zwei Farben verwenden!).
a) Kann man ein 3 × 4-Rechteck mit 1 × 2-Steinen abdecken?
b) Kann man ein 2 × 6-Rechteck mit 1 × 4-Steinen abdecken?
c) Kann man ein 8 × 6-Rechteck mit 1 × 4-Steinen abdecken?
d) Kann man ein 6 × 6-Rechteck mit 1 × 4-Steinen abdecken?
e) Kann man ein 10 × 4-Rechteck mit 1 × 6-Steinen abdecken?
f) Kann man ein 10 × 9-Rechteck mit 1 × 6-Steinen abdecken?
Zusatz: Für welche natürlichen Zahlen n lässt sich ein 6 × n-Rechteck mit 1 × 4-Steinen abdecken?
Kannst du das verallgemeinern?
Aufgabe 3. Betrachte ein n ×n-Schachbrett, von dem alle vier Ecken weggeschnitten wurden. Wir
wollen dieses Rechteck mit sogenannten L-Tetrominos abdecken, also Steinen von der folgenden
Form:
a) Finde eine solche Belegung für den Fall n = 6.
b) Zeige, dass eine solche Belegung nicht möglich ist, wenn n ungerade ist.
c) Zeige, dass eine solche Belegung im Fall n = 4 nicht möglich ist.
d) Schwer: Zeige, dass eine solche Belegung im Fall n = 8 nicht möglich ist.
Tipp: Es kann hilfreich sein, die folgende Färbung des Rechtecks zu betrachten: man färbt die n
Reihen des Rechtecks abwechselnd komplett schwarz oder komplett weiß. Welche Anzahlen von
schwarzen und weißen Feldern kann ein L-Tetromino dann belegen?
1
Zusatz
Aufgabe 4. Wir betrachten einen Stock, der genau einen Meter lang ist. Auf diesen Stock laufen
nun von beiden Seten Ameisen und folgen dem Verlauf des Stockes (in eine der beiden Richtungen). Stoßen zwei Ameisen zusammen, so drehen sie sich beide um und laufen in die entgegengesetzte Richtung. Erreicht eine Ameise ein Ende des Stockes, so verlässt sie ihn.
Nach 100 Ameisen folgen keine weiteren Tiere. Wie lange dauert es jetzt noch, bis alle Ameisen
den Stock wieder verlassen haben, wenn jede Ameise mit der Geschwindigkeit 1 Meter pro Stunde
läuft?
Aufgabe 5. Wir lösen die Gleichung x 2 − x − 2 = 0 durch äquivalentes Umformen:
x2 − x − 2 = 0
1
1 1
x2 − 2 · · x + − − 2 = 0
2
4¶ 4
µ
1
1
1
x2 − 2 · · x + − − 2 = 0
2
4
4
1 9
1
2
x −2· ·x + =
2
4 4
µ
¶2
1
9
x−
=
2
4
1
3
x− =±
2
2
¯
¯ 9
¯+
¯ 4
|
p
·
Es gibt also die beiden Lösungen x = 21 + 32 = 2 und x = 21 − 32 = −1.
Versuche, die obigen Umformungen nachzuvollziehen. Kannst du die Methode auf die Gleichung x 2 − 2x + 3 = 0 anwenden?
2