Unterlagen1 16.9.11

2011
SCHILF zur sRDP in angewandter Mathematik, HUM, BAKIP
Unterlagen Teil 1, 16. September, Innsbruck
Leitung der SCHILF:
Katharina Bürgel (HUM)
Ursula Albrecht (BAKIP)
Ort: PHT, Adamgasse 22 Innsbruck
SCHILF zur sRDP
1. Bildungsstandards und Kompetenzlisten
2. Kompetenzorientierter Unterricht, Unterrichtsaufgaben
3. Schularbeitsaufgabe
Programm zur SCHILF
„Kompetenzorientiertes Unterrichten in Angewandter Mathematik
im Hinblick auf die neue RDP“
Innsbruck, 16.9. 2011
Teilnehmer: Mathematik-Lehrer: HUM, BAKIP/SOP, HLFS aus Tirol
Leitung: Ursula Albrecht, Katharina Bürgel
8:30 – 9:30
Bildungsstandards und das Kompetenzmodell der „Angewandten Mathematik“,
Workshop: Zuordnen von Unterrichtsaufgaben zu den Deskriptoren
9:30 – 10:30
Kompetenzorientierter Unterricht, kompetenzorientierte Unterrichtsaufgaben und
der Grundkompetenzenkatalog
Workshop: Traditionelle Unterrichtsaufgabe aus dem Schulbuch
in eine kompetenzorientierte Aufgabe umarbeiten
10 : 30 – 11: 00 Pause
11:00 – 12:30
Unterschied zwischen Unterrichts- und Schularbeitsaufgabe
Workshop: Erstellung einer Schularbeitsaufgabe ausgehend von einer
konventionellen Schulbuchaufgabe
12 : 30 – 13: 30 Mittagspause
2
1. Bildungsstandard angewandte Mathematik und Kompetenzmodell
1.1 Die Standardmatrix
Die Verknüpfung einer Inhaltsdimension mit einer Handlungsdimension nennen wir Deskriptor des
Standards. Die folgende Matrix enthält alle Hauptdeskriptoren des Bildungsstandards für
angewandte Mathematik:
Handlungsdimension
A
Modellieren
und
Transferieren
B
Operieren
und
Technologieeinsatz
C
Interpretieren
und
Dokumentieren
D
Argumentieren
und
Kommunizieren
1 Zahlen und Maße
... für eine Problemstellung mit Zahlen
und Maßen ein
geeignetes Modell
finden und einen
Transfer in andere
Bereiche
durchführen.
.... mit Zahlen und
Maßen operieren
und
situationsgerecht
technische
Hilfsmittel
einsetzen.
... Zahlen und Maße
in ihrem Kontext
interpretieren und
meine
Überlegungen
dokumentieren.
... mit Hilfe von
Zahlen und Maßen
argumentieren und
kommunizieren.
2 Algebra
und Geometrie
... für eine
Problemstellung mit
Hilfe der Algebra
und Geometrie ein
geeignetes Modell
finden und einen
Transfer in andere
Bereiche
durchführen
... mit algebraischen
und geometrischen
Objekten operieren
und
situationsgerecht
technische
Hilfsmittel
einsetzen.
... algebraische und
geometrische
Objekte in ihrem
Kontext
interpretieren und
meine
Überlegungen
dokumentieren
... in der
Fachsprache der
Algebra und
Geometrie
argumentieren und
kommunizieren.
... ein geeignetes
Modell für einen
funktionalen
Zusammenhang
finden und einen
Transfer in andere
Bereiche
durchführen.
... mit funktionalen
Zusammenhängen
operieren und
situationsgerecht
technische
Hilfsmittel
einsetzen.
... funktionale
Zusammenhänge
interpretieren und
meine
Überlegungen
dokumentieren.
... funktionale
Zusammenhänge
argumentieren und
kommunizieren.
4 Analysis
Problemstellung mit
Hilfe der Analysis
ein geeignetes
Modell finden und
einen Transfer in
andere Bereiche
durchführen
... Operationen in
der Analysis
durchführen und
situationsgerecht
technische
Hilfsmittel
einsetzen.
... Zusammenhänge
in der Analysis
interpretieren und
meine
Überlegungen
dokumentieren
... in der
Fachsprache der
Analysis
argumentieren und
kommunizieren.
5 Stochastik
... für eine
Problemstellung mit
Hilfe der Stochastik
ein geeignetes
Modell finden und
einen Transfer in
andere Bereiche
durchführen.
... Operationen in
der Stochastik
durchführen und
situationsgerecht
technische
Hilfsmittel
einsetzen.
... Zusammenhänge
in der Stochastik
interpretieren und
meine
Überlegungen
dokumentieren
... in der
Fachsprache der
Stochastik
argumentieren und
kommunizieren
Die charakteristischen
mathematischen
Tätigkeiten sind
I
n
h
a
l
t
s
d
i
m
e
n
s
i
o
n
3 Funktionale
Zusammenhänge
3
1.2 Die Kompetenzlisten, detaillierte Deskriptoren
Teil A, für alle verbindlich:
1. Zahlen und Maße
Inhalt
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Die Zahlenbereiche der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen
Zahlen kennen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der
Zahlengeraden veranschaulichen
Zahlen in Fest‐ und Gleitkommadarstellung darstellen können und
damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
Zahlen als Maßzahlen von Größen verstehen, die Maßzahlen zwischen
verschiedenen Einheiten umrechnen, Vielfache und Teile von Einheiten
mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen
Das Überschlagsrechnen und Runden beherrschen, Ergebnisse beim
Rechnen mit Zahlen abschätzen und in sinnvoller Genauigkeit angeben
Zahlenangaben in Prozent verstehen, anwenden und mit Prozentsätzen
rechnen
Rationale Zahlen als Brüche von ganzen Zahlen und Brüche im
Dezimalsystem darstellen
4
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2. Algebra und Geometrie
3.
Inh
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
alt
A B C D
2.1
Rechnen mit Termen (Klammern, Brüche)
x
2.2
Potenzgesetze mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten verstehen, sie
begründen und durch Beispiele veranschaulichen und anwenden
s. Kommentar
x x x
2.3
Potenz‐ und Wurzelschreibweise ineinander überführen
x
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.1
0
2.1
1
2.1
2
2.1
3
2.1
4
Den Begriff des Logarithmus kennen und logarithmische Rechengesetze
anwenden
s. Kommentar
Lineare Gleichungen in einer Variablen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, interpretieren und
argumentieren
s. Kommentar
In einer Formel nach einer der variablen Größen explizieren und
die gegenseitige Abhängigkeit der Größen in einer Formel interpretieren und
erklären können
s. Kommentar
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen problembezogen aufstellen und
lösen
Die verschiedenen möglichen Lösungsfälle von linearen Gleichungssystemen mit
zwei Variablen argumentieren und grafisch veranschaulichen
Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in lineare
Gleichungssysteme mit mehreren Variablen übersetzen, mit Hilfe von
Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung
interpretieren und argumentieren
Quadratische Gleichungen in einer Variablen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
Exponentialgleichungen vom Typ a kx = b nach der Variablen x auflösen
Komplexere Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen
Funktionen mit Einsatz von Technologie auflösen
Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels als Seitenverhältnisse im
rechtwinkeligen Dreieck modellieren, interpretieren, argumentieren und
rechtwinkelige Dreiecke auflösen
5
x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x x
x x x x
x
x x
x x x x
Kommentar 2.2: Die folgenden Gesetze sind gemeint:
am · an = am+n ; am · bm = (a · b)m und (am)n = amn mit m,n Є Z oder Q
Kommentar 2.4: Die folgenden Gesetze werden benötigt, hier einfachheitshalber mit dekadischem
Logarithmus angeführt:
lg(ab) = lg a +lg b, lg (a /b)=lg a – lg b, lg an = nlg a
lg a = ln a/ln 10 und ln a = lg a/ lg e
Kommentar 2.6: Es wird vorausgesetzt, dass die Formeln der elementaren Geometrie aus der
Unterstufe bekannt sind: Ähnlichkeitssätze, Pythagoreischer Lehrsatz, Flächen und
Volumsberechnungen.
Kommentar 2.7: Formeln können aus allen Gebieten vorkommen z.B. aus Technik, Wirtschaft und
Naturwissenschaft. Sie müssen nicht im Fachzusammenhang verstanden werden,
dennoch soll die Abhängigkeit der variablen Größen voneinander interpretiert
werden können und die Umformung nach einer der variablen Größen kein Problem
darstellen.
4. Funktionale Zusammenhänge
Inha
Formulierung des Deskriptors: Inhalt + Handlung
lt
Die Definition der Funktion als eindeutige Zuordnung kennen und
3.1
kommunizieren
Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen
3.2
verstehen und erklären
Eine lineare Gleichung in 2 Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion
3.3 interpretieren (Geradengleichung: y = kx+d)
s. Kommentar
Eine lineare Funktion grafisch im Koordinatensystem darstellen und die
3.4
Bedeutung der Parameter k und d verstehen und interpretieren
Lineare Funktionen aus verschiedenen Problemstellungen modellieren und sie
3.5 zur Lösung des Problems einsetzen, die Lösung interpretieren und
argumentieren
Potenzfunktionen und Polynomfunktionen (bis zum Grad 4) grafisch darstellen
3.6 und ihre Eigenschaften interpretieren
s. Kommentar
Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Zu- und Abnahmemodelle
interpretieren, die Begriffe "Verdopplungs- und Halbwertszeit" kennen,
3.7 berechnen und im Kontext deuten, sowie den Einfluss der Parameter von
Exponentialfunktionen verstehen, interpretieren und deuten
s. Kommentar
Lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die
3.8 Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels
Exponentialfunktion bewerten
Die Nullstelle(n) von Funktionsgraphen bestimmen und als Lösung(en) einer
3.9
Gleichung interpretieren (Technologieeinsatz)
6
A B C D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.10
3.11
3.12
Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen bestimmen und als Lösungsmenge
einer Gleichung oder eines Gleichungssystems mit 2 Variablen interpretieren
(Technologieeinsatz)
Praxisbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen beschreiben
x
(Aufstellen einer Funktionsgleichung)
Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen ausgehend vom Einheitskreis mit
Winkel im Grad- und im Bogenmaß grafisch darstellen und argumentieren
x
x
x
x
x
3.3 Kommentar: Mit Variablen und Parametern umgehen können, auch wenn sie nicht mit den
Standardsymbolen (x für unabhängige Variable, k für Anstieg, d für
Ordinatenabschnitt) bezeichnet werden!
3.6 Kommentar: Prototypische Verläufe der Graphen von Polynomfunktionen in Abhängigkeit vom
Grad (bis 4) sowie den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion
und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen 4.6
+
3.7 Kommentar: die prototypischen Verläufe der Graphen von f(x) = a · bx
bzw. f(x) = a · e
λ·x
; kennen; die Bedeutung der Parameter a und b (bzw. λ) kennen und die
Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
7
Analysis
Inhalt
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Über einen intuitiven Grenzwertbegriff und über einen intuitiven
Stetigkeitsbegriff von Funktionen verfügen
Differenzen- und Differentialquotient als Änderungsraten verstehen und
zur Lösung von Aufgaben einsetzen, die Lösung interpretieren und
argumentieren
A
B
x
D
x
x
Den Begriff Ableitungsfunktion kennen
Elementare Grundfunktionen differenzieren und die Ableitung von aus
diesen zusammengesetzten Funktionen mit Hilfe der Ableitungsregeln
bestimmen
s. Kommentar
Eigenschaften von Funktionen wie Monotonie, lokale Extrema,
Krümmungsverhalten, Wendestellen am Graphen erkennen und mit Hilfe
der Ableitung(sfunktion) modellieren, berechnen, interpretieren und
argumentieren
Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion
erkennen und beschreiben, in deren grafischer Darstellung interpretieren
und argumentieren
Den Begriff Stammfunktion kennen sowie den Zusammenhang zwischen
Funktion und Stammfunktion in deren grafischer Darstellung erkennen
und beschreiben
Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen mit dem
unbestimmten Integral berechnen
Den Begriff des bestimmten Integrals auf der Grundlage eines intuitiven
Grenzwertbegriffes als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten
und beschreiben
Das bestimmte Integral als orientierten Flächeninhalt deuten und die
Flächen berechnen
s. Kommentar
C
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Kommentar 4.4 Die Ableitungen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen.
Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können:
Summenregel: (f(x)+g(x))’ = f ’(x) + g’(x),
Faktorregel: (k · f(x))’ = k · f’(x)
Kettenregel: (f(g(x))’ = f ’(g(x)) · g’(x)
Kommentar 4.10 Mit Technologieeinsatz die Fläche unter Berücksichtigung evt. Nullstellen von
bekannten Funktionen bestimmen können, ohne Technologieeinsatz Flächen mit
dem bestimmten Integral von Potenz- und Polynomfunktionen händisch berechnen
können.
8
5. Stochastik
Inhalt
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Daten erheben, Häufigkeitsverteilungen (absolute, relative und
prozentuelle Häufigkeiten) grafisch darstellen und interpretieren sowie
die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise problembezogen
argumentieren
s. Kommentar
Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen
berechnen, interpretieren und argumentieren
Arithmetisches Mittel und Standardabweichung, Median
s. Kommentar
Den Wahrscheinlichkeitsbegriff kennen, verwenden und deuten
Die Additions‐ und Multiplikationsregel auf einander ausschließende
bzw. unabhängige Ereignisse anwenden
Die Binomialverteilung kennen und im Kontext nutzen und
interpretieren (Erwartungswert, Varianz, Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion)
Die Normalverteilung im Kontext nutzen und interpretieren
Auswirkung von Erwartungswert  und Standardabweichung  auf die
x x
Normalverteilungskurve kennen und argumentieren
Kommentar 5.1. Die wichtigsten Darstellungsweisen kennen:
Stab, Säule, Balken, Kreis, Torte, Histogramm, Boxplot. Die Darstellungsweisen
interpretieren und begründen können, für welche Art von Problemstellungen und
Untersuchungen sich eine bestimmte Darstellungsweise besonders gut eignet.
Dabei sollte auch die Manipulierbarkeit von Daten durch spezielle
Darstellungsweisen diskutiert werden.
Kommentar 5.2 Hinweis:
5.7
Es werden die folgenden Bezeichnungen gewählt:
Für empirisch erhobene Daten xi  Mittelwert x ,
Standardabweichung
statt
bei einer Vollerhebung (Grundgesamtheit,
auch ) Standardabweichung einer Stichprobe als Schätzung auf die
Grundgesamtheit
(bzw.
für große Stichproben)
In vielen Fällen wird in Lehrbüchern nicht klar zwischen den verschiedenen
Formeln unterschieden, daher gilt für die Reifeprüfung (bis auf Weiteres) folgende
Festsetzung:
Beide Formeln für s (bzw. ) gelten als richtige Lösung, gleichgültig, ob es sich um
die Standardabweichung einer Grundgesamtheit oder um die Standardabweichung
einer Stichprobe handelt.
9
Teil B schulartenspezifisch HUM, HLFS und BAKIP
1.1 Kompetenzliste zu Cluster 6
Wirtschaftliche Berufe, Tourismus, Mode & Design, Kunst (HUM), Medientechnik und Medienmanagement
2. Algebra und Geometrie
Inhalt
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Den Begriff des Logarithmus und die logarithmischen Rechengesetze
kennen und anwenden
lg(ab) = lga+lgb, lg (a /b)=lga - lgb lgan = nlga
B6_2.2
Exponentialgleichungen oder Gleichungen, die trigonometrische
Funktionen enthalten in Anwendungsbereichen mit Technologieeinsatz
lösen und die Lösung(en) interpretieren
B6_2.3
Den Lösungsbereich linearer Ungleichungen und linearer
Ungleichungssysteme mit 2 Variablen bestimmen und interpretieren
B6_2.4
Lineare Optimierung einer Zielfunktion modellieren, mit geeignetem
Technologieeinsatz durchführen, den Lösungsweg erklären und
begründen, das Ergebnis interpretieren
B6_2.5
Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation mit Vektoren und
*)
Matrizen in wirtschaftlich relevantem Kontext durchführen und
Ergebnisse interpretieren
*) Nicht 2015! Erst 5 Jahre nach Einführung des neuen Lehrplans
3. Funktionale Zusammenhänge
A
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
B
C
B6_2.1
Inhalt
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
B
x
x
D
B6_3.1
Den Begriff der Umkehrfunktion argumentieren
B6_3.2
Das Bildungsgesetz von geometrischen Folgen verstehen und anwenden
x
x
B6_3.3
Die Summenformel für endliche geometrische Reihen anwenden
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B6_3.4
B6_3.5
B6_3.6
B6_3.7
B6_3.8
Zinseszins auf Grundlage der geometrischen Folgen modellieren und
interpretieren, sowie Berechnungen durchführen und die Ergebnisse
argumentieren
Rentenrechnungen auf der Grundlage geometrischer Reihen
modellieren, ausführen und interpretieren können,
Sparformen mathematisch modellieren, berechnen, dokumentieren
und interpretieren
Kredite und Schuldtilgung mathematisch modellieren, berechnen,
dokumentieren und interpretieren
Kontinuierlich begrenzte, unbegrenzte sowie logistische Zu- und
Abnahmeprozesse mit Exponentialfunktionen beschreiben, mit den
Gleichungen Berechnungen durchführen und die Ergebnisse
dokumentieren und interpretieren
10
x
4. Analysis
Inhalt
B6_4.1
B6_4.2
B6_4.3
B6_4.4
B6_4.5
B6_4.6
B6_4.7
B6_4.8
Inhalt
B6_5.1
B6_5.2
B6_5.3
B6_5.4
B6_5.5
B6_5.6
B6_5.7
B6_5.8
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
A
Differenzen- und Differentialquotient als Änderungsraten verstehen
und zur Lösung von Aufgaben einsetzen
Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen differenzieren
B
C
D
x
x
x
x
Mit den Modellen der Kostentheorie umgehen, sie erklären und
Berechnungen zu Gesamt- und Durchschnittskosten durchführen sowie
die Ergebnisse interpretieren und dokumentieren
Mit den Modellen der Preistheorie umgehen, sie erklären und
Berechnungen zu Nachfrage und Erlös durchführen sowie die
Ergebnisse interpretieren und dokumentieren
Mit den Modellen der Preistheorie umgehen, sie erklären und
Berechnungen zum Gewinn durchführen sowie die Ergebnisse
interpretieren und dokumentieren
Relevante Extremwertprobleme modellieren und transferieren,
Rechnungen durchführen und Ergebnisse argumentieren.
Das bestimmte Integral als orientierten Flächeninhalt deuten und
Flächen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
Das bestimmte Integral beliebiger Funktionen mit Technologieeinsatz
berechnen
5. Stochastik
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
A
B
C
D
Daten erheben und die beschreibende Statistik auf berufsfeldbezogene
Untersuchungen anwenden
Datenmanipulierbarkeit argumentieren
x
x
x
x
Häufigkeitsverteilungen von eindimensionalen Daten grafisch
darstellen: Stab, Säule, Balken, Kreis, Torte, Histogramm, Boxplot
sie interpretieren und bewerten
Mittelwerte und Streuungsmaße berechnen und interpretieren:
Arithmetisches Mittel und Standardabweichung, Modus, Median und
Spannweite, Quartile und Quartilsabstand
Regression von zweidimensionalen Datenmengen anschaulich erklären,
mit Technologieeinsatz bestimmen und die Ergebnisse interpretieren
Die Binomialverteilungen im Kontext nutzen und interpretieren
(Erwartungswert, Varianz, Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion)
Die Normalverteilung im Kontext nutzen und interpretieren
Die Bedeutung von Erwartungswert µ und Standardabweichung σ in
Bezug auf die Normalverteilungskurve erkennen und argumentieren
11
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1.2 Kompetenzliste zu Cluster 7
Landwirtschaftliche Schulen, Landtechnik, Forstwirtschaft
2. Algebra und Geometrie
Inhalt
B7_2.1
B7_2.2
B7_2.3
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen bestimmen; die
optimale Lösung einer Zielfunktion berechnen und interpretieren
Bestimmungsstücke im allgemeinen Dreieck berechnen
Flächeninhalt von allgemeinen Dreiecken berechnen
A
B
C
x
x
x
D
x
x
3. Funktionale Zusammenhänge
Inhalt
B7_3.1
B7_3.2
B7_3.3
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Logistische Wachstumsfunktion und exponentielle Sättigungsfunktion
erkennen; die Parameter, die das Verhalten der Funktionen bestimmen,
berechnen und interpretieren
Rentenrechnung auf der Grundlage von geometrischen Reihen
modellieren, berechnen und interpretieren (Zinsperiode =
Rentenperiode)
Lineare Funktionen und Polynomfunktionen als Modell für
Aufgabenstellungen aus der Wirtschaft modellieren, berechnen und
interpretieren
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
B
C
D
x
x
x
x
x
4. Analysis
Inhalt
B7_4.1
B7_4.2
B7_4.3
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Integrale als multiplikative Größen aus Naturwissenschaft und Technik
mit Grundfunktionen interpretieren und numerisch oder mit
Technologieeinsatz berechnen
Integrale für Aufgabenstellungen aus der Wirtschaft mit
Grundfunktionen interpretieren sowie numerisch und mit Technologie
berechnen
Modelle der Preis- und Kostentheorie erklären, berechnen und
interpretieren (Nachfrage, Erlös, Gewinnanalyse, Betriebsoptimum,
Kostenkehre)
5. Stochastik
Inhalt
B7_5.1
B7_5.2
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Die Normalverteilung kennen und im Kontext nutzen und interpretieren
(Mittelwert, Varianz, Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion)
Die lineare Regression und Korrelation von zweidimensionalen
Datenmengen anschaulich erklären, mit Technologie berechnen und
interpretieren
12
x
1.3 Kompetenzliste zu Cluster 9
Bildungsanstalten für Kindergartenpädagogik, Bundesinstitute für Sozialpädagogik
1. Zahlen und Maße
Inhalt
B9_1.1
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Verknüpfungen von Mengen (Durchschnitt, Vereinigung und
Differenz) ermitteln, grafisch darstellen und interpretieren
A
B
C
D
x
x
x
x
2. Algebra und Geometrie
Inhalt
B9_2.1
B9_2.2
B9_2.3
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Probleme aus verschiedenen relevanten Anwendungsbereichen in
Form von Gleichungen modellieren und die Ergebnisse in Bezug auf die
Problemstellung interpretieren und dokumentieren
Definitionen von Vektor und Matrix kennen, zweidimensionale
Vektoren im Koordinatensystem darstellen können, Addition,
Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar sowie Skalarprodukt von
zweidimensionalen Vektoren geometrisch interpretieren und in
praktischen Aufgabenstellungen anwenden
Mit Sinus- und Kosinussatz einfache Aufgabenstellungen lösen und die
Ergebnisse interpretieren
3. Funktionale Zusammenhänge
Inhalt
B9_3.1
B9_3.2
B9_3.3
B9_3.4
B9_3.5
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Empirische Funktionen aus berufsfeldbezogenen Untersuchungen
grafisch darstellen, interpretieren und argumentieren
Lineare Funktionen und Exponentialfunktionen als Modelle für die
Beschreibung von Zu- und Abnahmeprozessen vergleichen und
sinnvoll einsetzen
Den Zusammenhang von linearen Funktionen mit arithmetischen
Folgen bei der Beschreibung von Zu- und Abnahmevorgängen
argumentieren
Den Zusammenhang von Exponentialfunktionen mit geometrischen
Folgen bei der Beschreibung von Zu- und Abnahmevorgängen
argumentieren
Berechnungen von praxisrelevanten Zu- und Abnahmeprozessen
durchführen und die Ergebnisse dokumentieren und interpretieren
13
x
x
x
4. Analysis
Inhalt
B9_4.1
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Extremwertprobleme modellieren und transferieren, Rechnungen
durchführen und Ergebnisse argumentieren
A
B
C
D
x
x
x
x
5. Stochastik
Inhalt
B9_5.1
B9_5.2
B9_5.3
B9_5.4
B9_5.5
B9_5.6
B9_5.7
B9_5.8
B9_5.9
B9_5.10
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Daten erheben und den Unterschied bei der Bearbeitung von
qualitativen und quantitativen Merkmalen kennen
Datenmanipulierbarkeit argumentieren
Die beschreibende Statistik auf berufsfeldbezogene Untersuchungen
anwenden
Regression und Korrelation von zweidimensionalen Datenmengen
anschaulich erklären, mit Technologieeinsatz bestimmen, interpretieren
und argumentieren
Bedingte Wahrscheinlichkeiten für einfache Sachverhalte über
Baumdiagramme darstellen und berechnen
Den Begriff der Zufallsvariablen kennen und anwenden, die
Verteilungsfunktion und die Kenngrößen (Erwartungswert und Varianz)
einer Zufallsvariablen bestimmen und argumentieren
Die Normalverteilung kennen und im Kontext nutzen und interpretieren
Die Bedeutung von Erwartungswert µ und Standardabweichung σ in
Bezug auf die Normalverteilungskurve kennen und veranschaulichen
Situationen erkennen und beschreiben, in denen mit Binomialverteilung
bzw. mit Normalverteilung modelliert werden kann
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf berufsbezogene
Problemstellungen anwenden
14
A
B
C
x
x
x
x
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2. Praktischer Teil: Unterrichtsaufgaben
Aufgabe 1: „Füllproblem“
Nachfolgend sind 10 Gefäße A – J abgebildet, die mit konstanter Wasserzufuhr befüllt werden sollen.
In den Zeilen darunter sind Funktionen abgebildet, welche die Füllhöhe h in Abhängigkeit von der
Zeit t beschreiben.
Welcher „Füllgraph“ passt zu welchem Gefäß?
Inhaltsdimension:
___________________________
Handlungsdimension:
___________________________
Aufgabe 2: „Exponentialfunktion – Bakterienvermehrung“
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde. Zu Beginn sind 100 Bakterien vorhanden.
Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Bakterienanzahl und finden Sie eine Funktionsgleichung.
Inhaltsdimension:
___________________________
Handlungsdimension:
___________________________
15
Aufgabe 3: „Formelumformung – Gesamtwiderstand“
Der Gesamtwiderstand R einer aus drei Widerständen R1, R2 und R3 aufgebauten Schaltung lässt sich
durch die Formel
beschreiben.
Formen Sie die Formel nach R2 um!
Inhaltsdimension:
___________________________
Handlungsdimension:
___________________________
Aufgabe 4: „Manipulation mit Diagrammen – Zerrüttete Familien“
a) Welchen Eindruck will der Grafiker erwecken?
b) Welche Methode verwendet er, um die Daten zu manipulieren?
c) Wie könnte eine korrekte Darstellung aussehen?
Inhaltsdimension:
___________________________
Handlungsdimension:
___________________________
16
Aufgabe 5: „Digitalkamera“
Die Digitalkamera des Autors hat eine Bildauflösung von 1600x1200 Bildpunkten, so genannte Pixel.
Sie hat daher die Bezeichnung „2 MegaPixel-Kamera“ obwohl sie tatsächlich wohl nur eine 1,92
MegaPixel-Kamera“ ist.
Wird ein Digitalfoto aus einem Drucker ausgedruckt, so ist die Druckdichte ein Maß für die Qualität
des Ausdrucks. Unter der Druckdichte versteht man die Anzahl der Farbpunkte pro Länge. Sie wird in
dpi (dots per inch = Farbpunkte pro Zoll) angegeben. Eine gängige Druckdichte ist 300 dpi, hier sind
mit bloßen Auge die Farbpunkt nicht mehr einzeln erkennbar.
a) Ein Foto mit der Größe 1600x1200 Pixel wird mit der Druckdichte 300 dpi ausgedruckt. Wie
groß ist das gedruckte Foto? (1 Zoll = 2,54 cm)
b) Stellen Sie eine Formel auf, die die Druckbreite in cm in Abhängigkeit von der Bildbreite in
Pixel bei einer Druckdichte von 300 dpi angibt.
c) Stellen Sie eine Formel auf, die die Bildbreite in Pixel in Abhängigkeit von der KameraBezeichnung („x MegaPixel-Kamera“) einem Seitenverhältnis von 4:3 angibt.
d) Stellen Sie eine Formel auf, die die Druckbreite in cm in Abhängigkeit von der KameraBezeichnung („x MegaPixel-Kamera“) bei einem Bildverhältnis von 4:3 und einer Druckdichte
von 300 dpi angibt.
Wie groß kann man das Foto einer 10 MegaPixel-Kamera ausdrucken?
Inhaltsdimension:
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Handlungsdimension:
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Aufgabe 6: „Ableitungsfunktionen“
Es sind die folgenden 3 Kurven grafisch gegeben:
Ordnen Sie eine richtige Ableitungskurve zu: Diskutieren und begründen Sie Ihre Auswahl.
Inhaltsdimension:
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Handlungsdimension:
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3. Unterschied Unterrichts-Aufgabe und Test/Schularbeitsaufgabe
Unterricht
Schularbeit/Test
Offene Aufgabenstellung,
unterschiedliche Ergebnisse sind möglich
Geschlossene Aufgabenstellung,
klar definiertes Ergebnis
Gemeinsames Erarbeiten
Einzelarbeit
Zusammenhängende Teilaufgaben
Unabhängige Teilaufgaben!
Bewertung in mehreren Punkten/Prozent
pro Teil – oder auch keine Bewertung.
Bewertung in richtig/fast richtig/falsch
2/1/0-System bzw 1/0 pro Teil
Fragen werden gestellt.
Keine Fragen.
Klare Anweisungen werden gegeben!
Fragen nach Zusammenhängen
Einzelabfragen von Kompetenzen
Mehrere Kompetenzen beteiligt
auch Präsentieren/Kommunizieren
Mehrere Kompetenzen beteiligt,
kein Präsentieren/Kommunizieren
Dokumentieren
Dokumentieren
Beispiel:
Unterrichtsaufgabe:
Ein Beispiel1 soll hier angeführt sein:
Vor Ihnen steht eine 1 Liter-Milchpackung. Sie möchten gerne wissen, ob Tetra Pak
bei der Herstellung der Verpackung darauf achtet, möglichst wenig Pappe zu
verbrauchen.
Vorgangsweise zur Lösung:
 Die leere Packung wird aufgetrennt und auseinandergefaltet. Man entnimmt der Packung die
Maße der Seiten und der Höhe (a und h).
 Man setzt den Materialverbrauch als Funktion mit den variablen Größen a und h an. Es stellt
sich die Frage, wie bei der vorgegebenen Form die Abmessungen optimal zu justieren sind,
um den Materialverbrauch zu minimieren.
 Die Nebenbedingung ist das feste Volumen von 1 Liter.
 Das Minimum wird berechnet.
1
Adaptiert aus "Analysis verständlich unterrichten" von Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel, Springer-Verlag, Heidelberg, 1. Auflage
2006, S 154
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Dies ist eine offene Aufgabenstellung, die sich im Unterricht durchaus gut bearbeiten lässt, weil hier
alle Kompetenzen wie Modellieren, Präsentieren, Kommunizieren und Diskutieren möglich sind. Für
Schularbeiten und Tests ist sie nicht brauchbar, denn für Modellieren, Kommunikation oder
Diskussion ist hier leider keine Möglichkeit.
Als Testaufgabe würde sie so lauten:
Eine 1 Liter-Milchpackung hat die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche mit der Höhe h.
a) Zeigen Sie, dass man die Oberfläche als Funktion der Höhe mit der folgenden Gleichung darstellen
kann:

2
O   1  2  h³
h

Modellieren und transferieren
b) Stellen Sie die Funktion O = f(h) grafisch dar und interpretieren Sie die Grafik in Bezug auf
Nullstellen, Polstellen, Monotonie und Extremwerte.
Interpretieren, argumentieren
c) Berechnen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung, bei welchen Abmessungen sich für die Packung
ein minimaler Verpackungsaufwand ergibt.
Operieren
19