Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3A,B,C Wirtschaftsmathematik auf Stufe des 2. JG Zwischen dem Verkaufspreis p eines Artikels und der verkauften Menge x besteht folgender linearer Zusammenhang: 3 x 2 p = 360 - (Preis-Absatz-Funktion) a) Unter dem Erlös versteht man die Funktion E = p x. Geben Sie die Erlösfunktion an und stellen Sie sie grafisch dar. Berechnen Sie, wann der Erlös gleich Null ist. b) Bei wie viel verkauften Stück beträgt der Erlös genau € 21.000,-? c) Bei wie viel verkauften Stück ist der Erlös maximal und wie hoch ist er dann? d) Die Kostenfunktion beschreibt die gesamten anfallenden Kosten für die Erzeugung von x Stück. Sie besteht aus Fixkosten, die nicht von der Stückzahl abhängig sind und aus variablen Kosten, die sich mit der Anzahl der erzeugten Stück x verändern. Sie ist gegeben: K(x)= 120 x + 5 000. Zeichnen Sie den Grafen im Schaubild der Erlösfunktion ein und geben Sie in der Grafik die Fixkosten an. e) Bestimmen Sie die Funktion der durchschnittlichen Kosten K (x) = K/x ( =Stückkostenfunktion) und skizzieren Sie ihren Verlauf in einem eigenen Koordinatensystem. f) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion G(x), die sich mit G = E – K bestimmen lässt. Berechnen Sie die Gewinnzone, d.h. jenen Bereich, in dem ein Gewinn anfällt. g) Bei wie viel verkauften Stück ist der Gewinn maximal und wie groß ist er dann? h) Stellen Sie G(x) im Bild von E(x) und K(x) dar und interpretieren Sie den Zusammenhang zwischen den drei Funktionsgrafen. Lösung: a) Operieren: E(x) = p.x = 360x - 360x - 3 x² = 0 2 3 x² 2 x1= 0 x2= 240 b) Operieren 21000 = 360x - 3 x² 2 x1= 100 x2= 140 Bei 100 Stück und bei 140 Stück nimmt man jeweils 21 000 Euro ein. c)Interpretieren und operieren Aus der Grafik erkennbar x = 240/2 = 120 E(120)= 21 600 1 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM d) Interpretieren, Operieren: Fixkosten = € 5.000,- e) Operieren K (x) = K(x)/x = 120 + 5000/x f) Modellieren, Operieren G(x)= E(x)-K(x) = 360x G(x) = 0 3 3 x² - 120x-5000 = - x² +240x -5000 2 2 Ein Gewinn ist zwischen 25 und 135 Stück möglich g) Operieren, Interpretieren: max. Gewinn bei 80 Stück (Scheitel der Parabel) und G(80) = 4 600 f) Interpretation: Schnittpunkte von Kosten- und Erlösfunktion = Nullstellen der Gewinnfunktion wenn E(x) > K(x) dann G(x) > 0 2 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3 A,B Fluglinie Eine kleine Fluglinie hat auf einer bestimmten Strecke mit 60 beförderten Personen volle Auslastung. Ein Flugticket kostet dabei € 80,-. Um die Einnahmen zu steigern, überlegt die Fluglinie, den Ticketpreis zu erhöhen. Es wird angenommen, dass pro Erhöhung des Flugpreises um € 2,- eine Person weniger buchen wird. a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf, die einen linearen Zusammenhang zwischen Ticketpreis und Personenanzahl voraussetzt. b) Stellen Sie die Einnahmen als Funktion der Personenzahl grafisch dar und lesen Sie aus der Grafik ab, welcher Ticketpreis die größtmöglichen Einnahmen bewirkt. Lösung a) Modellieren, operieren (mit oder ohne Technologieeinsatz) Anzahl der Personen: 60 Personen Ticketpreis: p = 80 Euro/Person 59 Personen Ticketpreis: p = 82 Euro/Person p(x) = ax + b 80 = 60 a + b 82 = 59a + b p(x)= -2x + 200 b) Operieren, Interpretieren Einnahmen = Preis pro Ticket mal Personen ( E = -2x² + 200 x) grafische Lösung E(x)= -2x² + 200x quadratische Erlösfunktion (nach unten geöffnet, Scheitel gibt den größtmöglichen Funktionswert wieder!) Variante: Grafik vorgeben und interpretieren lassen: a) Wie wirkt sich eine Preiserhöhung auf die Nachfrage aus? b) Wie viele Tickets können verkauft werden, wenn der Preis…beträgt? c) Welcher Preis dürfte höchstens verlangt werden, damit zumindest … Personen den Flug buchen? d) Wie hoch ist der Erlös, wenn das Ticket um … verkauft wird? e) Welcher Erlös wird bei voller Auslastung erzielt? 3 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3 A,B,D Netbook Ein Hersteller von Notebooks erkennt aus empirischen Untersuchungen den folgenden Zusammenhang zwischen Preis/Stück und Absatzmenge: x Absatz in Stück p 10 30 60 Preis in €/Stück 428 406 328 a) Erstellen Sie eine quadratische Funktion der Form p( x) a x ² b x c mit Hilfe der 3 Punkte. b) Argumentieren Sie, warum schon aus der Angabe klar ist, dass der Koeffizient a negativ sein muss, bzw. was würde es bedeuten, wenn er positiv wäre? c) Diskutieren Sie, ob das Modell der quadratischen Gleichung f(x) = - 0,03x² + 0,1x + 430 den Zusammenhang zwischen Preis pro Stück und Absatzmenge realistisch beschreibt. Erläutern Sie unter Umständen Mängel des Modells. Lösung: a) Operieren und Technologieeinsatz 428 = 100a + 10b + c 406 = 900a + 30b + c 328 = 3600a + 30b + c Lösung mit Technologie: p(x) = - 3 x x² + + 430 100 10 b) Argumentieren Im Allgemeinen hat ein höherer Verkaufspreis zur Folge, dass der Absatz zurückgeht, was er laut Tabelle auch tut. Positives a würde bedeuten: höherer Preis mehr Absatz (evtl. Snob-Effekt) c) Argumentieren Die Preisfunktion hat folgenden Verlauf: Im Prinzip eignet sich die Funktion im Definitionsbereich [0, 121] recht gut zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Preis und Absatz. Man muss allerdings die Grenzen des Modells (besonders auf der x-Achse) beachten. Wenn man nichts verkauft kann man zwar den Preis mit 430 Euro pro Stück ansetzen – Höchstpreis -, aber sehr unwahrscheinlich ist es, wenn man den Preis auf 0 setzt, dass man dann ca. 121 Stück verkauft. Man nennt dies die Sättigungsmenge, realistisch ist nur, dass dann auf dem Markt kein Interesse am Produkt mehr besteht. 4 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3 A, B, C, D Anhänger In einem Betrieb werden PKW eines bestimmten Typs hergestellt. Die Herstellungskosten für einen Anhänger können mit 4 Geldeinheiten (= GE) veranschlagt werden. Dazu kommen wöchentliche Fixkosten von 100 GE. Die Anzahl x (Stück) verkaufter Anhänger hängt vom Verkaufspreis p eines Anhängers ab: mit zunehmendem Verkaufspreis p werden weniger Anhänger verkauft. Auf Grund von Marktbeobachtungen konnte man näherungsweise für die Zeitdauer einer Woche den Zusammenhang p = - x / 20 + 10 finden. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) Setzen Sie den Wert x = 0 ein und interpretieren Sie das Ergebnis! Setzen Sie p = 5 ein und interpretieren Sie das Ergebnis! Werden nur halb so viele Anhänger verkauft, wenn der Preis von 4 auf 8 GE/ME verdoppelt wird? Stellen Sie den Zusammenhang zwischen Preis und verkaufter Stückanzahl graphisch dar. Wenn der Erlös berechnet wird mit E(x) = p(x) x, wie lautet die Erlösfunktion für dieses spezielle Beispiel? Stellen Sie die Erlösfunktion graphisch dar! Bei welcher Stückzahl hat man den größten Erlös? Begründen Sie Ihr Ergebnis. Erklären Sie, warum der Erlös nicht als Gewinn verstanden werden kann. Erstellen Sie aus der Angabe die (lineare) Kostenfunktion! Gewinn = Erlös - Kosten: Wie lautet hier die Gewinnfunktion? Stellen Sie die Gewinnfunktion graphisch dar! Was bedeuten die Nullstellen der Gewinnfunktion? Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn am größten? Lösung: a) Operieren, Interpretieren: p(0) =10 GE heißt: kein Anhängerverkauf bei Stückpreis von 10 GE b) Operieren, Interpretieren: 5 = - x /20+10 x =100 Bei einem Preis von 5 GE werden 100 Anhänger verkauft. c) Operieren, Interpretieren: Preis = 4 4 = - x /20+10 x = 120; Preis verdoppeln 8 = - x /20+10 x = 40 Die Anzahl wird nicht halbiert. d) Siehe Nebenspalte e) Modellieren: E(x) = - 0,05x² + 10x f) Siehe Nebenspalte g) Operieren und argumentieren: bei x = 100 ( Scheitel –b/2a = 10/0,1=100) h) Argumentieren: Der Erlös gibt die Einnahmen wieder, davon sind aber die Herstellungskosten abzuziehen, dann erst erhält man den Gewinn. i) Modellieren: K(x) = 4x + 100 j) Modellieren: G(x) = -0,05x² + 6x-100 k) Siehe Nebenspalte l) Interpretieren: N(20/0) und N(100/0). Es müssen zwischen 20 und 100 Anhänger verkauft werden, um Gewinn erzielen zu können. m) Interpretieren: Bei 60 verkauften Anhängern ist der Gewinn am größten. Zu d) zu f) zu k) 5 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3 A,B,C,D Produktion Die Produktionskosten einer Ware können annähernd durch die folgende quadratische Funktion beschrieben werden: K(x) = 0,005x³ + 0,44x +512. Der Verkaufspreis pro Stück beträgt konstant 4 GE. a) Erstellen Sie die Erlösfunktion! (E = px) b) Stellen Sie die Kosten- und die Erlösfunktion grafisch dar. (Günstige Fenstereinstellungen: x: -500 bis 800, y: -200 bis 2500!) c) Geben Sie die Gewinnfunktion (G = E – K) an, stellen Sie G(x) ebenfalls grafisch dar. d) Ermitteln Sie grafisch die Schnittpunkte von K(x) mit E(x) und die Nullstellen von G(x). Was fällt Ihnen auf? Begründen Sie Ihre Erkenntnis! Wie nennt man den Bereich zwischen den beiden Nullstellen von G(x)? e) Skizzieren Sie den Graphen der Gewinnfunktion! Verwenden Sie für eine aussagekräftige Skizze mindestens drei signifikante Punkte des Graphen. Kennzeichnen Sie die Gewinnzone in Ihre Skizze! (Günstige Fenstereinstellungen: x: 0 bis 600 y: -100 bis 200) f) Bei welcher Stückzahl wird der maximale Gewinn erzielt und wie groß ist er? g) Für welche Stückzahl beträgt der Gewinn mindestens 100 GE? Lösung: a) Modellieren: E ( x) 4 x b) und c) Operieren und Technologieeinsatz G ( x) E ( x) K ( x) G ( x) 0,005 x 2 3,56 x 512 6 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM d) Operieren, Technologieeinsatz und Argumentieren Schnittpunkte von K(x) und E(x): S1=(200|800), S2=(512|2048) Nullstellen von G(x): N1 (200|0), N2 (512|0) Die x-Koordinaten der Schnittpunkte und Nullstellen sind ident. Sind Erlös und Kosten gleich hoch, so arbeitet der Betrieb genau kostendeckend. Es wird somit weder ein Gewinn noch Verlust erzielt, deshalb sind diese Punkte auch die Nullstellen von G(x)! Den Bereich zwischen den beiden Nullstellen von G(x) nennt man Gewinnzone! e)Operieren und Interpretieren signifikante Punkte: N1 (200|0), N2 (512|0), Max(356|121,68) f) Technologieeinsatz Maximaler Gewinn: Der maximale Gewinn in Höhe von 121,68 GE wird bei 356 Stück erzielt. g) Interpretieren und argumentieren Schnittpunkte zwischen der Hilfslinie y =100 und der Gewinnfunktion mit Technologie ermitteln: S1 (290,15|100) S2 (421,85|100) Im Bereich von 291 bis 431 produzierten und verkauften Stück beträgt der Gewinn mindestens 100 GE. 7